DQM求解功能梯度圓板軸對稱線性彎曲問題研究

付俊強，張新娜，何 鑫

（1．洛陽理工學院，河南 洛陽471023；2．中原工學院，鄭州450007）

DQM求解功能梯度圓板軸對稱線性彎曲問題研究

付俊強1，張新娜1，何 鑫2

（1．洛陽理工學院，河南 洛陽471023；2．中原工學院，鄭州450007）

基于一階剪切變形板理論，研究了功能梯度圓板在均布機械載荷作用下的軸對稱線性彎曲問題．假設功能梯度材料性質只沿板厚方向變化，且服從冪函數規律，推導了該問題的控制方程，考慮固支邊界條件，用微分求積法對其進行數值求解．利用求解結果討論了功能梯度材料的梯度參數、板厚半徑比對圓板線性彎曲的影響．

功能梯度材料；圓板；微分求積法；線性彎曲

功能梯度材料（Functionally Graded Materials，FGM）通常是由陶瓷和金屬復合而成的一種高性能復合材料，它能夠充分發揮陶瓷耐高溫、抗腐蝕和金屬強度高、韌性好的特點，還能很好地解決金屬和陶瓷強行匹配而引起的粘結強度低、熱膨脹系數不協調等問題．FGM概念自1984年由日本科學家提出以來，受到國內外學者的普遍關注．Reddy J N等基于一階剪切變形的Mindlin板理論，討論了FGM圓形板和環形薄板的軸對稱小撓度彎曲問題，利用經典板理論解和一階剪切變形板理論解之間的對應關系，導出了多種邊界條件下的解析解［1］；Ma L S和 Wang T J采用三階剪切變形板理論，并利用與文獻［1］類似的分析方法，研究了FGM板的軸對稱非線性彎曲問題［2］；劉進等基于一階剪切變形板理論，利用微分容積法求解四邊簡支和四邊固支FGM矩形板的線性彎曲［3］；陳海勝等根據虛功原理，采用懲罰函數法滿足本征邊界條件，得到FGM板彎曲的無網格法控制方程，并給出了數值算例［4］；王鐵軍等基于一階剪切變形板理論，研究了在熱／機載荷作用下的FGM圓／環板軸對稱彎曲問題，獲得了位移和內力的一般解析解［5］．

本文基于一階剪切變形理論，推導FGM圓板線性彎曲的控制方程，并利用微分求積法（Differential Quadrature Method，DQM）［6－7］將其離散，考慮固支邊界條件，對方程數值求解，并利用求解結果討論材料的梯度性質、載荷條件、板厚與半徑比值等對圓板線性彎曲的影響．

1 控制方程

選取半徑為r、厚度為h的功能梯度材料圓板，上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，上下表面之間是由陶瓷到金屬的連續過渡，在板的上表面施加均布載荷q．

FGM是一種非均勻復合材料，其組分的體積分數隨空間坐標變化而變化．因此，彈性模量E為位置坐標的函數．在工程中最常用的FGM是組分僅在某一方向上隨坐標變化的功能梯度材料．本文研究的FGM材料梯度僅發生在圓板的厚度方向，并采用冪函數形式的體積分數函數來近似模擬FGM板厚度方向的組分變化規律．

設金屬組分的體積含量沿厚度方向的變化形式為：

則陶瓷組分的體積含量應為：

彈性模量E表示為：

式中：c、m分別表示陶瓷和金屬成分；Vm表示金屬相的體積分數；z是板的厚度坐標（－h／2≤z≤h／2）；n是冪指數（0≤n＜ ∞），它取不同的值代表成分含量不同的功能梯度材料（見圖1）．顯然，板的上表面（z＝h／2）為純陶瓷，下表面（z＝－h／2）為純金屬．

圖1 金屬材料體積分數沿板厚方向的變化圖

一階剪切變形板理論所基于的位移場U為［5］：

式中：u表示由于材料的非均勻性引起的中面位移；w表示中面上的徑向位移；φ表示板的中面法線轉動．FGM圓板在橫向均布載荷q的作用下，力形式的平衡方程為［8］：

根據位移場，可得幾何方程：

式（5）、式（6）中的下標“，”表示對后面變量的求導．

假設材料為線彈性的，則可得應力：

引入內力矢量：

將式（6）代入式（7）得到應力，將式（7）代入式（8）式得到內力，將式（8）代入（5）式得到位移形式的控制方程．引入無量綱量：x＝r／b，ˉw＝w／h，ˉu＝ub／h2，ˉφ＝φb／h，經過推導后，仍用w代替ˉw，u代替ˉu，φ代替ˉφ，可得到所分析問題的無量綱化平衡方程：

上式中，剛度系數定義為：

是剪切修正系數．

2 DQM計算

DQM本質上是用整個計算區域上所有節點處的函數值的加權來近似代替函數在各節點處的導數值，因此將微分方程組轉化為以節點處函數值為未知量的代數方程組，求解該代數方程組，即得原微分方程組的數值解．構造DQM就是構造插值基函數，插值基函數選取的好壞是直接決定DQM求解微分方程定解問題能否成功的關鍵．利用DQM解決這個問題時，必須把問題的求解區間正則化為［0，－1］或［－1，1］，然后選取合理分布的節點．

圓板的固支邊界條件為：

圓板中心處的條件為：

用DQM對邊界條件進行離散：

考慮邊界條件后，對式 （9）進行DQM離散得：

式中：v

3 求解結果及討論

假設FGM 圓板由不銹鋼（SUS304）和陶瓷（Si3N4）復合而成，不銹鋼的彈性模量Em＝201．04 GPa，泊松比vm＝0．326 2；陶瓷的彈性模量Ec＝348．43 GPa，泊松比vc＝0．24．

圖2所示為厚度h＝1 cm，半徑r＝30 cm的FGM圓板在橫向均布載荷q＝1 500 k N／cm時的彎曲構形．可以看出：在固支邊界條件下，圓板受均布的機械載荷作用，板的中心（x＝0）處彎曲的變形量最大，從中心向外移動（x的數值增大）時，彎曲變形量變小，直至為0；受相同的機械載荷作用時，FGM圓板的梯度參數n的值越大，中心撓度越小，n＝∞時為純陶瓷圓板，中心撓度最小，n＝0時為純金屬圓板，中心撓度最大，而具有中間材料性質的FGM圓板的中心撓度介于二者之間．

圖3所示為厚度h＝1 cm，半徑r＝30 cm的FGM圓板在不同數值的均布機械載荷作用下，圓板中心撓度w（0）的數值．可以看出：FGM圓板的中心撓度w（0）隨著載荷q的增大呈線性增加；機械載荷越大，梯度參數n對FGM圓板中心撓度的影響也越明顯．

圖2 FGM圓板彎曲構形

圖4所示為不同板厚半徑比的FGM圓板，在均布機械載荷q＝1 500 k N／cm作用下對應的中心撓度．可以看出：機械載荷不變情況下，不同梯度參數的FGM圓板的中心撓度隨著板厚半徑比的增大而迅速減小，當板厚半徑比增大到一定程度后，圓板中心撓度的變化就不再明顯．

4 結 語

圖3 FGM圓板的中心撓度－載荷曲線

基于一階剪切變形板理論，推導了功能梯度材料圓板在均布機械載荷作用下的軸對稱線性彎曲問題的控制方程，用微分求積法進行了數值求解，并討論了梯度參數、板厚半徑比對功能梯度材料圓板彎曲的影響．通過使用微分求積法計算，可知該方法所得到的數值收斂性較好．該方法數學原理簡單、效率較高、可操作性強，易于工程上應用．

圖4 FGM圓板中心撓度隨板厚半徑比的變化曲線

［1］Reddy J N，Wang C M，Kitipornchai S．Axisymmetric Bending of Functionally Graded Circular and Annular Plates［J］．European Journal of Mechanics－A／Solids，1999，18：185－199．

［2］Ma L S，Wang T J．Nonlinear Bending and Post－buckling of a Functionally Graded Circular Plate under Mechanical and Thermal Loadings［J］．International Journal of Solids and Structures，2003，40：3311－3330．

［3］劉進，武蘭河，張曉煒．功能梯度材料板的彎曲問題［J］．石家莊鐵道學院學報，2003，16（2）：1－5．

［4］陳海勝，程昌鈞．求解功能梯度材料板彎曲問題的無網格法［J］．上海大學學報，2007，13（3）：299－303．

［5］王鐵軍，馬連生，石朝鋒．功能梯度中厚圓／環板軸對稱彎曲問題的解析解［J］．力學學報，2004，36（3）：348－353．

［6］王鑫偉．微分求積法在結構力學中的應用［J］．力學進展，1995，25（2）：232－240．

［7］劉洋，楊永波．軸向均布載荷下壓桿穩定問題的DQ解［J］．力學與實踐，2005，27（4）：44－47．

［8］馬連生，趙永剛，楊靜寧．功能梯度圓板的軸對稱非線性分析大撓度問題［J］．蘭州理工大學學報，2004，30（6）：139－142．

Study on the Question of Axisymmetric Linear Bending of Functionally Graded Circular Plate by Differential Quadrature Method

FU Jun－qiang1，ZHANG Xin－na1，HE Xin2
（1．Luoyang Institute of Science and Technology，Luoyang 471023；2．Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Based on the first－order shear deformation plate theory，the functional gradient materials circular plate of axisymmetric linear bending problem under machinery loading effect is studied．The material properties of functionally graded material are assumed to vary continuously only along thickness wise direction in the plate，and obey a simple power law of the volume fraction of the constituents．Governing equations for the problem are derived．considering fixed supported boundary conditions，and then a differential quadrature method is employed to numerically solve the equations．Effects of gradient material properties，the ratio of the thickness and radius on bending behavior of the plate are discussed in details by using the numeric solution obtained．

functionally graded material；circular plate；differential quadrature method；linear bending．

O343

A

10．3969／j．issn．1671－6906．2011．02．015

1671－6906（2011）02－0055－04

2010－12－21

付俊強（1981－），男，河南洛陽人，碩士．