上半平面的 空間和增長型空間上的復合算子的譜＊Bloch

姬小斌, 于 濤

(浙江師范大學數理與信息工程學院,浙江金華 321004)

0 引 言

令 C表示復平面,D表示復平面上的開單位圓盤,Π+表示復平面上的開上半平面,即Π+={z∈C:Imz>0},I mz表示復數 z的虛部.H(D)表示定義在 D上解析函數的全體,H(Π+)表示定義在Π+上解析函數的全體.設φ是Π+上的解析自映射,由φ誘導的復合算子 Cφ定義為 Cφ(f)=f°φ,?f∈H(Π+).

單位圓上的 Hardy空間定義為

關于 Hardy空間復合算子的討論可參閱文獻[1].

令 H2(Π+)表示上半平面上的 Hardy空間,即

關于這類空間上復合算子的討論可參閱文獻[2-3].

單位圓盤上的 Bloch空間定義為

定義范數‖f‖B=|f(0)|+B(f),Bloch空間在此范數下成為一個 Banach空間.

令 A-1(D)表示單位圓盤上的增長型空間,即

A-1(D)是一個Banach空間.關于此空間的更多探討可參閱文獻[5-6].

文獻[7]給出了復合算子在 Bergman空間和 Hardy空間的譜結構,并提出猜想:復合算子在圓盤上的Bloch空間和BMOA空間的譜等于閉單位圓盤;文獻[8]證明了復合算子在圓盤上的 Bloch空間的譜等于閉單位圓盤;文獻[9]證明了復合算子在圓盤上的BMOA空間的譜等于閉單位圓盤,其證明思想主要來源于文獻[10].本文主要利用復合算子在單位圓盤上的Bloch空間和增長型空間的譜結構,得到了復合算子在上半平面Bloch空間和增長型空間的譜.

設 X是一個 Banach空間,B(X)代表 X上所有有界算子形成的算子空間,設 A∈B(X),用 re,X(A)代表算子A的本性譜半徑.

1 上半平面的 Bloch空間上的復合算子的譜

證明 對 f∈H2(D),有

引理 3得證.

顯然 ,(2Cμ)-1Cφ(2Cμ)=Cλ,因此σB0(Π+)(Cφ)=σB0(D)(Cλ).

定理 1 設φ是Π+上的解析自映射,若φ是單射,不是自同構,φ(i)=i,re,H2(Π+)(wCφ)≠0,則σB∞(Π+)(Cφ)=D.

2 上半平面的增長型空間上的復合算子的譜

引理 4[8]設φ是 D上的解析自映射,u∈H(D),若φ不是自同構,φ(0)=0,uCφ是 A-1(D)上的

證明 利用引理 4和引理 5,易證定理 2成立.

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