雙二項風險模型下雙險種的破產概率

韓素芳,黃 磊

(1.云南民族大學經濟學院昆明650013;2.中興通訊三亞研究所,海南三亞572000)

雙二項風險模型下雙險種的破產概率

韓素芳1,黃 磊2

(1.云南民族大學經濟學院昆明650013;2.中興通訊三亞研究所,海南三亞572000)

復合二項模型假定在每一單位時間內索賠或者不發生,或者只發生一次.在經典的復合二項模型中,保險公司按照單位時間常速率收取保費(假定每張保單的保險費相等).但在實際中,不同單位時間所收取的保單數常常不一樣,是一個隨機變量,可能服從某一離散分布.根據這一實際情況,本文將經典的復合二項風險模型推廣,將保單收入過程推廣為一個與索賠過程獨立的二項過程.這樣,盈余過程包含兩個二項過程.

風險理論;復合二項模型;索賠;盈余

1 模型定義與實際背景

定義1 設數u≥0,c＜0,給定在某完備概率空間(Ω,F,P)上取值于(0,∞)的獨立同分布隨機變量Xi:i=1,2…以及具有參數P的二項隨機序列{N(n)}∞n=0,P∈(0,1),且{Xi:i=1,2…}與N={N(n)}∞n=0獨立,令:

模型的實際背景:在保險公司的事物中,u(u≥0)可以認為是初始資本,c是每單位時間收取的保費,是公司唯一的收入.n是公司的運作時刻,即公司收取保費和進行賠付均在離散時刻n(n=0,1,2…)進行,在完全離散的經典風險模型中,取定一個單位時間a后,可以假定在任意一個時間區間((n-1,a]中,僅可能出現:一方面,或有一個客戶投保,或沒有客戶投保;另一方面,或有一次索賠發生,或沒有索賠發生.不失一般性,以下取a=n,即在時間段(n-1,n]中進行的一切工作,我們視為在時刻n進行.投保人發生事故后公司對其進行理賠是公司唯一支出,記第i次賠付量為Xi,則{Xi}∞n=0為取值于R+的獨立同分布的隨機變量序列.N(n)為到時刻n時止理賠總次數,S(n)為到時刻n為止的總賠付量,則U(n)是公司在時刻n的盈余資本[2].

定義2 本文在定義1的模型的基礎上推廣定義的模型如下:

模型說明如下:

①u(u≥0)表示保險公司的初始資本,c1,c2(c1＞0,c2＞0)分別表示兩個險種的保費收取費率;

Mi(n)(約定Mi(0)=0)(i=1,2),表示至時刻n時止第i個險種的保費收取次數,(約定Nj(0)=0)(j=1,2)表示至時刻n時止第j個險種所發生的索賠次數.顯然{Mi(n);n≥0}是以p1(i)(i=1,2)為參數的二項序列,{Nj(n);n≥0}是以(j=1,2)為參數的二項序列.

③如果在時間區間(n-1,n]內有索賠發生,則在該時間區間內的終端由保險公司支付索賠額,我們以(i=1,2)表示保險公司所支付的第i個險種的索賠額.當取定一錢幣單位后,可以假定i=1,2)是取正整數值的隨機變量,且…,,…(i=1,2)是獨立同分布的隨機變量序列.以下假定(i=1,2)與諸(i=1,2)同分布,并稱之為第i個險種的個體索賠額.記:μ1=E[X(1)]＜∞,μ2=E[X(2)]＜∞.每次事故索賠額X(i)(i=1,2)的矩母函數分別為:MX(1)(r)=E[erX(1)],MX(2)(r)=E[erX(2)],r∈(-∞,+∞).

這樣,保險公司在時刻n的盈余U(n)可表示為:U(n)=u+S(n),n=0,1,2,….為了保證保險公司的穩定經營,假定E[Sn]＞0,即:

(iii)若θ=0,則因此在θ＜0和θ=0的情況下,保險公司必破產,故只考慮θ＞0的情形.而破產時刻,最終破產概率分別定義為:τ=inf{U(n)＜0,n≥1},Ψ(u)=P{τ＜∞|U(0)=u}為了強調對u的依賴關系,我們有時選用記號Pu{·}=P{·|u(0)=u}.

2 主要結果

引理1 盈余過程{S(n);n=0,1,2,…}有下列性質:

(1)S(0)=0;

(2)具有平穩獨立增量;

(4)存在正數r,使得E[e-rS(n)]＜∞.

引理2 對于盈余過程{S(n);n=0,1,2,…},存在函數g(r),使得E[e-rS(n)]=eng(r)

故:g(r)

引理3 方程g(r)=0存在唯一的正根R,稱為調節系數.

(5)式第一項的分子為:

(5)式第三項的分子為:

由施瓦茲(Schwarz)不等式知:E[(X(1))2erX(1)]·E[erX(1)]-E[(X(1))erX(1)]2≥0,因此上式≥[(X(1))2erX(1)]＞0.而第三項的分母顯然大于0,故第三項大于0.同理可證第四項也大于0.

綜上即得:g(r)＞0,故曲線g(r)在r＞0是下凹的,所以r只要取足夠大的值,一階導數g(r)將保持為正,從而g(r)在r＞0內有唯一極小值點,記之為R.

定理1 對于盈利過程{S(n);n=0,1,2,…},定義事件流FS={;t=0,1,2,…},其中=σ{S(n);n≤t=0,1…}是鞅.

證明:對任意的s≤t,由引理2得:

定理2 在風險過程{U(n);n=0,1,2,…},其最終破產概率為節系數.特別的,Ψ(u)≤e-Ru?u≥0.

證明:由

而:E[e-rU(n)]=e-ru·E[e-rU(n)]=e-ru·eng(r)

(7)-(8)得:

U(n)=U(τ)+c1(M1(n)-M1(τ))+c2(M2(n)M2(τ))-(R1(n)-R1(τ))-(R2(n)-R2(τ))

對于給定的τ,R1(n)-R1(τ),R2(n)-R2(τ)與U(τ)獨立,且分別服從參數為:n-r和,n-r和的復合二項分布,從而:

根據引理3,選取r=R得:E[e-rU(τ)|τ＜n]·Pu{τ＜n},且此時(6)式可化簡為:

令:n→∞,則(9)式右端第一項變為:E[e-rU(τ)|τ＜∞]·Pu{τ＜∞}.

因此如果能夠證明當n→∞時,(9)式右端第二項趨于0,那么定理即得證.證明如下:

易知:

令:Λ≡u+na+βn2/3,由于a＞0,故只要n充分大,Λ就是正的,而且當n→+∞時,Λ→+∞.

現將(9)式右端第二項用u(n)與∧的大小拆成兩項,即得:E[e-R·U(τ)|τ≥n]·Pu{τ≥n}

由車貝曉夫(Chebychev)不等式得:

故當n→+∞時,n-1/3→0,且當n→+∞時,Λ→+∞,因此e-RΛ→0,綜合以上兩點即得:當n→+∞時,(10)式右端趨進于0.

再因,在{τ＜+∞}上,-R·U(τ)≥0,即得:Ψ(u)≤e-Ru,?u≥0.定理證畢.

[1]W illmot G E.Ruin probability in the compound binomial process[J].Insurance:Mathematics and Economics,1993,12:133-142.

[2]趙飛,王漢興.雙二項風險模型的破產概率[J].應用數學與計算數學學報,2004,18(2):73-78.

[3]龔日朝,楊向群.復合二項風險模型下的破產概率[J].吉首大學學報(自然科學版),2000,21(4):41-43.

[4]徐金福,劉再明.廣義復合二項風險模型下的破產概率[J].數學理論與應用,2004,24(1):93-96.

[5]張茂軍,南江霞.保費隨機的復合二項風險模型的破產概率[J].科技通報,2005,21(3):367-371.

Ruin Probability of a Double Binomial Risk Model with Two-type Claims

HAN Su-fang1,HUANG Lei2
(1.School of Economics,Yunnan University of nationalities,Kunming 650013,China;2.Zte Sanya institute,Sanya 572000,China)

Compound binomial model assumes that the claim either not occur,or only occurs once each unit of time.In the classical compound binomial model,insurance companies often charge premium rates according to constant rate each unit of time(assuming the same premium perwarranty).However,in practice,the number of warranty charged in different units of time is of ten not the same,it is a random variable,it may be obey discrete distribution.According to the actual situation,this thesis will expand classical compound binomial risk model.the process of the warranty income was expanded to be a binomial process that is independent from a claims process.In this way,the surplus process consists of two processes.

Risk Theory;Compound binomial model;claims;surplus

O29

A

1008-9128(2011)02-0018-05

2010-12-02

國家“973”基金項目(2006CB100206);云南省“十一五”科技重點攻關項目(2010NG0011)

韓素芳(1982-),女,山東濟寧人,碩士。研究方向:復雜網絡及數理金融。

[責任編輯 張燦邦]