波函數教學中一個被忽視的問題

劉翠紅，蔣 暉，王建永，唐勝輝

（河海大學數理部， 江蘇常州 213022）

波函數教學中一個被忽視的問題

劉翠紅，蔣 暉，王建永，唐勝輝

（河海大學數理部， 江蘇常州 213022）

根據波函數寫質點的振動函數或波的波形函數是波函數教學中的基本問題，然而目前的教材在講解此類問題時都忽視了一個問題，即位于波尚未到達的區域中的質點其實是靜止的，這導致了寫出的振動函數或波形函數其實并不完全正確；指出了這一問題并給出了解決方案，所得結論對波函數的教學具有較大的參考價值。

波函數； 振動； 波形

1 引言

振動和波是物質運動的重要形式之一，也正是由于這個原因，幾乎所有的物理學教材都把振動和波列為基本內容。波函數是描述波的最基本的方程，正確理解波函數是學習和研究波的關鍵。然而我們在教學實踐中發現，目前的大學物理教材包括一些在國內有較大影響的教材［1－3］在講解波函數時都忽視了一個問題，即位于波尚未到達的區域中的質點其實是靜止的。由于忽視了這一問題，導致根據波函數寫出的質點振動函數或波的波形函數并不完全正確，相應的繪制的振動曲線或波形曲線也不完全正確。所有這些將使學生對波產生不正確的認識，應用在技術上，有時可能引起比較嚴重的后果。

為了解決這一問題，我們查閱了很多文獻，發現研究波函數教學的文獻［4－8］很多，但都沒有提到這一問題，這表明很多作者還沒有認識到這一問題，所以很有必要指出并解決這一問題。

2 問題及解決方案

為簡單起見，考慮以下一種簡單情形：波源從0時刻開始振動，振幅為A，角頻率為ω，初相為φ，產生的波為橫波，沿x軸正方向傳播，波數為k。易知此時波的波函數為：

很多教材都提到了這樣兩個問題，即根據波函數寫平衡位置的橫坐標為 的某質點的振動函數和波在某時刻 的波形函數，并且給出了結果，分別是：

根據這兩個結果還可以繪制該質點的振動曲線和該時刻的波形曲線，例如根據（2）式繪制的該質點的振動曲線如圖1所示。

圖1 振動曲線1

這兩個結果和相應的曲線表面上看都是正確的，但實際上它們都忽視了一個問題，即位于波尚未到達的區域中的質點其實是靜止的，這導致了這兩個結果和相應的曲線其實都并不完全正確。下面對這一問題做一較為詳細的分析。

先分析（2）式。由于波的傳播需要一定的時間，所以x0點并不是從0時刻開始振動的，假設該點從t1時刻（t1很容易計算出來）開始振動，則易知（2）式需改寫為：

相應的，圖1也需改繪為圖2。

圖2 振動曲線2

再分析（3）式。同樣由于波的傳播需要一定的時間，所以在t0時刻，波并不是充滿了x軸的整個右半軸（因波沿x軸正方向傳播，x軸的左半軸沒有波動），而是局限于區間［0，x1］之內，其中x1是波在該時刻剛剛到達的點（x1很容易計算出來）。所以（3）式需改寫為：

相應的，可以在（5）式的基礎上繪制正確的波形曲線。

3 結論

在目前的大學物理教材中，根據波函數寫振動函數和波形函數時都忽視了一個問題，即位于波尚未到達的區域中的質點其實是靜止的，由此導致了寫出的振動函數和波形函數以及繪制的振動曲線和波形曲線并不完全正確。本文指出了這一問題，并給出了解決方案，所得結論對教師講授和學生學習相關內容具有較大的參考價值。

［1］ 程守洙，江之永.普通物理學（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 馬文蔚.物理學（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］ 吳百詩.大學物理（下冊）［M］.北京：科學出版社，2001.

［4］ 楊薇.機械波中一基本題型的旋轉矢量法求解［J］.高等函授學報（自然科學版），2010，23（4）：46－47.

［5］ 曹曉燕，趙世武.大學物理教學中波函數部分講授的建議［J］.滁州學院學報，2010，12（2）：117－118.

［6］ 楊百愚，馮大毅，張崇輝，等.如何“寫”出平面簡諧波的波函數［J］.物理與工程，2008，18（5）：9－12.

［7］ 何長英.旋轉矢量在機械波教學中的應用［J］.物理與工程，2007，17（4）：15－17.

［8］ 楊瑞.如何求解平面簡諧波的波動方程［J］.科技資訊，2007，（18）：149.

A Neglected Question in the Teaching of Wave Function

LIU Cui－hong，JIANG Hui，WANG Jian－yong，TANG Sheng－hui
（Dept.of Maths.＆Phys.，Hehai University，Changzhou Jiangsu213022）

It is a basic question in the teaching of wave function that the oscillating function of a mass point or the wave shape function of the wave is written out in the foundation of a wave function.But the present books all neglect a question as illustrating this kind of question，and the question is that the mass points are motionless which the wave do not reach at.This results in a consequence that the written out oscillating function or the wave shape function is not correct absolutely.In this paper，the question is pointed out，and the solutions are given.The conclusions have much reference value for the teaching of wave function.

wave function；oscillate；wave shape

O441

A

1671－4733（2011）06－0054－02

10.3969/j.issn.1671－4733.2011.06.018

2011－12－05

教育部教指委資助項目（項目編號：C0912）

劉翠紅（1974－），女，河南林州人，碩士，講師，研究方向為工程電磁場，電話：13641501401。