Eisenstein判別法的幾個推廣＊

陳秀梅,滕常春

(濰坊學院,山東 濰坊 261061)

Eisenstein判別法是高等代數中判定有理系數多項式在有理數域上不可約的常用的一個判別法。

那么 f(x)在有理數域上不可約。

有理系數多項式如果滿足Eisenstein判別法的條件(或者作一個一次變換后滿足Eisenstein判別法的條件),則可以判定其在有理數域上不可約,但對不滿足Eisenstein判別法條件的多項式無法確定其可約性。

本文給出了Eisenstein判別法的幾個推廣,從而可以對更大的一類有理系數多項式判定其不可約性。

那么 f(x)在有理數域上有次數＞k的不可約因式。

證明 對?(f(x))歸納。

?(f(x))=1時,顯然 f(x)本身就是一個不可約因式。

假設對次數＜n的多項式成立。下證?(f(x))=n時成立。若 f(x)不可約,則結論已經成立。

1°p|/bm,2°p|bi-1,…,b0,3°p2|/b0(否則,由 a0=b0c0得 p2|a0,矛盾。)

因此由歸納假設知 f1(x)在有理數域上有次數＞i-1≥k的不可約因式,所以 f(x)在有理數域上有次數＞k的不可約因式。

推論1 Eisenstein判別法(定理1中令 k=n-1即得)。

推論2 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式且無有理根,如果有一個素數 p,使得

(1)p|/an;(2)p|an-2,…,a0;(3)p2|/a0。

那么 f(x)在有理數域上不可約。

事實上,由f(x)無有理根知f(x)無有理一次因式,從而無有理n-1次因式,再由定理1知f(x)有次數＞n-2的有理不可約因式,因此 f(x)有次數=n的有理不可約因式,即 f(x)在有理數域上不可約。

例1 f(x)=x7-5 x6+4 x+2,問在有理數域上是否可約。

解:f(x)不滿足Eisenstein判別法的條件,無法用Eisenstein判別法判定其可約性。但是其滿足推論2的條件,從而 f(x)在有理數域上不可約。

也可以完全對偶的得到

定理2 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式。如果有一個素數 p和某個正整數k,k＜n,使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數域上有次數＞k的不可約因式。

推論3 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式,如果有一個素數 p,使得(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數域上不可約。

推論4 設 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式且無有理根,如果有一個素數,使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理數域上不可約。

例2 對 f(x)=2 x8+4x6+8 x+3,利用推論3知 f(x)在有理數域上不可約。

例3 對 f(x)=2 x7+4x6+x+3,利用推論4知 f(x)在有理數域上不可約。

[1]北京大學幾何與代數教研室.高等代數[M].3版.北京:高等教育出版社,2008:33-34.

[2]張禾瑞,郝炳新.高等代數[M].3版.北京:高等教育出版社,1983:72-73.