“自然坐標系”下的角動量定理及其應用

吳義炳 劉銀春

（福建農林大學機電工程學院，福建 福州 350002）

“自然坐標系”下的角動量定理及其應用

吳義炳 劉銀春

（福建農林大學機電工程學院，福建 福州 350002）

闡述在剛體的定點轉動中，引入“自然坐標系”來分析，往往可以使問題變得更加簡單，物理意義變得更加清晰，并且通過具體實例加以驗證，最后通過對剛體定軸轉動的分析，把剛體定軸轉動的角動量定理與定點的角動量定理統一起來.

自然坐標；角動量定理；定軸轉動

引言

一般情況下，為了能夠定量地描述質點的運動，經常引用笛卡兒坐標系；但同時也發現有些問題，尤其是對那些運動軌跡已知的問題的處理，引用自然坐標系可以使問題更簡單，物理意義更加明了.如：在質點作曲線運動時，引入自然坐標系后，速度就只有切向分量；加速度可以分解成為切向分量at與法向分量an；合外力也可分解為切向力Ft與法向力Fn，由此容易理解切向分量Ft是引起速度大小發生變化的原因，而法向分量Fn是引起速度的方向發生改變的原因等.類似，也可把自然坐標引入到剛體定點轉動的情形，從而也會使某些定點轉動問題簡單化.

1 角動量定理在“自然坐標系”中的表達式

在力學中描述剛體繞定點轉動時，通常是通過建立特殊的隨體參考系（即慣量主軸坐標系），然后應用剛體定點轉動的歐拉動力學方程來求解，其表達式如下

這是一組非線性常系數微分方程，一般情況下要求解出這個方程組相當困難，且它也只在特殊的條件下才存在解析解.但是在有些情況，若引入“自然坐標系”，卻有可能使剛體定點轉動的問題簡單化，物理過程更加清晰，物理意義更加明確.

這里的“自然坐標”是通過以下方式建立起來的，如圖1所示，O為固定點，角動量與外力矩都是相對O點而言，首先把角動量的方向作為“切向”坐標（說明：在定點轉動中，剛體的角動量方向一般是難以確定的，但在一些存在一定規律性的轉動中是可以確定的，如我們下面要討論的幾個例題），那么角動量矢量可表述成L＝Let形式，式中的et為“切向”的單位矢量，則角動量定理可寫成如下形式

圖1

式中的Mt和Mn分別為合外力矩在“切向”與“法向”的分量的大小，式（3）為剛體定點轉動的角動量定理在“自然坐標系”中的表達式，從中可以清楚看到：“切向”力矩Mt即是改變角動量大小的原因，也能反映出角動量大小變化的快慢；而“法向”力矩Mn是引起角動量L方向變化的原因.又因為ω′反映了角動量方向變化的快慢，由可知，ω′與“法向”力矩Mn成正比，與角動量的大小L成反比，也就是說外力矩改變角動量方向的難易程度是與角動量本身的大小相關.因此，引入“自然坐標系”后，按“切向”與“法向”分解后，可以使剛體的角動量定理物理意義變得更加清晰.另外，利用“自然坐標”下的角動量定理，也往往會使一些復雜的問題簡單化.如：當剛體的轉動狀況較復雜時，可以利用式（3）通過外力矩來間接分析角動量變化規律；反之，當外力矩不易求解時，也可以利用式（3）由角動量的變化規律來確定外力矩.下面通過具體的實例來分析.

2 “自然坐標系”下的角動量定理的應用舉例

例一已知一長為l均勻細桿可以繞其上的距端點為的O點自由轉動，用一根細線系著桿的另一端，并將線固定到O的豎直上方的A點，如果剛體繞OA軸以角速度ω逆時針轉動，如圖2所示，求細線相對于O點的拉力矩.

分析這是一個已知剛體的轉動狀態，求其所受外力矩的問題.以下分析中的角動量與力矩都是相對O點而言，細桿繞OA軸逆時針轉動時，由質點系的角動量的定義式容易求出整個剛體的角動量方向為垂直于細桿斜向上.在理想狀況下，外力矩只有兩個，即重力矩與細線的拉力矩.在圖2的位置時，由M＝r×F可知，重力矩的方向垂直于角動量L與OA軸組成的平面，指向里；細線的拉力矩垂直于角動量L與OA軸組成的平面，指向外.其實在整個轉動過程中，重力矩與拉力矩兩者方向始終相反且都垂直于角動量L，所以合外力矩只有垂直于角動量的分量，即“自然坐標系”中的“法向”分量.因此式（3）可簡化為

圖3表示由t時刻到t＋dt時刻的“自然坐標系”中“切向”單位矢量變化情況.又因為式中的ω為細桿繞OA軸轉動的角速度；而的方向是垂直于角動量即為“法向”，因而式（4）可再化為

再由Mn＝MT＋MG＝Lsin α·ω·en（式中的MT為拉力矩，MG為重力矩），就可求出拉力矩了.

例二解釋陀螺的進動現象.我們知道如果陀螺不轉動或轉速很低時，在重力矩的作用下將發生傾倒，但當陀螺急速旋轉時，盡管在重力矩作用下，卻居然不會倒下來，而是陀螺在繞本身對稱軸線轉動的同時，其對稱軸還將繞豎直軸回轉，這就是陀螺的進動現象.

分析由于陀螺的運動本身較復雜，而其所受外力矩卻比較簡單，所以我們可以先分析外力矩，再用角動量定量來判斷運動的情況.如圖4所示，當轉軸OB與豎直軸OA重合時，陀螺沒有受到外力矩的作用，其會保持繞自身對稱軸高速旋轉的狀態.當陀螺重心不在豎直軸OA上，重力相對O點會產生一個力矩，其方向始終垂直于角動量方向，也就是只有“法向”力矩，這就與例一中的情況類似，因而式（3）可以簡化為

圖4

式中的α是轉軸OB與豎直軸OA的夾角；ω是角動量相對于OA的轉動角速度，即進動的角速度.在這樣的外力矩的作用下，陀螺的角動量的方向會不斷地發生變化，形成進動現象就不難理解了.同時也正是由于剛體的進動，則會產生一個與重力矩方向相反的力矩——回轉力矩.它有將陀螺的軸向上抬升的趨勢［1］，因而陀螺不會倒下來.

式（6）還可再化為：mglcsin α＝L ω sin α，式中的lc為質心到O點的距離，即有

對與某個具體的陀螺而言，左邊值是固定的，所以進動的角速度與陀螺的角動量大小成反比，即L較大時，ω較小，而L變小時，ω反而變大.但隨L的減小，ω的增大也是受到限制的，因為系統不僅要滿足角動量定理，也要滿足能量守恒定律，因此，當L減小到一定的程度，ω增加的速度不夠快時，式（7）就會遭受破壞，造成左邊大于右邊，這樣在重力矩的作用下，陀螺就會發生傾倒.所以要使陀螺發生進動，那么陀螺繞自身對稱軸轉動的角動量要遠大于由進動時產生的角動量.

3 定軸轉動的角動量定理與定點角動量定理的“統一”

質點的角動量是相對某點而言的，剛體定軸轉動的角動量卻是相對于某個軸，兩者關系如何？在大學物理的教材中有說到“由于剛體定軸轉動只對軸向分量感興趣，所以把剛體上各質點對轉軸上任意一點的角動量沿轉軸方向分量之和定義為剛體定軸轉動的角動量”［2］.這里只用“感興趣”來帶過，并沒有說明其具體原因.下面引入“自然坐標系”來分析兩者的內在聯系.

剛體是屬于質點系的，質點的角動量是相對于某一點而言的，因此剛體的角動量也應相對某一點而言，而且這參考點應該選擇在定軸上比較有意義［3］.先來計算剛體上任意一質點P相對于軸線上任意點O的角動量，定軸轉動的剛體上每個質點都是在作圓周運動，如圖5所示，由質點角動量的定義Li＝Ri×mivi可知質點P角動量方向如圖5中的Li所標示.如果這個質點P受到外力，用Fi表示，那么這個外力必可分解為P點的徑向、速度方向和軸向三個分量，對于定軸轉動剛體上的質點而言，只有平行速度方向的分力對剛體轉動有效，而且這個分力相對于O點的力矩（不妨稱為“有效力矩”M有效）方向正好與質點P相對于O點的角動量Li一致.同樣以角動量的方向為“切向”，垂直于角動量的方向為“法向”建立“自然坐標系”，則

圖5

等式右邊的第一項為“切向”分量，第二項為“法向”分量；又因為質點所受的“有效力矩”M有效只有“切向”分量，而沒有“法向”分量.可知式（8）中法向分量不是由“有效力矩”提供的.所以在只考慮“有效力矩”情況下的質點角動量定理為

剛體屬于質點系，對式（9）兩邊求和，可得剛體在只考慮“有效力矩”的情況下的相對于軸線上任意點的角動量定理

由于剛體上各個質點的位置不同，相對于O點的角動量方向也不同，單位矢量eit也就不同，式（10）右邊是一個矢量和，較為復雜.也可得其軸向分量表達式，并用Z軸表示軸向.

與式（10）相比，式（11）至少有兩點優勢：首先，所有質點不論是角動量，還是所受到的力矩，在Z軸的分量都在軸線上，這樣就由式（10）的矢量計算變成式（11）的代數計算；其次，再來討論不會產生“有效力矩”的另外兩個分力——徑向分力與軸向分力，這兩個力相對于軸線上的任意點O的力矩都是垂直于軸向的，或者說這兩個力產生的力矩在Z軸的分量都為零，因此，分量表達式（11）中力矩不必局限于“有效力矩”，可以擴充到外力矩.即

這就得到了剛體定軸轉動的角動量定理，由此可知，定軸轉動剛體的角動量可以定義為剛體相對于軸線上某點的角動量在Z軸的分量.這樣既可以把問題簡單化，也可以使剛體定軸轉動的角動量定理與定點轉動的角動量定理真正統一起來.

總結

從以上分析可知，在研究剛體繞定點轉動的情況下引入自然坐標系，把外力矩與角動量都按“切向”與“法向”分解，確實可以使某些問題簡單化.同時，也使剛體定點轉動過程的物理意義清晰化，由于“切向”分量的力矩對角動量的大小變化起作用，如許多阻力矩都是平行于角動量并與之反向，所以在不斷地改變角動量的大小.“法向”分量的力矩是起了改變角動量方向的作用，如陀螺里的重力矩，使陀螺的角動量方向不斷地發生變化，從而形成進動現象.最后通過引入自然坐標系對剛體定軸轉動這一特殊系統進行分析，獲得了質點的角動量定理與剛體定軸轉動的角動量定理的真正統一.但也存在不足的地方，就是“自然坐標系”下的角動量定理也只能對于一些較為特殊的場合才能體現出其優越性，通用性不如歐拉動力學方程.

［1］ 梁昆淼.力學（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.272～273

［2］ 程守洙，江之永.普通物理學上冊（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.124

［3］ 賈玉磊，賈瑞皋.剛體角動量的定義和定義狀態量的原則［J］.物理與工程，2008，18（5）：13～16

ANGULAR MOMENTUM THEOREM AND ITS APPLICATION IN NATURAL COORDINATES

Wu Yibing Liu Yinchun
（College of Mechanical and Electrical Engineering，Fujian Agriculture and Forestry University，Fuzhou，Fujian 350002）

In the process of fixed point rotation of rigid body，it often make the problem much easier by introducing the natural coordinates，in which way the physical meaning becomes clearer.We combine the angular momentum theorems of fixed axis rotation and fixed point rotation of rigid body by analysis and specific cases.

natural coordinate；angular momentum theorem；fixed axis rotation

2011－07－25）

福建省大學物理實驗教學示范中心建設項目（閩教字（2008）27）資助；福建農林大學青年教師基金項目（020763）資助.