大壩變形度的不等維加權動態GM（1，1）預測模型

崔冬冬，陳建康，吳震宇，程黎明

大壩變形度的不等維加權動態GM（1，1）預測模型

崔冬冬，陳建康，吳震宇，程黎明

（四川大學水利水電學院，成都 610065）

針對灰色GM（1，1）模型預測結果易受模型中以前測得的陳舊數據的干擾，及等維動態GM（1，1）受縛于維數選擇的情況，給出了不等維加權動態GM（1，1）模型的基本內容及建模過程，模型中計算出多種維數的GM（1，1）模型的預測值，并且通過薩函數加權法和BP神經網絡計算出每種維數的權值，通過加權獲得最終預測值。并且成功地將不等維加權動態GM（1，1）模型應用于大壩變形度的預測預報。實踐證明，不等維加權動態GM（1，1）模型由于考慮了維數對模型結果的影響，而且及時地更新數據，提高了灰區間的白色度，預測效果比傳統的GM（1，1）模型和等維動態GM（1，1）模型效果好。

GM（1，1）模型；等維動態GM（1，1）；不等維加權動態GM（1，1）模型；權值；BP神經網絡；薩函數

GM（1，1）模型長期預測的有效性明顯受系統時間序列長短及數據變化的影響。如果系統建模選用的數據序列太短，則難以建立長期的預測模型；數據序列過長，系統受干擾的成分多，不穩定因素大，易使模型精度降低。為此，有些學者在進行GM（1，1）預測時不斷地加入最新所測的數據，去除以前測得的陳舊數據，并加入等維的約束條件，采用等維動態預測模型來彌補現有灰色模型的不足［1］。但是應該指出，在GM（1，1）建模過程中，如果所選維數不當，矩陣及其逆矩陣會出現病態［2］，導致參數失真。有些學者專門研究過灰色理論的最佳維數問題，認為最佳維數與數據序列的特點有關系，不能一概而論。但可以通過數值試驗來確定一個比較合適的最佳維數區。為了彌補這種不足，本文建立了不等維加權動態GM（1，1）模型。

1 GM（1，1）建模理論

灰色建模的設計思想［3］：原始數據序列經過一次累加后，形成一個遞增數列，這個新數列數據點的連線接近于指數函數曲線，累加的次數越多，形成的數據點的連線也就越接近某個指數函數。那么根據這個指數函數可以外推到下1個（即第1個預測期）累加和，后經過累減還原得到原序列預測值。下面是 GM（1，1）建模過程［4］的具體步驟。

設大壩監測系統輸出序列為 x（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（k），…｝。以序列的前 n項作為系統的零時刻序列，構建零時刻系統的灰色模型，n為時刻序列長度。零時刻系統輸出序列為x（0）0＝｛x（0）0（1），x（0）0（2），…，x（0）0（n）｝＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，則：

（1）一次累加生成（1－Accumulated Generating Operation，1－AGO）。

（2）求出均值序列。

（3）求中間參數。

（4）計算發展系數和灰作用量。

系統灰色微分方程為

系統微分方程的白化方程為

其灰色微分方程的時間相應序列為

式中 k＝1，2，…，n－1。

累加公式反推如下：

式中 k＝2，3，…，n。

此公式不僅可以建模，而且可以預測。

2 薩函數加權法

2.1 薩函數加權法

實測值為 x，其有 d個預測值 x〈1〉，x〈2〉，…，x〈d〉。每個預測值的偏差為

利用SPSS統計軟件，對每個預測值的偏差進行分析，發現其相關度的系數值呈現出1種類似于薩函數 Sa（x）＝sin x／x的曲線規律，即測值偏差越小，對準確值的預測越準確；也可以認為偏差越小，對預測做的貢獻越大。依據該規律將原有的預測值計算方法進行改進，引入加權平均的思想。因各個預測值在預測數據的計算中所占的比例不同，所以選取不同的權值系數進行預測運算。則每個預測值的權值

2.2 神經網絡在權值估測中的應用

假設某時刻實測值未知，該時刻有d個預測值x〈1〉，x〈2〉，…，x〈d〉。不可能按照上面的方法得到每個預測值的權值，所以我們必須對預測值的權值進行估計。本文選取典型的三層前饋型BP（Back Propagation）網絡模型［5］對預測值權值進行估計。BP神經網絡是指在具有非線性傳遞函數神經元構成的神經網絡中采用誤差反向傳播算法作為其學習算法的前饋網絡。通常由輸入層、隱含層和輸出層構成。BP算法是一類有教師的學習算法，主要用于網絡權值和閾值的學習修正。權值預測的具體實現步驟如下。

（1）初始化：初始化所有的網絡權值為最小隨機數。

（2）給出學習樣本：找出預測時刻之前的m個數據，因為此m個數據實測值是已知的，所以可用上面的方法分別得出其預測權值，每個實測值都對應d個不等維GM（1，1）的預測值，每個預測值都有一個預測權值，把每個數據的所有預測模型的維數輸入神經網絡作為輸入，每個數據的所有預測權值作為輸出進行訓練。

（3）計算實際輸出：計算隱含層和輸出層各神經元輸出。隱含層傳遞函數采用tansig，輸出層傳遞函數采用purelin。

（4）計算輸出誤差（采用均方誤差）。

（5）調整輸出層網絡權值系數。

（6）調整隱含層網絡權值系數。

（7）判斷學習狀態：如誤差滿足要求，則學習過程結束，否則返回第3步繼續學習。

（8）輸入所有模型維數進行仿真，把神經網絡的輸出作為當前時刻的權值。

其中節點作用激活函數f（u）采用Sigmoid型，即 f（u）＝［1＋exp（－（u＋θ））］－1。為提高網絡熟練速度，對樣本進行規范化處理，變換到［0，1］之間。設置最大學習次數1 000次，學習率0.01，學習目標為誤差平方和0.01，網絡連接權的初始值為［0，1］上的隨機數。

3 等維動態灰色預測模型［6］的建立

設原始數據列為x（0），進行一次累加運算生成x（1）后建立 GM（1，1）模型，由（11）和（12）式得n＋1時刻預測值 ＾x（0）（n＋1）。去掉 x（0）（1），加入灰數＾x（0）（n＋1），重新構成等維動態序列 x（0）＝（x（0）（2），x（0）（3），…，＾x（0）（n＋1））建立新的 GM（1，1）模型，通過新序列預測 n＋2時刻的 ＾x（0）（n＋2），… ，如此遞補，逐個預測，稱為等維灰數遞補動態預測。

等維灰數遞補動態預測由于加入的信息不是實測值，而是預測值，它可以淡化灰平面的灰度，但仍然是灰色的。科學的建模過程應該是，一旦獲得n＋1時刻的實際觀測數據（稱為新息），便對原來的GM（1，1）模型進行一次改進。其方法是在序列 x（0）中，去掉 x（0）（1）加入 x（0）（n＋1），構成新的動態序列：x（0）＝（x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n＋1））。由于等維新息模型實時引入的是新的觀測值，因此真實反映了系統狀態的變化，可以有效地提高預報精度。

4 不等維距離加權動態GM（1，1）模型的建立

隨著時間的推移，會不斷獲得新的數據。設第T時刻從原始數列中依次取d組子數列，分別為x（T0）〈m〉，x（T0）〈m＋1〉，…，x（T0）〈m＋d－1〉，其中

對x（0）T〈m〉，x（0）T〈m＋1〉，…，x（0）T〈m＋d－1〉分別進行一次累加得x（1）T〈m〉，x（1）T〈m＋1〉，…，x（1）T〈m＋d－1〉后建立 GM（1，m），GM（1，m＋1），…，GM（1，m＋d－1）模型，由（5）式得到 T＋1時刻的 d個預測值＾x（0）T（T＋1）〈m〉，＾x（0）T（T＋1）〈m＋1〉，…，（T＋1）〈m＋d－1〉。使用上面介紹的加權法對所有預測值加權，可得＾x（0）（T＋1）。然后去掉x（0）（n－m－k＋1），加入灰數＾x（0）（T＋1），重新構成不等維動態序列組，預測T＋2時刻＾x（0）（T＋2），…，如此遞補，逐個預測，稱這種方法為不等維加權灰數遞補動態預測法。

同樣，不等維加權灰數遞補動態預測加入的信息不是實測值，而是預測值，比較合理的方法是，如果獲得T＋1時刻的新息 ，便改進原來的GM（1，1）模型。改進的方法是在序列組中的每個子序列x（T0）〈m＋k〉用 x（0）（T＋1）替換 x（0）（n－m－k＋1），構成新的動態序列組，然后按照上面方法預測下一時刻的值。

5 不等維動態GM（1，1）模型的應用及成果分析

本文用C＃在.net平臺下開發了等維動態GM（1，1）灰色模型和不等維加權動態 GM（1，1）模型。很多學者都對等維動態GM（1，1）灰色模型做了詳細的研究，證明了等維動態GM（1，1）灰色模型比傳統靜態 GM（1，1）灰色模型更合理［6］，因此本文沒有列出傳統靜態GM（1，1）灰色模型的結果。僅對某混凝土大壩的P08號測點水平位移分別建立了等維動態 GM（1，1）和不等維加權動態 GM（1，1）。表 1為此測點2008年1月至2009年4月之間的一組月平均數據。用這2種模型分別擬合2008年1月至2009年2月的數據，并給出2009年3月至2009年4月數據的預測值。其中擬合采用的是逐次加入新息的方法，預測采用的是灰數遞補動態預測的方法。通過計算值與實際值的比較來檢驗模型精度。

表1 水平位移測量序列Table 1 The measurement sequence of horizontal displacement

首先建立等維動態GM（1，1）灰色模型，選擇維數為7，其建立方法和以往許多學者建立方法基本相同。然后建立不等維加權動態GM（1，1）模型，所謂“不等維加權”即為對維數不等的灰色GM（1，1）模型所得結果進行加權。首先選擇維數，本文選擇最大維數為7，最小維數為5，假設要擬合2008年7月的數據，就要有3組序列。其中維數為7的序列為2008年1月至2008年7月的數據，維數為6的序列為2008年2月至2008年7月的數據；維數為5的序列為2008年3月至2008年7月的數據。然后對這3組序列分別建立GM（1，1）模型，得到3組預測結果，可知2008年1月只有1個預測值，所以取此數據為其預測值，2008年2月有2個預測值，對這2個預測值進行薩函數加權法，往后每月都有3個預測值，對這3個預測值進行薩函數加權法。因為擬合采用的是逐次加入新息的方法，所以可以直接求出權值。其余各月的預測也是如此。表2和表3分別列出了等維動態GM（1，1）模型和不等維加權動態GM（1，1）模型的結果，由于是“動態”預測，而且等維動態GM（1，1）模型得維數為7，不等維加權動態GM（1，1）模型的最大維數也為7，所以每個模型共得到8組擬合值，每組擬合值有7個。表中同時列出了每組擬合值的平均殘差。

數據估計的主要目的在于預測，因此本文對2009年3月至4月數據進行了試預測。即假設不知其實測值，用灰數遞補動態預測的方法進行預測，然后與實測值進行比較。假設要預測2009年3月的數據，選2008年8月至2009年2月數據作為維數為7的序列；2008年9月至2009年2月數據作為維數為6的序列；2008年10月至2009年2月數據作為維數為5的序列。建立GM（1，1）模型分別對2009年3月數據進行預測，得到3個數據。因為實測值不知，所以不能直接用薩函數加權法，把前面擬合的維數作為輸入，每個維數對應的權值作為輸出進行BP神經網絡訓練，達到一定精度或訓練了一定次數后，把本問題中的維數作為輸入，輸出即認為是本問題中的權值。對上面3個數據加權平均即得到2009年3月的預測值。把2009年3月的預測值加入序列就可對2009年4月的數據進行預測。表4列出了等維動態GM（1，1）模型和不等維加權動態GM（1，1）模型的預測值，也給出了每個預測值的殘差。

表2 等維動態GM（1，1）模型擬合值及平均殘差Table 2 Fitted values and average residuals of one-dimensional dynamic GM（1，1）model

表3 不等維加權動態GM（1，1）模型擬合值及平均殘差Table 3 Fitted values and average residuals of MDWD-GM（1，1）model

對比表2和表3的數據可得，不等維加權動態GM（1，1）模型的擬合效果明顯高于等維動態GM（1，1）模型。通過表4的數據也可以得出，不等維加權動態GM（1，1）模型的預測精度也好于等維動態GM（1，1）模型。因此可以認為不等維加權動態GM（1，1）模型總體上優于等維動態 GM（1，1）模型，具有更高的利用價值。

表4 等維動態GM（1，1）與不等維加權動態GM（1，1）模型預測值及相對殘差Table 4 Predictive values and relative residuals of one-dimensional dynamic GM（1，1）model and MDWD-GM（1，1）model

6 結 論

本文采用薩函數加權法和BP神經網絡建立了不等維加權動態GM（1，1）模型。該模型將大壩監測數據看作是灰色過程，動態的添加新息，以減少其它不相關信息的干擾，而且考慮了維數對灰色模型的影響，對不同維數的灰色模型預測結果加權，減少了維數對預測精度的影響。通過對實測數據進行擬合和預測，可以得出此模型可以很好地擬合大壩監測數據，并給出比較準確的預測值的結論。不等維加權動態GM（1，1）模型在大壩監測系統中具有更高的利用價值。

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［3］ 鄧聚龍.灰色系統理論教程［M］.武漢：華中理工大學出版社，1990：14－83，326－328.（DENG Ju-long.Theory of Grey System［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，1990：14－83，326－328.（in Chinese））

［4］ 鄧聚龍.灰色系統基本方法［M］.武漢：華中理工大學出版社，1987：96－164.（DENG Ju-long.Basic Methods of Grey System［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，1987：96－164.（in Chinese））

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［6］ 李宗坤，鄭晶星.GM（1，1）等維新息模型在土石壩沉降預測中的應用［J］.水利水電技術，2003，34（7）：74－75.（LI Zong-kun，ZHENG Jing-xing.The Dynamic GM（1，1）Model Applied in the Prediction of Settlement of Earth Dam［J］.Water Resources and Hydropower Engineering，2003，34（7）：74－75.（in Chinese） ）

Multidimensional Weighted Dynamic GM（1，1）Model Applied in the Prediction of Dam Deformation Degree

CUI Dong-dong，CHEN Jian-kang，WU Zhen-yu，CHENG Li-ming
（College of Water Resource and Hydropower，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

The prediction result of GM（1，1）grey model is subject to be disturbed by outdated information previously measured in the system，while one-dimensional dynamic GM（1，1）model is restrained by the selection of the dimension.To overcome these problems，this paper studies the content and the modeling of Multidimensional Weighted Dynamic GM（1，1）model（MDWD-GM（1，1）model）in detail.Based on the prediction results of all the dimensions calculated by this model，the weight value of each dimension is obtained by Sa function weighting method and BPneural network，then the final predictive value is obtained by weighting.Moreover，the MDWD-GM（1，1）model has been applied to the dam monitoring system and the application manifests that it offers better prediction results than traditional GM（1，1）model and one-dimensional dynamic GM（1，1）model as it takes the effect of different dimensions into account and increases the white degree of the grey range by updating the data in time.

GM（1，1）model；one-dimensional dynamic GM（1，1）model；multidimensional weighted dynamic GM（1，1）model；weight；BP neural network；the Sa function

TV698

A

1001－5485（2011）06－0005－05

2010-09-06；

2010-10-19

崔冬冬（1987-），男，安徽阜陽人，碩士研究生，主要從事水工結構工程及基礎工程研究，（電話）15208215241（電子信箱）631505116＠qq.com。

（編輯：曾小漢）