表面聲阻抗近似局域k-k關系的實驗研究

閔 琦,張青友,和萬全

(紅河學院理學院云南蒙自661100)

表面聲阻抗近似局域k-k關系的實驗研究

閔 琦,張青友,和萬全

(紅河學院理學院云南蒙自661100)

利用石棉多孔材料對表面聲阻抗近似局域k-k關系進行了實驗研究,通過最小頻率分辨率分別為0.25Hz、0.5Hz和1Hz的理論和實驗值的對比研究發現理論值與實驗值相互吻合,從實驗上很好地驗證了表面聲阻抗近似局域k-k關系的正確性.

石棉;表面聲阻抗;近似局域k-k關系

引言

k-k關系是上世紀二十年代由H.A.Kramers和R.Kronig分別獨立創立的,它是自然界中線性系統因果律的嚴格數學表述,k-k關系自創立以來在光學、高能粒子物理等領域得到了廣泛的研究和應用[1-4].k-k關系在聲學領域的研究和應用始于上世紀六十年代,但直到近十年來才有較多的成果出現,這些成果主要集中在媒質中聲速與衰減的關系上,有關聲阻抗尤其是局域聲阻抗k-k關系的研究仍然不多見[5-7].文獻[8]針對多孔材料表面聲阻抗的理論模型及其因果律進行了研究,并給出了表面聲阻抗近似局域k-k關系式,但至今仍未有實驗對其進行過驗證.為此,本文選用常見的防火吸聲材料石棉為實驗材料對這一近似局域k-k關系進行實驗研究,以驗證這一近似局域關系的正確性.

1 表面聲阻抗k-k關系

置于聲場中的材料如果表面復聲壓為p、由聲場引起的材料表面質點復速度的垂直分量為v,則材料表面聲阻抗可定義為[9]

其中,w為角頻率,實部R(w)、虛部X(w)分別為材料表面聲阻和聲抗.歸一化的表面聲阻抗為

這里,Z0為空氣特性阻抗.如果阻和抗的相互響應是線性響應,取w為復數,由表面阻抗Z(w)的物理性質不難證明Z(w)在w張成的上半復平面上處處解析,而且當w→∞時,Z(w)一致地→0,從而R(w)、X(w)滿足希爾伯特變換(Hilbert transfo rm s)的條件,成為希爾伯特變換對[4,10],即

當改變正負號時,由物理性質可知

這里“＊”表示共軛.(3)、(4)式可進一步寫成

上兩式即是材料表面聲阻抗k-k關系.從這對k-k關系式可以看出阻和抗并不是相互獨立的,而是可以相互確定,但要做到這一點必須知道阻或抗在全頻域上的信息,所以稱這對關系式為表面聲阻抗非局域k-k關系.遺憾的是,在實際中要知道阻或抗在全頻域上的信息是很難辦到的.鑒于此,研究聲阻抗局域k-k關系成為了非常具有實際意義的工作.在阻R(w)、抗X(w)相互關系為線性響應且隨頻率w的增加不做激烈變化的情形下,略去高階項,可求導出材料表面聲阻抗近似局域k-k關系[6,8]

從而可得到歸一化后的表面聲阻抗近似局域kk關系為

與阻抗非局域k-k關系不同,理論上聲阻抗局域k-k關系可以通過頻域上任意一區域的阻求出該區域對應的抗,從而使其具有了很強的實用性,接下來將通過石棉多孔材料的實驗對其予以驗證.

2 表面聲阻抗局域k-k關系的實驗驗證

2.1 實驗系統及原理

實驗測量方法參照GB/T18696.2-2002標準即阻抗管中吸聲系數和聲阻抗的測量.實驗系統如圖1所示,傳聲器采用1/4英寸B&K4944,前置放大器為B&K2670;聲源采用M cCauley6520揚聲器;功放采用國產GF-10型功率放大器;數據采集與分析系統采用目前較為先進的B&K Pulse3560C多通道分析儀.

圖1 表面阻抗測量系統

如果取待測材料表面為參考面,則待測材料表面聲場可分解為入射聲場和反射聲場Pr分別為待測材料表面處的入射聲場和反射聲場的聲壓幅值,k0=ω/c0為復波數,c0為聲速.此時,傳聲器1、2處的聲壓分別為P1=為材料表面至傳聲器1中心的距離,x2為至傳聲器2中心的距離.傳遞函數定義為

式中s=x1-x2.通過r即可求出歸一化表面聲阻抗為,具體求解公式為

z的實部和虛部即分別為表面歸一化聲阻r(w)和聲抗x(w).B&K Pulse3560C多通道分析儀自身能夠直接測量出傳遞函數H12,所以當試驗測得傳遞函數H12的值后即可通過(11)、(12)式求得歸一化表面聲阻抗實驗值.

實驗選用的材料是用石棉壓實而成的多孔材料,為能放入阻抗管中進行實驗測量,石棉多孔材料已被事先切割成圓塊狀,其直徑為2.9厘米,厚度為1.8厘米.實物如圖2所示

圖2 石棉多孔材料

2.2 實驗結果

圖3 石棉多孔材料不同頻率分辨率下的表面聲阻實驗值(a)600～1600Hz范圍內,(b)1000Hz附近.

實驗測量時將Pulse的測量線數固定在最大值6400,頻率測量范圍依次選擇其固有的1600Hz、3200Hz及6400Hz三檔,此時得到最小頻率分辨率分別是0.25Hz、0.5Hz和1Hz.考慮到三個測量檔位的頻率覆蓋范圍,為對比分析不同頻率分辨率下的實驗結果,除各測量檔位都能覆蓋的600Hz～1600Hz頻率范圍外,還將選擇1000Hz附近作為進一步對比的頻率區域.實驗測得的石棉多孔材料表面聲阻抗如圖3、圖4所示.由圖3a和圖4a可以看出在不同最小頻率分辨率下的實驗測量值一致性非常好,測量值均主要分布在很窄的值域內;但同時由1000Hz附近局部放大的圖3b和圖4b可以清楚地看出,由于實驗得到的測量值是在設定的最小頻率分辨率下的平均值,隨著最小頻率分辨率的粗粒化,實驗測量值在頻域上被平均得越厲害,實驗值在頻域上的細部起伏就越少,從而測量丟失的信息就越多.最小頻率分辨率為0.25Hz時能夠測量得到的阻、抗在頻域上的細部起伏信息經過最小頻率分辨率0.5Hz后,在最小頻率分辨率為1Hz時已經被丟失許多,阻、抗曲線都已變得平滑許多.

圖4 石棉多孔材料不同頻率分辨率下的表面聲抗實驗值(a)600～1600Hz范圍,(b)1000Hz附近

為驗證表面聲阻抗近似局域k-k關系(9)式的正確性,根據(9)式,利用實驗測量得到的表面聲阻r(w)采用差分求導的方法求取歸一化的表面聲抗理論值xc(f),具體求解聲抗理論值xc(f)的差分式為

其中,fi為頻率,△f=fi+1-fi即是相應的最小頻率分辨率,i=1,2,…,6400.由此計算得出的不同最小頻率分辨率下的歸一化表面聲抗的理論值與實驗測量值的分布情況分別見圖5～7.

從圖5～7可以清楚地看出最小頻率分辨率從0.25Hz經過0.5Hz到1Hz不斷粗粒化的過程中,根據近似局域k-k關系(9)式由阻的實驗值求取的材料表面聲抗的理論值都能很好地對稱分布在實驗值的上下兩邊,從而由實驗很好地驗證了近似局域k-k關系(9)的正確性.這里值得注意的是,隨著最小頻率分辨率不斷的粗粒化,抗的理論值的分布區域越靠近實驗值.之所以如此,如前所述,是因為隨著最小頻率分辨率的粗粒化測量丟失越來越多的信息,阻的實驗測量值曲線變得越來越平滑,加之最小頻率分辨率的粗粒化使得由差分近似求解抗的理論值時差分式對的抗的理論值的平均作用越大,從而最終造成抗的理論值隨著最小頻率分辨率的粗粒化分布區域逐漸收縮變窄.

3 結論與討論

本文采用石棉多孔材料對表面聲阻抗局域k-k關系進行了實驗研究,分別通過最小頻率分辨率0.25Hz、0.5Hz、1Hz下的理論和實驗值的對比研究發現理論值與實驗值相符,很好地從實驗上驗證了表面聲阻抗近似局域k-k關系的正確性,由此也說明了石棉多孔材料表面聲阻抗之間的響應滿足線性條件下的因果律.但同時也可看到,由于聲阻抗近似局域kk關系式(8)和(9)略去了高價項,加之目前實驗系統的關鍵組成部分即數據采集與分析系統Pulse3560C存在最小頻率分辨率極限,最小的頻率分辨率在實驗中只能達到0.25Hz,實驗測量仍然不夠精細,丟失過多信息,這一最小頻率分辨率對于求解理論值的差分式顯得還太粗,從而造成理論值的發布區域仍然較廣,使得目前與利用近似局域k-k關系由局域阻和抗相互求取的實際應用還存在一定距離.

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Experimental Investigation in the Local k-k Approximation of Surface Acoustic Impedance

MIN Qi,ZHANG Qing-you,HE Wan-quan

(Department of Physics,Hong he University,Mengzi 661100,China)

With porous asbestos material,an experimental investigation in the local k-k approximation of surface acoustic impedance is carried out.It is found that the theory agrees with experimental results under the different frequency resolution 0.25Hz,0.5Hz and 1Hz,which confirms experimentally the local k-k approximation of surface acoustic impedance.

asbestos;surface acoustic impedance;local k-k approximation

O424

A

1008-9128(2011)02-0001-04

2011-03-06

國家自然科學基金項目(10574135);云南省教育廳科學研究基金項目(5Y0040A);紅河學院校級科研項目(XJ IY0514).

閔琦(1972一),男,云南人,博士,副教授.研究方向:物理聲學及理論物理.

[責任編輯 張燦邦]