一類熱傳導方程逆時反問題的數值解法＊

葛美寶， 徐定華

(1．浙江理工大學科技與藝術學院，浙江杭州 311121;2．浙江理工大學理學院，浙江杭州 310018)

0 引言

大量熱傳導方程的逆時反問題(BHCP)以不同的形式出現在熱傳導、流體學、材料學及工程科學的實際應用中．熱傳導方程反問題有著重要的應用價值，但也存在嚴重的不適定性，這種不適定性表現在解有可能不存在，即使存在也可能不穩定，即測量數據的微小變化將引起解的急劇變化，從而導致數值處理的極端困難．因此，這類反問題的研究吸引了國內外眾多學者的關注，同時得到了一些好的正則化方法和誤差估計［1-9］．如:Latter和 Lion［1］，Showalter［2］及 Ames等［3］利用擬逆法求解 BHCP 的數值解;熊向團等［4］利用中心差分法和擬逆法求解了一類不含源項的熱傳導方程反問題的數值解，得出了解的穩定性估計;Denisov［5］討論了在三維空間中含有自伴橢圓算子拋物型方程的反問題，通過擬解法進行數值模擬，同時給出了正問題解的穩定性估計和擬解的存在性結果;葛美寶等［9］討論了一類含源項ρ(t)u(x，t)的拋物型方程逆時反演的擬解法，并給出了正問題解的穩定性估計．本文利用文獻［4］的中心差分算法求解了一類含源項q(x)u(x，t)的逆時反問題的數值解法，數值結果表明了中心差分方法的有效性和可行性．為了敘述簡單起見，本文僅以一維區域為例．本文的方法可推廣至更加廣泛的反應擴散方程［10］，考慮有界區間上的反問題，對二維情形同樣適用．

熱傳導方程逆時反問題(BHCP):設 QT=［a，b］×［0，T］，求初始分布函數

式(1)中:u(x，t)是下面問題的解:

D為熱傳導系數，q(x)為源項系數．

1 中心差分方法

本文利用文獻［4］中的中心差分方法求解反問題(式(2))．利用中心差分代替uxx，得到方程如下:

令 t^=T-t，w(x，t^)=u(x，t)，則可得到

根據二階中心差分，在xi處用差商代替微分wxx，則式(4)變形為

式(5)中:xi=a+(i-1)h，i=1，2，…，M+1;h=(b-a)/M;wi=wi(t^)=w((i-1)h，t^)．則由方程式(3)中的邊界條件可知:w1(t^)=l(t^)，w2n+1(t^)=s(t^)．此時方程(5)加上初始條件可得:

這是一個帶有初始條件的非線性常微分方程組，對式(6)～式(7)的求解在數值計算上有很多方法，如歐拉法、龍格庫塔方法和線性多步法等．但是根據矩陣A特征值的計算方法，上面的特征值

于是，現在做如下的變換:

其中α＞0為壓縮因子．此時，式(5)變為

同理可以得到:

2 數值模擬

在這一部分中，筆者將運用中心差分法求解具體的實例，然后通過Matlab［11］上機進行數值模擬，從而說明該算法的有效性．

考慮下面的正問題:

根據差分格式(12)，可以計算出2種情形中u(x，T)的數值，結果如圖1所示．

圖1 由式(12)計算得到u(x，T)的數值解

根據上述反問題的求解算法，利用圖1中已經計算的數值解u(x，T)=ψ(x)，反求u(x，0)的數值解，結果見圖2(情形1)和圖3(情形2)．

圖2 u(x，0)數值解與精確解的比較，β =3，m=20，n=11(情形1)

圖3 u(x，0)數值解與精確解的比較，β =3，m=5，n=10(情形2)

3 結論

利用中心差分法求解了一類含源項q(x)u(x，t)的熱傳導方程逆時反問題．當T，M，N，b取不同值時，對精確解和數值解進行數值模擬，結果表明:

1)反問題的穩定性依賴于終止時間，隨著終止時間T的增加，反問題的穩定性逐漸降低;反演的時間間隔越長，結果的精確度越低．

2)利用該方法求解熱傳導方程逆時反問題具有穩定性好、精度高的特點，值得在實際應用中采用，而且這種方法也可推廣到高維的情形．

3)反問題的結果與正則化參數β的選取有很大關系，一般要求β≥2．β值具體如何選取，還需要進一步的研究．

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