基于微分幾何反饋線性化的PMSM混合H2/H∞控制

嚴大虎，紀志成

(江南大學，江蘇無錫214122)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)具備優良的低速性能，功率密度大、效率高、體積小、慣性低、響應速度快等優點，寬調速使其適應高性能伺服驅動的要求，隨著永磁材料性能的不斷提高和低價格，PMSM在工業生產自動化領域中的應用越來越廣泛［1］。

由于現代控制理論中，對被控對象動態特性的描述中過度依賴于數學方法，并且無法高效抑制系統實際運行中所遇到的內部參數攝動和外部干擾，使之很難推廣應用到工業控制中。因此發展出了以穩定性理論為基礎的H∞控制方法［2］，該方法具有良好的抗干擾能力，這就等同于系統具有較大的穩定裕度，但是為了獲取足夠大的穩定裕度，就會損失系統的其他性能。為了解決這些困難，在H∞控制理論的基礎之上發展出了混合H2/H∞控制方法，該方法較好地解決了系統魯棒性與其他性能要求之間的矛盾［3－5］。

PMSM是一個非線性、多變量、時變被控對象，由于電機參數變化和負載擾動等不確定因素的影響，使得電機高精度控制較難實現。反饋線性化控制通過非線性狀態反饋和坐標變換，將PMSM的非線性數學模型實現動態解耦和全局線性化［6－7］。本文首先采用微分幾何理論，將PMSM的非線性數學模型變換成線性模型，然后以該線性模型作為被控對象，考慮電機實際運行中的外部干擾以及電機未建模系統動態，設計混合H2/H∞魯棒控制器，并采用Matlab/Simulink仿真平臺對系統進行仿真驗證，仿真結果表明系統的抗干擾能力較強，同時具有良好的穩、動態性能。

1 PMSM數學模型及其反饋線性化

本文的研究對象是表面式PMSM，它是一個高階、非線性、強耦合的系統，電磁關系非常復雜，為了簡化PMSM的數學模型，做如下假設［8］:

(1)忽略磁飽和，不考慮鐵心的渦流損耗和磁滯損耗，磁路是線性的;

(2)電機定子電樞繞組的空載電勢是正弦波;

(3)定子繞組三相對稱，各相繞組的軸線在空間上互差120°電角度;

(4)忽略磁場的高次諧波，定子繞組電流在氣隙中只產生正弦分布的磁勢;

(5)永磁體的電導率為零;

(6)轉子上沒有阻尼繞組。

表面式PMSM在d－q坐標系下的數學模型:

式中:id、iq分別為定子繞組d、q軸電流;ω為轉子角頻率;Ls為三相永磁同步電動機d、q軸的主電感;R1是定子電阻;Tl為負載轉矩;p為轉子的磁極對數;β為摩擦系數;J為轉動慣量;ψf為轉子磁場對定子的交鏈。

由式(1)可以看出，PMSM的模型是非線性數學模型，本文采用微分幾何線性化方法對其進行精確線性化。首先將該模型轉換成仿射非線性系統的標準形式，仿射非線性變換的定義如下［9］:

定義1:若變換S:Rn→Rn，S(x)=T(x)+a，T是非奇異線性變換，α∈Rn，則S稱為仿射變換。

由上可得，PMSM的數學模型可以變換成如下形式:

1.1精確反饋線性化條件

針對多輸入多輸出仿射非線性系統，系統可精確線性化的條件如下［10］:

引理1:給定的仿射非線性系統式(2)，系統在x0點精確線性化問題可解的充要條件是滿足:

(1)Di=Span，…，m;s≤i－1}，i=1，2，…，ni為在x0點非奇異的對合分布;

(2)DimDn(x0)=n。

仿射非線性系統向量相對階的定義如下:

定義1:給定x0∈X，如果存在x0的一個鄰域V及整數向量(r1，…，rm)滿足條件:

(1)LgjLkfhi(x)=0，?x∈V，0≤j≤m，1≤i≤m

及0≤k≤ri－2;

(2)矩陣:

是非奇異的，?x∈V，則稱多輸入多輸出仿射非線性系統具有向量相對階(r1，…，rm)。

由定義1，針對仿射非線性系統式(2)有:

所以電流環的相對階r1=1;又有:

所以速度環的相對階為r2=2。又因為矩陣:

非奇異，可得系統總的相對階:r=r1+r2+r3，與系統維數相等，因此該系統可以實現精確線性化。

1.2坐標變換及控制率求取

引入非線性坐標變換z=Φ(x)，其中:

在新的坐標系下系統的狀態方程如下:取控制作用u=A－1(x)［－b(x)+v］，其中u為電機控制量，u=［u1u2］T，v為虛擬控制量，v=

在控制作用u下，系統可以解耦為如下相互獨立的線性子系統:

PMSM反饋線性化系統框圖如圖1所示。

圖1 基于微分幾何反饋線性化PMSM系統框圖

2 H2/H∞控制器的設計

2.1 問題描述

考慮具有多個性能指標要求的系統:

式中:x∈Rn是狀態向量，u∈Rm是控制輸入，w1、w2∈Rq是兩類不同的外部擾動輸入，當H2范數是在隨機意義下考慮時，w2是獨立零均值的白噪聲，w1是區別于w2的一般意義下的擾動輸入，該擾動是確定的，但是具有有限能量的。z∞，z2∈Rr分別為衡量系統閉環傳遞函數的H∞范數和H2范數的受控輸出，A，B，B1，B2，C1，C2，D10，D11，D20，D22是描述系統的已知適維矩陣(注:本節中所使用的符號均只在本節有效)。

圖2 混合H2/H∞標準控制結構框圖

混合H2/H∞控制問題就是設計一個狀態反饋控制率:

使得對于有限能量的干擾w1、w2，閉環系統滿足如下性能指標［4－5］:

(1)閉環系統漸進穩定，即系統狀態矩陣的所有特征值都在左半開平面中;

(2)從w1到z∞的閉環傳遞函數矩陣Tz∞w1滿足:‖Tz∞w1‖∞＜γ∞;

(3)從w2到z2的閉環傳遞函數矩陣Tz2w2滿足:‖Tz2w2‖2＜γ2。

其中，γ∞為預先給定的閉環系統擾動抑制程度，γ∞越小，表示系統抑制干擾能力越強，同時系統的穩定裕度越大，γ2應該盡可能小，以保證系統具有良好的穩、動態性能。則采用如式(10)所示的狀態反饋控制率的閉環系統可表示如下:

2.2 混合H2/H∞控制器求解

PMSM復雜的運行工況使其不可避免地受到外部環境的干擾，主要體現在電機負載轉矩的脈動，同時，繞組電阻也會隨著電機溫度的變化而變化，成為電機模型的一種不確定因素。

在實際應用中，不可能實現將模型的不確定性和外部干擾與系統的輸出完全解耦，因此設計如下H∞魯棒性能指標，使干擾對系統的輸出影響最小:

(1)閉環系統穩定;

(2)?ε＞0，正定矩陣Q＞0，R＞0和?T＞0，滿足:故取性能指標函數:

引理2［3］針對閉環系統式(11)和一個給定的標量γ∞＞0，若D22=0，且以下優化問題:

有一個最優解X、W，則式(11)的狀態反饋控制問題是可解的，且u=WX－1x是式(11)的一個狀態反饋H2/H∞控制率。

3 仿真分析

電機參數如表1所示。

表1 PMSM參數

權系數:

運用LMI工具箱，可求得:

其中:δ(t)=0.2+sin(0.1π)t+2sin(0.2πt)+1.25sin(πt)+0.4sin(5πt)。

在Matlab 7.0/Simulink中搭建系統仿真框圖，仿真設計如下:

(1)電機帶負載起動，附加干擾作用d(t)，d軸電流給定i*d=0，負載轉矩Tl=1 N·m，t=25 s時，電機速度給定由ω*=100 rad/s突變到ω*=180 rad/s。

(2)電機帶負載起動，附加干擾作用d(t)，負載轉矩Tl=0.5 N·m，速度給定ω*=100 rad/s，d軸電流給定i*d=0，t=25 s時，負載轉矩由Tl=0.5 N·m突變至Tl=1 N·m。

圖3 速度給定躍變

圖4 負載躍變

從圖3的仿真結果可以看出，基于混合H2/H∞控制器的永磁同步伺服系統具有很好的穩、動態性能，可以很好地跟蹤速度給定信號，電機帶負載Tl=1 N·m不變，速度給定出現躍變時，電機的速度能夠很快跟蹤給定，且穩定后沒有靜差。當系統存在外部干擾時，沒有對電機速度構成明顯的影響，說明該系統在能夠保持穩定的同時，可以達到良好的控制效果，符合H2/H∞控制器的控制特點。

從圖4的仿真結果可以看出，當電機速度給定保持ω*=180 rad/s不變，負載躍變時，有較小的速度降落，并逐漸跟蹤到給定速度，穩定后沒有速度靜差，轉矩響應快速而穩定，轉矩超調小，對機械機構的沖擊較小，提高了其工程應用的合理性。

4 結 語

本文首先對PMSM非線性模型進行精確反饋線性化，通過非線性狀態變換和反饋控制率的求取，將PMSM的非線性數學模型轉化成線性模型，方便了伺服系統的設計。同時考慮了電機在實際運行過程中可能出現的外部擾動，設計了混合H2/H∞控制器，能夠很好地抑制系統的外部干擾，在保持系統穩定的同時達到了良好的控制效果。仿真結果表明該系統設計方案具有很強的抗干擾能力，速度響應快，控制精度高，并且易于工程實現。

［1］ Hao S，Zheng W，Hao M，et al.Simulation and development environment for digital controlled PMSM servo system［C］//Proceedings the First International Conference，ICIRA 2008，5315(2):566－575.

［2］ 梅生偉，申鐵龍，劉志康.現代魯棒控制理論與應用［M］.北京:清華大學出版社，2003.

［3］ 吳定會，李元龍，紀志成.基于H2/H∞狀態反饋風能轉換系統雙頻環優化控制［J］.太陽能學報，2010，31(9):1185－1190.

［4］ 王進華.混合H2/H∞魯棒控制器設計［J］.控制理論與應用，2004，21(1):45－53.

［5］ 孫宜標，金石，王成元.基于線性矩陣不等式的環形永磁力矩電機的H2/H∞靜態輸出反饋控制［J］.中國電機工程學報，2007，27(15):8－14.

［6］ Khorrami F，Krishnamurthy P，Melkote H.Modeling and adaptive nonlinear control of electric motors［M］.New York:Springer，2003.

［7］ Wu F，Zhang X，Ju P，et al.Decentralized Nonlinear Control of Wind Turbine with Doubly Fed Induction Generator［J］.IEEE transactions on power systems，2008，23(2):613－621.

［8］ Moussa M E，Gaber Y，El Atter M，Vector Control Drive of Permanent magnet Motor without a Shaft Encoder［C］//Proc.IEEE Conf.2008:249－254.

［9］ 曾文鋒，李樹山，王江安.基于仿射變換模型的圖像配準中的平移、旋轉和縮放［J］.紅外與激光工程，2001，30(1):18－19.

［10］ 曹建福，韓崇昭，方洋旺.非線性系統理論及應用(第二版)［M］.西安:西安交通大學出版社，2006.

［11］ 俞力.魯棒控制－線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學出版社，2002.