半群的模糊同余探討

郭曉永 (臨滄師范高等專科學校數理系, 云南 臨滄 677000)

黃衛華 (文山學院數理系, 云南 文山 663000)

半群的模糊同余探討

郭曉永 (臨滄師范高等專科學校數理系, 云南 臨滄 677000)

黃衛華 (文山學院數理系, 云南 文山 663000)

主要介紹了半群上模糊同余的概念，并討論了模糊同余的一些基本性質。

模糊關系；模糊同余；模糊半群

自Murali[1]和Nemitz[2]提出集合上的模糊等價關系概念、Samhan[3]給出了半群的模糊同余的概念以來，不少學者將模糊數學理論與半群理論相結合，提出了一些有價值的概念，這些理論進一步豐富了模糊數學的內容。下面，筆者在模糊關系與模糊同余概念的基礎上研究半群上模糊同余的一些性質。

1 基本概念

定義2[4]設S為半群，S上的模糊二元關系R稱為模糊左(右)相容的，當且僅當對任意x,y,t∈S有R(x,y)≤R(tx,ty)(R(x,y)≤R(xt,yt))。

定義3[4]半群S上的模糊二元關系R稱為模糊相容的，當且僅當對任意a,b,c,d∈S有min{R(a,b),R(c,d)}≤R(ac,bd)。

定義4[4]半群S上的模糊相容相似二元關系R稱為模糊同余。

引理1[4]半群S上的模糊二元關系R是模糊同余的充要條件為既是模糊左相容相似關系又是模糊右相容相似關系。

由定義5，合成關系滿足結合律，即(P°Q)°R=P°(Q°R)，其中,P,Q,R均為模糊二元關系；X上的模糊二元關系R是傳遞的當且僅當R?R°R。

2 主要結論

定理1如果非空集合X上的模糊二元關系P,Q滿足P°Q=Q°P，則:

證明

=(P°Q)°(P°Q)(a,c)=(P°P)°(Q°Q)(a,c)

定理2如果半群S上的模糊同余P,Q滿足P°Q=Q°P，則P°Q也是S上的模糊同余。

證明先證P°Q為S的相似關系。顯然P°Q是自反的。對任意a,b∈S，有：

即P°Q是對稱的。又由：

(P°Q)°(P°Q)=P°(Q°P)°Q=P°(P°Q)°Q?P°Q

則P°Q為相似關系。

下證相容性。設?x,y,t∈S，則：

同理可得(P°Q)(x,y)≤(P°Q)(tx,ty)，由引理1可知P°Q是相容的。因此，P°Q為模糊同余。

定理3設P,Q為半群S上的模糊同余，若P°Q為S上的模糊同余，則P°Q=P∨Q。

證明對?a,b∈S，因：

即P°Q≥P，同理可得P°Q≥Q。

設M為S上的模糊同余，且M≥P,M≥P，則對于?a,b∈S，有：

因而，P°Q為P與Q的最小上界。

群是特殊的半群，因此上述定理自然對于群也成立。正是由于群的特殊性，群上的模糊同余有下面特殊的性質。

定理4若P與Q為群S上的模糊同余，則P°Q=Q°P。

證明對于?a,b∈S有：

即(P°Q)(a,b)≥(Q°P)(a,b)，同理可得(Q°P)(a,b)≥(P°Q)(a,b)。因此，P°Q=Q°P。

若S為一半群，S上的模糊同余按照包含關系構成的模糊同余類記為C(S)，由格的定義可以斷定C(S)必為格。證明在此省略。如果S為群，則C(S)有下面性質：

定理5若C(S)為群S上的模糊同余類，則(C(S),?,∩，°)是模格。

證明設P,Q,R∈C(S)，且P≤R。對于?a,b∈S，若：

則tlt;R(a,b)，且?x∈S，使得tlt;P(a,x),tlt;Q(x,b)，由P≤R可以得到tlt;P(a,x)≤R(x,a)，由R的傳遞性，則有：

因而有tlt;min{Q(x,b),R(x,b)}。于是：

因此，(P°(Q∩R))(a,b)gt;t，即有(P°Q)∩R≤P°(Q∩R)。故(C(S),?,∩, °)是模格。

3 結 語

結合模糊等價關系與半群的概念，研究了半群上模糊同余的一些性質。這些性質運用到群中可得到更多的結果。而半群的模糊同余還有一些有用的性質及應用可以進一步深入研究。

[1]Murali V.Fuzzy equivalent relations[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，30：155-163.

[2] Nemitz W C.Fuzzy relations and fuzzy functions[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，19：177-191.

[3] Samhan M.Fuzzy congruences on semigroups[J].Information.Science，1993，74：165-175.

[4]Ju Pil Kim, Deok Rak Bae.Fuzzy congruences in groups[J].Fuzzy Sets and Systems，1997，85：115-120.

[5] 劉文軍，谷云東，王加銀，等.半群中的粗模糊理想[J].模糊系統與數學，2004(3)：21-28.

[6] 張文修.模糊數學基礎[M].西安：西安交通大學出版社，1984.

[7] Klir G J， Folger T A.Fuzzy Sets, Uncertainties, and Information[M].N J：Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1988.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.07.004

O159

A

1673-1409(2011)07-0010-03

2011-05-30

郭曉永，男，碩士，講師，現主要從事半群理論和粗糙集理論方面的教學與研究工作。