平面上有限級隨機Dirichlet級數(shù)的虧函數(shù)研究

楊 祺

(新疆師范大學(xué)數(shù)理科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)

曹月波

(石河子大學(xué)師范學(xué)院，新疆 石河子 832000)

平面上有限級隨機Dirichlet級數(shù)的虧函數(shù)研究

楊 祺

(新疆師范大學(xué)數(shù)理科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)

曹月波

(石河子大學(xué)師范學(xué)院，新疆 石河子 832000)

研究了平面上有限級隨機Dirichlet級數(shù)的虧函數(shù)。在隨機變量滿足一般的條件下，證明了平面上精確級為ρ(r)的隨機Dirichlet級數(shù)幾乎必然無任意精確級小于ρ(r)的虧函數(shù)。

隨機Dirichlet級數(shù)；虧函數(shù)；有限級；精確級

關(guān)于隨機函數(shù)虧值的研究，已經(jīng)取得了許多研究成果[1-5]。對于有限級隨機Dirichlet級數(shù)的虧函數(shù)，文獻[1]證明了全平面上有限級隨機Dirichlet級數(shù)幾乎必然沒有虧函數(shù)。下面，筆者在隨機變量滿足一般的條件下，證明了平面上精確級為ρ(r)的隨機Dirichlet級數(shù)幾乎必然無任意精確級小于ρ(r)的虧函數(shù)?。

1 基本概念與引理

考慮Dirichlet級數(shù)：

(1)

式中,s=σ+it,σ,t∈R，{bn}為復(fù)常數(shù)列，0=λ0<λ1<λ2<…<λn<…<+∞。若滿足：

(2)

則級數(shù)(1)在全平面上是收斂與絕對收斂的，于是f(s)表示一整函數(shù)。記f(s)的最大模為：

引理2[6-7]設(shè)有限ρ級Dirichlet級數(shù)(1)滿足條件(2),則有：

(3)

引理3[1,8]設(shè)函數(shù)f(z)與ψν(z)(ν=1,2,…,q)在|z|

考慮與級數(shù)(1)對應(yīng)的隨機Dirichlet級數(shù):

(4)

引理4[5]設(shè){Xn}是獨立的隨機變量序列，它滿足?n≥0,EXn=0，存在一個正數(shù)d,使得：

(5)

2 主要結(jié)果

(6)

證明用類似文獻[6]中的方法易得。

(7)

取正整數(shù)p充分大,令：

(8)

下面先證明對任意p+2個元素：

必存在k′,k″∈{1,2,…,p+2}(k′≠k″)使得對任意j∈(n(1),n(2),…,n(N)}，恒有:

|Xj(ωj(k′))-Xj(|ωj(k″))|≤2μδj

用反證法。假設(shè)上述不成立，則存在相應(yīng)的p+2個隨機級數(shù)：

|Xj(ωj(k′))-Xj(ωj(k″))|≥2μδj

結(jié)合式(7)和式(8)有：

|Xj(ωj(k′))-Xj(ωj(k″))|>|βj(k′)-βj(k″)|

于是φk′≠φk″，這說明上面的p+2個虧函數(shù)互不相等，則由引理2，f至多能有p+1個不同的虧函數(shù)矛盾。

由引理4有:

(10)

于是由Fubini-Levi定理[3]，并結(jié)合式(8)、(9)有：

因此P(E)=0。從而定理2得證。

[1]周俊英，孫道椿.Dirichlet級數(shù)的唯一性定理和隨機Dirichlet級數(shù)的虧函數(shù)[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報，2006(1):36-42.

[2]余家榮，丁曉慶，田范基. Dirichlet級數(shù)和隨機Dirichlet級數(shù)的值分布[M].武漢，2004，52:98-100.

[3]孫道椿，黃立鶴.無限級隨機Dirichlet級數(shù)[J].華南師范大學(xué)學(xué)報，1998(4)：87-93.

[4]孫道椿. 隨機冪級數(shù)的虧函數(shù)[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報，1999，19(3)：356-360.

[5]田范基. 一般隨機泰勒級數(shù)的例外函數(shù)[J].湖北大學(xué)學(xué)報，2002，24(3)：203-205.

[6]陳聚峰，劉名生.有限級Dirichlet級數(shù)及隨機Dirichlet級數(shù)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2005,25A(7)：965-973.

[7]吳世軒，寧菊紅.有限級Dirichlet級數(shù)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報，2008,32 (4)：982-985.

[8]楊樂.值分布論及其新研究[M]. 北京：科學(xué)出版社，1982. 40-45.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.003

O174.52

A

1673-1409(2011)04-0008-03