擬Koszul-like模＊

呂家鳳, 包科維, 葉曉曉, 王一帆

(浙江師范大學數理與信息工程學院,浙江金華 321004)

0 引 言

Koszul代數最初由 Priddy[1]提出,它是一類具有許多優美同調性質且在數學的諸多分支均有重要應用的二次代數.Berger[2]首次把這類代數推廣到高次代數上,引入了非二次的 Koszul代數,這類代數后來常被稱為 D-Koszul代數[3-4].Green等[5]把 Koszul對象推廣到非分次情形,討論了諾特半完全代數的 Koszul性質和諾特半完全代數上的有限生成模的 Koszul性質,定義了擬 Koszul代數和擬 Koszul模.受文獻[5]的啟發,文獻[6]研究了諾特半完全代數的D-Koszul性質,引入了擬 D-Koszul代數的概念;文獻[7-8]討論了諾特半完全代數上的有限生成模的 D-Koszul性質,定義了擬 D-Koszul模.而 Koszul-like代數和 Koszul-like模是 Koszul代數和 Koszul模的又一自然推廣 (事實上,Koszul代數到目前為止已經有很多形式的推廣,如文獻[9-12]),且有例子表明,某些整體維數是 5的 Artin-Schelter正則代數是 Kos-zul-like代數.

本文主要把 Koszul-like模推廣到非分次情形,討論了諾特半完全代數上有限生成模的 Koszul-like性質,定義了擬 Koszul-like模,并試圖把有關 Koszul-like模的一些好的性質推廣到非分次情形.

1 Koszul-like模及其極小分次投射分解

其中,d,t1和 t2是滿足 d>t2>t1>1的自然數.

定義 1 設 A是標準分次代數.稱有限生成分次 A-模M為 Koszul-like模,如果 A-模 M有極小分次投射解

使得對于任意的 n≥0,Pn由δdt1,t2(n)次生成.特別地,若平凡 A-模 A0是 Koszul-like模,則稱標準分次代數 A是 Koszul-like代數.

顯然,對于 Koszul-like模,有如下判定方法:

命題 1 設A是標準分次代數,M是有限生成的非負分次A-模,則M是 Koszul-like模當且僅當對任

證明 類似于λ-Koszul模[11]的情形,故略.

命題 2[5]設A是標準分次代數,則存在有限箭向圖Γ和路代數 kΓ的分次理想 I?∑n≥2(kΓ)n,使得作為分次代數,有 A?kΓ/I成立.

定理 1 設 A=kΓ/I是標準分次代數,M是由 0次生成的分次 A-模.設

是 A-模M的極小分次投射分解,則M是由δdt1,t2定義的 Koszul-like模當且僅當對任意 n≥0,有 kerdn?

t1,t2(n+1)次生成矛盾.因此,x∈Jkerdn.

定義 2 設 R是諾特半完全代數,J是其 Jacobson根,M是有限生成的 R-模,則稱M是擬 Koszul-like模當且僅當M有極小投射解

使得對任意的 n≥0,有

特別地,若 R/J是擬 Koszul-like模,則稱 R是擬 Koszul-like代數.

例 1 1)局部正則代數[13]是擬 Koszul-like代數.事實上,令 R是局部正則代數,m是 R的極大理想,且 G(R)=n.設 x1,x2,…,xn是 R的一正則序列.通過常規計算,平凡模 R/m有如下極小投射分解:

其中 e1,e2,…,en是 R⊕n的一組自由基.不難驗證 R是擬 Koszul-like代數.

2)Green等在文獻 [5]中定義的擬 Koszul代數 (模)是義的擬 Koszul-like代數 (模).

2 諾特半完全代數上的有限生成模

本節主要回顧諾特半完全代數上的有限生成模的基本性質,其中絕大部分內容可在文獻[8]中找到,由于它在本文中具有重要作用,因此給出簡要敘述.采用文獻[8]中的記號,設 R是諾特半完全代數,J是 R的 Jacobson根,則對任意有限生成的 R-模M,必有如下投射分解:

使得對任意的 n≥0,Qn是有限生成的 R-模且 kerfn?JQn,即分解 Q是“極小的”.為簡潔起見,記 Si:=kerfi-1,常稱 Si為 M的第 i個合沖.記

在 Yoneda積下,E(R)是分次代數,ε(M)作成分次 E(R)-模.值得注意的是,在本節的情形下,它們都不再是雙分次的.然而,可以在ε(M)上定義第二次數

引理 1[8]采用上述記號,有下列命題成立:

引理 2[8]設 R是諾特半完全代數,M是有限生成的 R-模,且

是M的極小投射解.令 f:N→N為任意一個滿足 f(i)≥i≥1的遞增的集合映射.則

3 擬 Koszul-like模的 Ext模

本節主要討論如何用 Ext?？坍嫈M Koszul-like模.

因此,對任意的 i≥1,δdt1,t2(i-1)=i-1,即M是擬 Koszul模.命題 3證畢.

注 1 命題 3表明,對于擬 Koszul-like模,沒有類似于命題 1的結論,但仍然可以通過 Ext-模的第二次數刻畫擬 Koszul-like的性質.

定理 2 設 R是諾特半完全代數,M是有限生成的 R-模,則M是擬 Koszul-like模當且僅當對任意的 i≥1,有

證明 必要性 設M是擬 Koszul-like模且

是M的極小投射分解.采用前面的記號 Si:=kerdi-1,則根據擬 Koszul-like模的定義,對任意的 i≥1,

即M是擬 Koszul-like模.定理 2證畢.

定理 3 設 R是諾特半完全代數,M是有限生成的 R-模.若有下列條件成立:

則M是擬 Koszul-like模.

綜上,定理 3得證.

[1]Priddy S B.Koszul resolutions[J].TransAmerMath Soc,1970,152:39-60.

[2]Berger R.Koszulity for nonquadratic algebras[J].J Alg,2001,239(2):705-734.

[3]Green E L,Marcos E,Martínez-Villa R,et al.D-Koszul algebras[J].J Pure ApplAlg,2004,193(1/2/3):141-162.

[4]Cheng Zhi,Ye Yu.One-point extensions oft-Koszul algebras[J].ActaMath Sin:Engl Ser,2007,23(6):965-972.

[5]Green E L,Martínez-Villa R.Koszul and Yoneda-Ext algebras[J].Conference Proc AMS,1996,18:247-297.

[6]He Jiwei,Ye Yu.On the Yoneda-Ext algebras of semiperfect algebras[J].Alg Colloq,2008,15(2):207-222.

[7]呂家鳳,冷雁.擬 d-Koszul模[J].浙江大學學報:理學版,2008,35(5):481-485.

[8]司君如.高階擬 Koszul模[J].數學學報,2009,55(5):101-110.

[9]LüJiafeng.On moduleswithd-Koszul-type submodules[J].ActaMath Sin:Engl Ser,2009,25(6):1015-1030.

[10]LüJiafeng.On moduleswith piecewise-Koszul towers[J].Houston J Math,2009,35(1):187-205.

[11]LüJiafeng.Algebraswith periodic shifts of Ext degrees[J].Math Notes,2009,86(5/6):665-681.

[12]LüJiafeng,He Jiwei,Lu Diming.Piecewise-Koszul algebras[J].Sci China:A,2007,50(12):1795-1804.

[13]Weibel C A.An Introduction to HomologicalAlgebra[M].Cambridge:Cambridge Univ Press,1995.