軍費開支作為消費品的經濟增長模型研究

錢曉惠，程東旭，趙慧杰，鄭玉暉

（中原工學院，鄭州450007）

軍費開支作為消費品的經濟增長模型研究

錢曉惠，程東旭，趙慧杰，鄭玉暉

（中原工學院，鄭州450007）

在一個典型的隨機環境中，采用動態規劃的方法，考慮到產品產量和資本積累，建立了HJB方程，方程的顯式解表明軍費開支會影響長期資本積累和經濟增長率.該模型為減少軍費開支對經濟增長的負效應、增強其正效應提供了理論依據.

軍費開支；動態規劃；效用函數；HJB方程

軍備競賽與經濟增長的關系是國防經濟理論研究的熱點問題.1960年，Richardson提出了一個經典的軍備競賽模型.此后，人們對國防經濟學研究的興趣日益濃厚，大量文獻相繼問世.1973年，Benoit著作的出版引發了軍費開支究竟是促進還是阻礙經濟發展的爭論，這一爭論一直延續到今天；2009年，盧周來指出，在金融危機背景下，要警惕某些國家通過增加軍費開支發動戰爭來轉嫁危機，同時要繼續適度提高軍費開支、擴大內需，以此夯實未來經濟增長的基礎［1］；2011年，王萬珺、陳曉和指出，國防支出與經濟增長之間存在門檻效應，國防支出占GDP比例的最優規模由次級門檻值決定［2］.

雖然動態最優化是軍備競賽理論的一部分，但它很難考慮到產品產量和資本積累，因而前人把焦點放在了消費和軍費開支的最優分配上.本文采用動態規劃方法證明了在一個典型的隨機環境中軍費開支會影響長期資本積累和經濟增長率，并分析了影響的復雜性，最后給出了乙、丙兩國軍費開支對甲國經濟增長影響的動態比較結果.

1 以軍費開支作為消費品的經濟增長模型

本文把軍費開支看作一種消費品，設甲國的效用函數U（c（t），m（t），m＊（t），m＊＊（t））是二次可微的凹函數，其中m（t）、m＊（t）、m＊＊（t）分別為甲、乙、丙三個國家的軍費開支，c（t）為甲國的消費.假設甲國從本國的消費和軍費開支得到的效用都是遞增的，但邊際效用遞減，即U1＞0，U2＞0，U11＜0，U22＜0；甲國從乙國和丙國軍費開支得到的效用和邊際效用都是遞減的，即U3＜0，U4＜0，U33＜0，U44＜0；并假設：

甲國的產出dY由國內實物資本k通過隨機收益不變的AK型技術生產，它的隨機項以dy表示［3］：

dY ＝F（k）dt＋H（k）dy，且F′（k）＞0，F″（k）＜0

其中dy服從均值為0、方差為σ2ydt的獨立正態分布，即E（dy）＝0，V（dt）＝σ2ydt.

由于將軍費開支作為消費品，甲國的預算約束方程可表示為：

設乙國軍費開支滿足如下隨機過程：

丙國軍費開支滿足隨機過程：

其中αm＊dt、βm＊＊dt分別是乙、丙兩國軍費開支的平均水平；σm＊dz、εm＊＊ds是隨機項，且E（dz）＝0，V（dz）＝σ2dt，E（ds）＝0，V（ds）＝ε2dt.

假設隨機項的協方差為：

在滿足上述條件的前提下，建立如下最優化模型：甲國如何選擇消費c（t）、資本積累k（t）、軍費開支m（t），使U（c，m，m＊m＊＊）最大，即

其中初始資本存量k（0）給定.

2 模型求解

為了求出模型的顯式解，我們引入值函數V（k，m＊，m＊＊，t）.若給定指數貼現－ρt，則可假設值函數為：X（k，m＊，m＊＊）e－ρt＝V（k，m＊，m＊＊，t），并定義它的微分算子為：L（X（k，m＊，m＊＊）e－ρt）［4］，從而問題等價于甲國選擇消費和軍費開支，使得下式取得最大值：

通過式（3）右邊分別對c、m求偏導數，得到最優性條件為：

式（4）說明甲國由消費和軍費開支得到的效用在最優性條件下是相等的.另外，值函數必滿足HJB方程［5］：

此外，效用函數也可以寫成：

猜測值函數的解可以用下面的形式表示：

式中：δ為待定參數.

定義總消費為C＝c＋m，則c＝θC，m＝（1－θ）C.因此可得：

由以上討論，可得資本存量的動態方程為：

dk＝（Ak－C）dt＋Akdy

所以，甲國消費的期望增長率和資本存量的期望增長率均為：

由于初始資本存量k（0）已知，則k的解為：

解式（1）、式（2），可得：

3 動態比較

現在我們討論乙、丙兩國軍費開支的平均增長率和不穩定性對甲國經濟增長的影響.

乙國軍費開支的平均增長率對甲國經濟增長的影響為：

這說明如果甲國消費的跨時替代彈性較小（大）的話，乙國較高（低）的軍費開支的增長會導致甲國經濟增長較快（慢）.

乙國軍費開支的不穩定性對甲國經濟增長的影響為：

這說明當乙國的軍費開支不穩定性增強時，甲國消費的更大的跨時替代彈性會導致更快的經濟增長.

丙國軍費開支的平均增長率和不穩定性對甲國經濟增長的影響同乙國對甲國的影響類似，這里不再重復討論.

此外，甲國本身產出的不穩定性也對經濟增長有一定影響：

4 結 語

本文在動態規劃的理論基礎上，將軍費開支作為國家的一種消費品，建立了經濟增長模型，求出了模型的顯式解.通過對乙、丙兩國軍費開支對甲國經濟增長的影響進行動態比較，可以把握軍費開支和國民經濟的相關性，為減少軍費開支對經濟發展的負效應、增強其正效應提供理論依據，這對國防政策的制定和國防支出的統籌規劃具有重要意義.由于將軍費開支作為消費品有其片面性，在接下來的工作中，我們將討論將軍費開支作為投資物品時對經濟增長的影響.

［1］ 盧周來.從國際比較看軍費開支與經濟增長關系［J］.經濟學動態，2009（10）：132－137.

［2］ 王萬珺，陳曉和.國防支出與經濟增長均衡關系的理論和實證研究［J］.財經研究，2011，37（1）：16－26.

［3］ Eaton J.Fiscal Policy，Inflation and the Accumulation of Risk Capital［J］.Review of Economic Studies，1981，48：435－445.

［4］ 澤夫·司曲斯.隨機微分方程理論及其應用［M］.上海：上海科學技術文獻出版社，1986.

［5］ 龔六堂.經濟學中的優化方法［M］.北京：北京大學出版社，2000：185－199.

［6］ 張堯庭，陳慧玉.效用函數及優化［M］.北京：科學出版社，2000：38－42.

［7］ 劉先忠，胡適耕，劉金山.消費的跨時替代彈性與經濟增長［J］.華中科技大學學報，2001，29（3）：107－109.

［8］ 劉成剛，于春明，張令石.論動態規劃方法在不確定投資理論中的應用［J］.山東建筑工程學院學報，2006，21（2）：145－147.

［9］ GONG Liu－tang，ZOU Heng－fu.Military Spending and Stochastic Growth［J］.Journal of Economic Dynamics ＆ Control，2003，28：153－170.

Study on an Economic Growth Model Based on Military Spending as a Consumer

QIAN Xiao－hui，CHENG Dong－xu，ZHAO Hui－jie，ZHENG Yu－hui
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Suppose that each country’s military spending meet the stochastic process，consider the product output and capital accumulation，using the dynamic programming the HJB equation is established.Through the explicit solution of the equation，military spending will affect the long－term capital accumulation and the economic growth rate.It provides a theoretical basis for reducing the negative effects and enhancing positive effects of the economic development in military spending.

military spending；dynamic programming；utility function；HJB equation

O221.3

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2011.05.010

1671－6906（2011）05－0038－03

2011－08－19

河南省重點科技攻關項目（082100210041）

錢曉惠（1981－），女，河南孟州人，講師，碩士.