復合LINEX對稱損失函數下幾何分布參數估計

李俊華

(鄖陽師范高等專科學校數學系，湖北 十堰 442000)

復合LINEX對稱損失函數下幾何分布參數估計

李俊華

(鄖陽師范高等專科學校數學系，湖北 十堰 442000)

在幾何分布可靠度的先驗分布為其冪分布時，給出了幾何分布可靠度在復合LINEX對稱損失函數下的Bayes估計和多層Bayes估計。

幾何分布；損失函數； Bayes估計；多層Bayes估計

許多壽命離散型的產品，其壽命服從幾何分布，因此對幾何分布的可靠性分析具有理論和實際應用價[1,2]。在貝努里實驗里，若p為每次實驗成功的概率，如果進行了x+1次實驗，前x次實驗成功且第x+1次不成功(或失敗)的概率為：

P(X=x)=px(1-p)x=0,1,2,… 0

(1)

則稱隨機變量X服從幾何分布，其中p為幾何分布的可靠度(或成功概率)。

1975年Varian提出了LINEX損失函數[3]：

Lb(θ,δ)=e-b(θ-δ)+b(θ-δ)-1 (b>0)

式中，δ為參數θ的估計；b是該損失函數的尺度參數。當b≠0時LINEX損失函數是一類非對稱損失函數。文獻[4]提出了復合LINEX對稱損失函數，表達形式如下：

L(θ,δ)=Lb(θ,δ)+L-b(θ,δ)=e-b(θ-δ)+eb(θ-δ)-2 (b>0)

(2)

下面，筆者在復合LINEX對稱損失函數下給出了幾何分布可靠度的多層Bayes估計[5]。

1 p的Bayes估計

證明在損失函數L(θ,δ)=e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2(b>0)下，令δ(x)為p的任一Bayes估計， 則其Bayes風險為R(δ)=E(L(p,δ))=E(E(L(p,δ)|x))。欲使R(δ)最小，只需E(L(p,δ)|x)幾乎處處達到最小，由于E(L(p,δ)|x)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)，所以只需證明E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)最小，因為δ非負，則最小值不會是0或無窮遠點。

記：

h(δ)=E((e-b(p-δ)+eb(p-δ)-2)|x)=eb δE(e-bp|x)+e-b δE(ebp|x)-2

對h(δ)關于δ求導并令其為0，即h′(δ)=beb δE(e-bp|x)-be-b δE(ebp|x)=0，解得：

又因為h(δ)關于δ是嚴格凸函數，故δB(x)是其唯一的極小值點，進而得到Bayes估計是唯一的。

2 p的多層Bayes估計

若幾何分布可靠度p的先驗分布為冪分布，其密度函數為：

π(p|a)=apa-1(00，a是超參數)

(3)

則此時θ的Bayes估計由以下定理給出。

定理2取式(3)為p的先驗分布，在損失函數(2)下，p的Bayes估計為：

證明對幾何分布，取p的先驗分布為式(3)，而p的似然函數為L(p)=px(1-p)，根據Bayes定理，p后驗密度為：

從而有：

同理可以計算:

所以在復合LINEX對稱損失函數下p的Bayes估計為：

引理1在給定的Bayes決策中，對給定的先驗分布π(θ)，θ的Bayes的δB(x)是唯一的，則它是容許的。

由于幾何分布可靠度估計在復合LINEX對稱損失函數下是嚴格凸的,其Bayes估計必是唯一的，由引理可知該估計是可容許的。

(4)

定理3對幾何分布，若p的多層先驗分布由(4)給出，則在復合LINEX對稱損失函數下p的多層Bayes估計為：

證明根據Bayes定理，p的多層后驗密度為：

則在復合LINEX對稱損失函數下p的多層Bayes估計為：

其中：

[1]韓明，崔玉萍.幾何分布的可靠度估計[J]. 運籌與管理，2001,10(4)：35-38.

[2]韓明. 多層先驗分布的構造及其應用[J].運籌與管理，1997,6(3)：32-40.

[3]韋程東，韋師，蘇韓. 復合LINEX對稱損失下Pareto分布形狀參數的E-Bayes估計及應用[J].統計與決策，2009,(17)：7-9.

[4]張睿. 復合LINEX損失下的參數估計[D].大連：大連理工大學，2007.

[5]茆詩松.貝葉斯統計[M].北京：中國統計出版社，1999.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.004

O213.2

A

1673-1409(2011)04-0011-03