速度與速率的定義在物理教學上所造成的迷思

邱韻如

(長庚大學通識教育中心物理科,臺灣桃園)

速度與速率的定義在物理教學上所造成的迷思

邱韻如

(長庚大學通識教育中心物理科,臺灣桃園)

速度 (velocity)和速率(speed)在物理教學中是非常重要且基本的概念.物理教科書對這二者的定義是不同的.前者和位移有關,是向量,有方向;后者和路徑長有關,是純量(即標量—編者注),沒方向.為了讓學生了解其差別,教科書及相關教材都舉了很多的例題及考題來幫助學生學習.本文作者透過訪談,了解不同年齡層及知識背景的人,包括從小學生到成人,對速度和速率的概念及想法.探討的問題包括:速度與速率的定義在教學上所造成的迷思、一般人對速度與速率的認知、英文里速度與速率的差別等等.

速度;速率;教材教法;迷思概念

1 前言

1.1 速度與速率有什么不同?

速度和速率有什么不同?對正在學習中學物理的學生來說,最直覺的回答是:一個有方向,一個沒方向.再進一步思考,可能會說:一個和位移有關,一個和路徑長有關.同樣的問題,對初三以下的學生或已經忘了物理老師教過什么的人士來說,他們的答案通常是:速度大概是快慢的意思,而速率不是沒聽過,就是不知道什么意思.

1.2 速度和速率,哪一個比較常聽到?

對絕大多數的人來說,“速度”比較口語化,所以一般在講話或寫文章時,用“速度”的機會比“速率”來得多.一項研究[1]指出,小學五年級以下的小朋友,大概知道“速度”是快慢的意思,但卻幾乎沒聽過“速率”這個名詞.筆者訪談過不少非物理專業背景的成年人,他們也同樣是常聽到“速度”,而極少聽過“速率”,他們認為速率是專業的學術詞語或有特殊的定義,還有人認為速率的“率”是頻率的意思.筆者訪談一位初一的學生,他馬上背出速度就是距離除以時間,他說他的數學老師在上課時講的都是速度,但課本卻寫速率,因此他認為速率和速度的意思是一樣的.初三及高中的學生,大都知道速度與速率不同,他們不太記得定義,大都說“速度”是指快慢,而在課本之外,很少聽到“速率”.

1.3 velocity和 speed,哪一個比較常見?

在物理課本上,速度是 velocity,速率是 speed.從字源來說,velocity是 15世紀左右從拉丁文來的,而 speed只是日常的口語.11世紀到 18世紀的學術著作,幾乎都是以拉丁文撰寫,這應該就是物理教科書中用 v來代表速度或速率的原因.物理老師通常會以為 velocity是很常見甚至是通俗的字,但筆者請教過一些英文老師、外國人及曾在國外教過物理的物理老師發現其實不然,他們都說速度就是speed,是日常生活常用的字,用來形容快慢,但是很少聽到或甚至沒見過 velocity這個字,他們認為velocity是很文言或專業的字.

2 速度與速率的定義在教學上所造成的迷思

2.1 平均速度的大小不等于平均速率?

物理課本里,平均速度定義是位移除以所需的時間,這樣的定義和生活經驗是不一致的.舉例來說(圖1),在臺灣搭自強號火車從臺北到花蓮需要花 3小時,根據課本的定義,平均速度等于臺北到花蓮的位移 (117公里)除以 3小時,算出來的數值(39公里 /小時)(還要寫出方向)有實質的意義嗎?當然是要計算實際臺北到花蓮的路徑長 (196公里)除以 3小時,算出來的數值 (65.33公里 /小時),也就是平均速率才有意義!在這個例題中,二者的大小并不相等,哪一個才可以真正代表火車的快慢?

圖1 臺北到花蓮的位移及路徑長

2.2 平均速度的大小不能代表運動的快慢?

臺北到花蓮自強號的例題凸顯了一個問題:平均速度的定義和生活經驗相矛盾,它的大小不僅不等于平均速率,而且也不能代表火車運動的快慢,我們不禁要問,物理課本這樣定義的目的何在?

再舉個例子:某一時鐘其秒針長為 10cm,秒針由 10走到 12期間,針尖之平均速度大小為多少 cm/s?這一題的答案要用秒針尖端點的位移(=10cm)除以時間 (10sec),所以答案是 1cm/s(別忘了還要標示方向).雖然這題的目的是讓學生熟悉平均速度的定義,但是,如果把題目改成秒針從 9走到 12,或者從 6走到 12,算出來的平均速度的大小都會不同.我們當然不能解釋成秒針在繞一圈的過程中,走得快慢會有所不同,但是,說平均速度的大小不能代表運動的快慢,似乎和課本的說法不太一致.那么,問題的癥結是什么呢?

2.3 小學的速度和初高中的速度不一樣?

再來看一個大家都很熟悉的例子.山路長 3公里,小明上山花了 2小時,下山花 1小時,請問小明的速度是多少?小學的自然課和數學課都是用“速度”來描述物體運動的快慢,并讓學生學到速度和距離及時間的關系.小學教科書里的速度,其實就是中學物理課本里的“平均速率”.因此,以小學六年級的數學來算,來回山路的總長 (6公里)除以上下山總共花的時間 (3小時),因此答案是 2公里/小時.如果這一題出現在初三或高中的考卷里,學生就要回答,平均速度是零,平均速率是 2公里 /小時.同樣的題目,有不同的解答,問題出在哪里?

速度的定義,小學和初中不一樣,數學和物理也不同,這樣顯然是違背了九年一貫的精神.小學和初中的定義不一致的現象,讓小學相關課程的教材編輯者及教師限于兩難的境地,既不好太強調速度和速率的差別,又不敢大膽說速度和速率一樣,以免和物理的定義相違背.

小學六年級的數學課教到“速度等于距離除以時間”的單元時,大都是用“速度”而較少用速率.高年級自然課本里講到運動的快慢時,也都是用“速度”.小學的速度,其實就是中學物理課本里的“平均速率”.在初中及高中的物理課中,速度是向量,包括大小和方向,定義為位移除以時間,又說速度的大小就是速率.但是上述幾個例子,根據定義所算出的平均速度和平均速率的大小并不相同,到底哪里出了問題?是物理上的定義有問題?還是教材教法上出了問題?

2.4 特別強調平均速度的定義

為了要說明平均速度和平均速率的不同,某高中物理課本特別舉了這樣的例題 (圖2):某人沿著周長 400m的運動場,由 A點逆時鐘跑了半圈到達正北方的 B點,共花了 40s,則此人跑步之平均速率是多少?平均速度是多少?根據定義,平均速率是 5m/s,平均速度是 2m/s(向北).教科書的作者在課文中以這個例子來說明:“可知平均速度的量值不一定等于平均速率”.對初中及高中物理老師來說,這是一個常見的題目,但是若要和小學數學“一貫”的話,就要再特別說明清楚:“這題的平均速率就是小學里的速度,而平均速度是位移除以時間,它的大小不能用來描述運動的快慢.”

圖2 操場問題

3 問題與討論

3.1 日常生活用語和物理課本相矛盾

在中文里,我們慣用“速度”,而少用“速率”,而在英文的使用上,卻是常用 speed而少用velocity.但物理課本里的速度是 velocity,速率卻是speed.學術用語和日常用語的混淆,加上平均速度的定義又和生活經驗相矛盾,這對學生的學習,不會造成困擾嗎?

到底形容物體運動的快慢是速度還是速率?是 speed還是 velocity?在臺灣,研究學童這個概念的論文,有的用速度,有的用速率,連英文的對應也有稱 speed是速度,velocity是速率的.造成這樣的混亂,恐怕和物理教科書的定義和日常生活習慣用語不一致脫不了關系.

3.2 瞬時與平均

不少課本都提到,瞬時速度簡稱為速度;瞬時速率簡稱為速率.我們日常生活中和課本里所提到的速度或速率,并不見得都是“瞬時”的意思吧?有些物理課本說,速度是向量,包括大小和方向,速度的大小就是速率,前述幾個例子卻都展現出速度的大小并不見得就是速率.還有,既然平均速度的定義與日常經驗不符,物理課本為何要這樣定義?物理課本里的定義,怎會有這么多的矛盾?

平均速度定義為位移除以時間并不奇怪,這樣的定義是有意義的,是所舉的例題把它弄奇怪了.平均速度 (位移除以時間)的定義應該用于時距很短的情況下,在時距很短很短的情況下,二點之間的路徑長就趨近于位移,這是微積分里的非常非常重要的基本概念.因此,老師及教科書應該多舉適當的例子讓學生了解及體會,在時距很短的情況下,路徑長會很接近位移,而不是故意舉長時距長距離的例子 (如臺北到花蓮的自強號、上山下山問題)來強調路徑長和位移的不同.

3.3 把運動分為三類

速度和速率的大小到底相不相同?如果我們把運動分為直線單向運動、一維往返運動和二維運動等三類來說明 (這是筆者自創的分法),問題就清楚多了.直線單向運動中,平均速度和平均速率的大小相等,瞬時速度的大小和瞬時速率也相等的,都只是有方向沒方向的差別,因為大小都相等,所以教學上不適合用這樣的例子來說明速度和速率的差別.一維往返運動 (如上山下山),只適合用來講平均速率,若強調用這樣的情況來計算平均速度,不僅不能幫助學生了解概念,反而造成如本文所討論的各種矛盾與混淆.二維運動(如跑操場、秒針問題),適合結合極限的觀念來說明在時間很短很短的情況下,瞬時速度的大小可以逼近瞬時速率.但若在長時間長距離的情況下,用來強調平均速度和平均速率的大小不等,筆者認為是不太恰當的.

3.4 瞬時速度的極限概念

瞬時速度的概念是物理上各種運動,如自由落體、拋體運動、圓周運動、簡諧運動等的基礎.牛頓當年就是基于要解決這些運動的數學問題,提出時間的無窮小變化量而發展出微積分的.

要了解平均速度和瞬時速度的概念,所舉的例子應該是要讓學生熟悉在什么情況下,位移和路徑長很接近.其實這就是極限的觀念,當年阿基米德計算圓周長就是用這樣的想法 (如圖3),三國時代的數學家劉徽描述得很貼切:“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣!”.

圖3 以內接多邊形估算圓周長的示意圖

二維運動的例子是很適合用來教“極限”觀念的.以前面秒針尖端點的例子來說,它的運動是等速率的,因此瞬時速度的大小就是平均速率,即圓周長 (2πr,r=10cm)除以繞一圈的時間 (60s),等于 1.0472(cm/s).我們所舉的例子應該是讓學生明了,秒針尖端從 11走到 12的位移的大小會比從 10走到 12更加接近它的路徑長.如果計算的時間越短 (例如只算一秒),所得到的位移大小就越接近它的路徑長,這樣算出來的平均速度就越能代表瞬時速度.因此,筆者認為,使用得當的話,其實秒針問題是一個很好的例子.但是如果只考從 10走到 12的平均速度,反而會把平均速度的意義弄得很奇怪,對學生的學習不僅無幫助而且還有反效果.

瞬時速度的極限概念包括兩個部分,一是長度的極限,二是時間的極限.如前所述,在二維運動的情況下,若一直切割下去,路徑長就可以用位移大小來取代,這個概念并不是很難了解.學生比較難理解的恐怕是時間的極限部分,在微積分的發展上,這一個非零又很接近零的“無窮小量”概念,曾經造成了數學家們很大的困擾.因此,這可能是教學上學生較難理解的部分.所以,在中學的物理教學上,要如何避免直接教微積分,又能夠讓學生明了瞬時的極限觀念,是一個值得大家深思的問題.

4 結論與建議

4.1 日常生活用語與教科書用語的不一致造成教學上的困擾

對英語體系的人來說,在日常生活中的 speed正好和物理上的 speed概念一致,velocity則是物理上專用的字,因此沒有日常用語與教科書不一致的問題.對華文體系的人來說,教科書中 velocity和 speed分別被翻譯成速度和速率,造成教科書用語和日常生活用語的不一致的現象:在日常生活中,我們慣用“速度”,而少用“速率”,但實際生活上遇到的例子大都是“平均速率”.于是,對教與學都造成了許多困擾.

4.2 過于強調位移和路徑長的不同反而有效反果

平均速度的定義看來和日常生活相矛盾,并不是定義不對,而是我們所舉的例題不恰當而把它弄奇怪了.平均速度是教瞬時速度概念的過渡,我們應該舉例來幫助學生了解在“極限”的情況下位移大小和路徑長很接近,而不是拿長時距長距離的例子來特別強調位移大小和路徑長的不同.

[1] 王春奎,鍾靜.兒童速率概念之初探研究,師大學報,2004,49(1):41～64

[2] Chiu,Yun-Ju.A Study on the Misconceptions of Average Velocity from Teaching and Learning Approaches. Paper presented at the Conference of Asian Science Education(CASE2008),Kaohsiung,Taiwan,2008,February 20～23

MISCONCEPTIONS OF AVERAGE VELOCITY AND SPEED IN PHYSICS TEACHING

Chiu Yun-Ju
(General Education Center,Chang Gung University,Taiwan)

This paper addresses some factors which will make students confused in class when they are learning the definition of the average velocity.To teach the concept of average velocity,teachers must understand the mis match of daily language and textbook language will make students confused.Teachers must select suitable examples and strategies to help their students.

concepts;velocity;speed;kinematics;textbook

2011-03-05)

邱韻如 (1963年出生),女,臺灣臺北人,長庚大學通識中心助理教授,臺灣師范大學物理博士,主要從事大一普通物理學、普物實驗教學及科學教育研究.