關于弱d-Koszul模的一個注記＊

2011-12-17 09:10:12陳沛森

浙江師范大學學報(自然科學版) 2011年1期

陳沛森

(1．浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004;2．義烏工商職業技術學院，浙江義烏322000)

Koszul代數最初由Priddy［1］于1970年提出，它是一類具有許多優美同調性質且在數學的諸多分支均有重要應用的二次代數．受整體維數是3的Artin-Schelter正則代數的影響，Berger［2］于2001年首次把這類代數推廣到高階齊次分次代數的情形，引入了非二次的Koszul代數;Green等［3］又把這類代數進一步地推廣到0次分支是半單的情形，并稱這類代數為d-Koszul代數;2003年，Martínez-Villa等［4］研究了Koszul代數上有限生成分次模的Koszul性質，定義了弱Koszul模的概念;2007年，作為弱Koszul模和d-Koszul模的推廣，呂家鳳等［5］研究了d-Koszul代數上有限生成分次模的d-Koszul性質，引入了弱d-Koszul模的概念．特別地，文獻［5］的主要結果之一是證明了每個弱d-Koszul模都可以由d-Koszul子模來逼近．在證明該結果時，下面這個結果發揮了重要作用:

命題1［5］設A是d-Koszul代數，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列，則

1)如果K和M是弱d-Koszul模且JkK=K∩JkM，k≥0，則N是弱d-Koszul模;

2)如果K和N是弱d-Koszul模且JK=K∩JM，則M是個弱d-Koszul模．

從命題1可以看出，弱d-Koszul模范疇在一定的條件下是擴張封閉的且保持單同態的余核．一個自然的問題是:弱d-Koszul模范疇在什么情形下保持滿同態的核?本文的主要目的就是給出一個使得弱d-Koszul模范疇在滿同態的核下封閉的充分條件．

定理1 設A是d-Koszul代數，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列且M和N是弱d-Koszul模．若對任意的 i，k≥0，有 JkΩi(K)=Ωi(K)∩JkΩi(M)，則 K 也是弱 d-Koszul模．其中:J是 A的分次Jacobson根;Ωi表示第i個合沖．

為了證明定理1，先給出2個引理．

引理1［5］設0→K→M→N→0為gr(A)中的正合列，則下列命題等價:

1)JkK=K∩JkM，k≥0;

2)A/Jk?AK→A/Jk?AM(k≥0)是單同態的;

3)0→JkK→JkM→JkN→0(k≥0)是正合的;

4)0→JkK/Jk+1K→JkM/Jk+1M→JkN/Jk+1N→0(k≥0)是正合的;

5)0→JkK/JmK→JkM/JmM→JkN/JmN→0，m ＞k≥0．

引理2 設A是分次代數，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列，則JK=K∩JM當且僅當有如圖1所示的行列正合的交換圖．

圖1 正合交換圖之一

圖1 中，P0→K→0，L0→M→0及Q0→N→0是分次投射蓋．

證明必要性由題設JK=K∩JM，再根據引理1，可得正合列0→K/JK→M/JM→N/JN→0．注意到對任意有限生成的A-模M，A?A0M/JM→M→0是分次投射蓋．現令

因為A0是半單的，故可得正合列0→P0→L0→Q0→0．于是，可得如圖2所示的除頂行外的行列正合的交換圖．

圖2 正合交換圖之二

根據“3×3”引理，可得正合列0→Ω1(K)→Ω1(M)→Ω1(N)→0，故必要性得證．

充分性注意到一個有限生成的分次模的分次投射蓋在同構意義下是唯一的，故不妨設P0:=A?A0K/JK，L0:=A?A0M/JM，Q0:=A?A0N/JN．由圖1的中間一行是正合的可得正合列0→A?A0K/JK→A?A0M/JM→A?A0N/JN→0．又A0是半單的，故有正合列0→K/JK→M/JM→N/JN→0．再根據引理1，有JK=K∩JM．引理2證畢．

定理1的證明由題設JK=K∩JM，再根據引理2，可得正合交換圖1，顯然有如圖3所示的行列正合的交換圖．