線性流形上D反對稱矩陣的加權最小二乘解

張華珍

(湘西民族職業技術學院，湖南 吉首 416000)

線性流形上D反對稱矩陣的加權最小二乘解

張華珍

(湘西民族職業技術學院，湖南 吉首 416000)

通過矩陣的奇異值分解得到了線性流形上D反對稱矩陣在加權范數下的最小二乘解，同時導出了解集合中與給定矩陣的加權最佳逼近解的表達式。

加權；D反對稱矩陣；最小二乘

對于矩陣方程在加權范數下的最小二乘解的研究到目前為止已取得了一系列的成果[1-3]。下面，筆者在此基礎上運用矩陣的奇異值分解研究線性流形上D反對稱矩陣的加權最小二乘解。

1 問題的提出

定義1[4]給定D=diag(d1,d2,…，dn)∈Rn×n,其中dr>0，r=1,2,…,n。A∈Rn×n,若D2A∈ASRn×n,則稱A為D反對稱矩陣，D反對稱矩陣的全體記為D-2ASRn×n，顯然：

D-2ASRn×n={A|A=D-2B,B∈ASRn×n}

記D2SRn×n={A|A=D2B,B∈SRn×n}，令：

S={A∈D-2ASRn×n|AX0-B0=min,X0,B0∈Rn×m}

(1)

由文獻[4]知，S是非空的線性流形。下面筆者考慮如下問題：

問題Ⅰ 給定X,B∈Rn×k，求A∈S使得：

‖AX-B‖W=min

(2)

(3)

其中，SE是問題Ⅰ的解集合。

2 問題Ⅰ的解

引理1設D2X的奇異值分解為:

其中,U=(U1,U2)∈ORn×n；U1∈Rn×t；V=(V1,V2)∈ORm×m；V1∈Rm×t；Σ=diag(σ1,σ2,…,σt)；σi>0，i=1,2,…,t。則式(1)中集合S有下面的形式：

(4)

其中:

(6)

其中，P=(P1,P2)∈ORn×n；Q=(Q1,Q2)∈ORk×k;P1∈Rn×r；Q1∈Rk×r；∑1=diag(α1,α2,…,αr)；α1≥…≥αr>0；r=rank(W-1X)。

記:

(7)

則問題Ⅰ的解集合為：

(8)

其中:

(9)

證明因為A∈S,所以由引理1中式(4)可知:

(10)

則:

由式(11)可知，‖AX-B‖W=min等價于：

(12)

由引理2及式(12)中第1式可知:

(13)

由式(12)中第2式可知:

(14)

將式(13)和式(14)代入式(10)即可得到式(8)，(9)。

3 問題Ⅱ的解

引理3[4]?A∈Rn×n，則存在惟一的A1∈D-2ASRn×n，A2∈D2SRn×n使得:

A=A1+A2〈A1,A2〉=0

定理2符號與定理1相同，由定理1可知SE是一個閉凸集，因此問題Ⅱ存在最佳逼近解：

(15)

這里G如式(9)所示，其中:

(16)

(18)

[1]周立平. 幾類線性矩陣方程的加權最小二乘解及其最佳逼近問題[D].長沙：湖南大學，2007:1-48.

[2] 劉莉，張凱院.關于一類矩陣方程的加權最小二乘解[J].昆明理工大學學報(理工版)，2006,31(3)：121-124.

[3] 孟國艷，趙青杉，趙俊華.反對稱正交反對稱矩陣反問題的加權最小二乘解[J].太原師范學院學報(自然科學版)，2008,7(1)：13-17.

[4] 張忠志，周富照，胡錫炎.D反對稱矩陣反問題的最小二乘解[J].中南工業大學學報.2001,32(5)：545-548.

[5] 謝冬秀，張磊.一類反對稱矩陣反問題的最小二乘解[J].工程數學學報，1993,10(4)：25-74.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.04.002

O241.6

A

1673-1409(2011)04-0005-03