GRIN（Gradient Index）介質中的Maxwell方程組與光線光學

郭守月，袁興紅，穆姝慧，周 倩，馮克成

（1.安徽農業大學理學院，安徽合肥 230036；2.長春理工大學理學院，吉林長春 130022）

GRIN（Gradient Index）介質中的Maxwell方程組與光線光學

郭守月1，袁興紅1，穆姝慧1，周 倩1，馮克成2

（1.安徽農業大學理學院，安徽合肥 230036；2.長春理工大學理學院，吉林長春 130022）

利用坡印廷矢量（Poynting vector）的方向就是光線軌跡曲線的切線方向，推出程函方程（Eikonal equation）的矢量式.經分析發現此式包含了光的粒子性與光的波動性因素，光線的傳播規律還受介質折射率函數的制約.再由程函方程進一步推得光線方程，并給出了應用實例.

光線光學；光線方程；坡印廷矢量；變折射率介質；程函方程

光具有波粒二相性就意味著研究光的傳播特性，既可從光的粒子性著手也可以從光的波動性開始.光的波粒二相性應從不同角度（或側面）考察同一個對象得出的結論，其表象是對立的，但實質應是統一的，統一于光的電磁本質.因此研究光的傳播行為也可以從麥克斯韋電磁波理論中的麥克斯韋方程組開始［1－2］.

光在各向同性的均勻介質（介質的電容率和磁導率均為常數，也就是介質的折射率是常量）中傳播時，常見典型的波陣面（也稱為等相位面）是平面、球面或柱面等曲面，其形狀是不隨位置變化的，與波陣面垂直的波射線是直線.當光在折射率隨位置（r）變化的非均勻介質（電容率ε＝ε0εr（r）和磁導率μ＝μ0μr（r）均為空間位置的函數）中傳播時，雖等相位面（形狀）是隨位置變化的曲面，但波射線或者稱光線（下文用光線）總是與其經過的每一點處的波陣面相垂直，此時的光線也不再是直線.比如海市蜃樓現象，太陽落到地平線以下時，我們仍然能看到太陽等自然現象以及光在變折射率光學器件中沿彎曲路徑傳播等人為現象，都是光非直線傳播的例子.本文從麥克斯韋（方程組）電磁理論開始，推導程函方程及變折射率介質中的光線方程的矢量形式，并對其進行深入的分析和討論.

1 程函方程

當光在非均勻介質中傳播時，電場強度E（r）與磁場強度H（r）滿足麥克斯韋方程組：

2 光線方程的矢量式

3 結果與討論

光線光學或稱幾何光學是波動光學（波長趨于零時）的極限.波動光學是直接根據麥克斯韋方程組（或波動方程）求解光的傳播問題.隨著光波長的減小，光在均勻介質傳播的直進性和粒子性愈明顯.而光線光學就是利用光波長趨于零的條件來簡化研究光的傳播問題.即不考慮光的矢量性質（用光子術語就是忽略了光子的自旋特性），而將其按一個標量過程來對待.

仔細分析程函方程（15）式的各量可見：L（x，y，z）表示波陣面函數，它是光的波動性的體現；e t和▽L都是沿光線軌跡方程的切線方向，它體現了光粒子運動規律；n體現了介質的光學性質，對光粒子的運動起制約作用.

（18）式在已知介質折射率函數的條件下，一般不易求解光線軌跡方程，往往將其化為二維的標量形式后求解［4－8］.例如：

（1）當介質的折射率n為常數時，由（18）式知，e t是常矢量，光線沿直線傳播；

（2）受夏日陽光熾曬的沙漠地區或公路，接近地表的空氣密度隨高度（y）的增加而緩慢增加，導致折射率隨高度的增加而緩慢地線性變大［9］，可表示為

在二維直角坐標系中，設光線軌跡方程為y＝y（x），由（18）式推得光線方程的標量形式為［10］

當α很小且光線沿地表傳播時，y′2＋1≈1，由（19）式和（20）式可得

由（21）式且利用初始條件（見圖1）：x＝x0＝0，y＝y0，θ＝θ0得到與文獻［9］一致的光線軌跡方程為

圖1 光線在GRIN介質中傳播軌跡

以上討論可見，在GRIN介質中以麥克斯韋方程組作為光線光學的起點推出的結論，如（15）式，體現了光的波動性與微粒性的統一，同時光粒子的運動因受GRIN介質折射率的制約［4－5，10］，其運動的軌跡一般不再是（均勻介質中的）直線.

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The Maxwell's equations and ray optics in gradient index media

GUO Shou－yue1，YUAN Xing－hong1，MU Shu－hui1，ZHOU Qian1，FENG Ke－cheng2

（1.School of Sciences，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；2.School of Sciences，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China）

The vector expression of Eikonal equation is deduced by using the direction of Poynting vector is tangent direction of ray track.The expression contains both wave nature of light and corpuscular nature of light.At the same time，it can obtain the conclusion that ray track is restricted by the function of dielectricle refractive index.Finally，the Eikonal equation is transformed into ray equation，and application examples are given.

ray optics；equation of light ray；Poynting vector；gradient index material；Eikonal equation

O 435

140·10

A

1000－1832（2011）04－0072－04

2011－05－25

安徽省自然科學研究重點項目（KJ2011Z118）.

郭守月（1955—），男，副教授，主要從事梯度折射率光學研究.

石紹慶）