怎樣利用“微移法”解題

王金聚

(浙江省溫州中學(xué),浙江溫州 325000)

所謂“微移法”就是通過研究物體微小移動過程來尋求解題途徑的一種思維方法.在具體實施該法時,依據(jù)研究對象所處的狀態(tài)可以分為兩種情況:如果研究的對象是運(yùn)動的,則只需在其運(yùn)動方向上取一小段微小的位移加以分析即可;如果研究對象是靜止的,則我們可以考慮一下它可能的運(yùn)動趨勢,并假定它在其運(yùn)動趨勢的方向上發(fā)生了一段微小的移動,分析研究這一段微小的位移在此過程中可以導(dǎo)致哪些量發(fā)生了變化,著眼于從變化的角度來尋求解決問題的突破口.

1 利用微移法求解物體的平衡問題

處于平衡狀態(tài)的物體有兩種存在形式——靜止或勻速直線運(yùn)動,它們共同的力學(xué)特征是:物體所受的合外力均為零.基于這一點(diǎn),我們在分析求解物體靜止時的問題遇到困難時,不妨把它的狀態(tài)作一下轉(zhuǎn)換——即把它看作是勻速運(yùn)動的.這樣,我們就可以為“微移法”找到它的用武之地——取物體的一段極小的位移Δx來加以分析,看看在該過程中有哪些量發(fā)生了變化,譬如哪些力參與了做功、物體的重力勢能變化如何等,再根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等規(guī)律,往往能使問題化難為易、簡捷易求.

例1.如圖1所示,一個半徑為R的光滑球體固定不動,球面的最高點(diǎn)固定一顆釘子 A,在釘子上拴一光滑均勻鐵鏈AB,AB的長度為大圓周長的,已知鐵鏈單位長度的質(zhì)量為ρ,試求鐵鏈A端受到釘子的拉力F.

圖1

圖2

解析:在中學(xué)階段,解決此類問題我們常用的方法是把研究對象分割成足夠多的“微元”,分析各微元的受力特點(diǎn),尋找各微元之間的受力關(guān)系,用“微元法”求解.這里我們不再把鐵鏈分割成諸多微元,而假設(shè)它有一個微小的移動,利用更簡單的“微移法”來解.

假設(shè)我們把釘子去掉,在 A處對鐵鏈加一水平向左的同樣大的拉力F,顯然也可以使鐵鏈處于靜止?fàn)顟B(tài).

由于靜止與勻速運(yùn)動兩種狀態(tài)下物體的受力情況相同,所以不妨認(rèn)為鐵鏈正在被勻速拉動.假設(shè)在 A點(diǎn)的左側(cè)對接一光滑平面,如圖2所示,設(shè)鐵鏈上端被外力向左拉動一段極小的位移Δx,則拉力 F做功為FΔx,而鐵鏈的重力勢能也隨之增加,這相當(dāng)于鐵鏈B端一段Δx長的鐵鏈被轉(zhuǎn)移到了上端A點(diǎn)左側(cè)的平臺上面,設(shè)其重力勢能的增量為ΔEp,則ΔEp=ρ ΔxgR,由功能關(guān)系可得

FΔx=ΔEp=ρ ΔxgR,所以拉力 F=ρ gR.顯然,利用“微移法”求解要簡單得多.

2 利用微移法求物體的運(yùn)動速度

對于正處在運(yùn)動狀態(tài)下的物體,我們可以取一小段極短的運(yùn)動時間Δt,在Δt內(nèi)物體就會產(chǎn)生一小段位移Δx,則就表示這段時間內(nèi)物體的平均速度,當(dāng)Δt→0時,Δx Δt就可以視為物體的瞬時速度.

例2.如圖 3所示,岸高為 h,人用繩經(jīng)滑輪拉小船靠岸,若當(dāng)繩與水平方向的夾角為θ時,人收繩的速度為v,則該時刻小船的速度為多大?

圖3

圖4

解析:欲求小船在該位置的瞬時速度,可以從該時刻起取一小段時間Δt,先求Δt內(nèi)小船的平均速度,當(dāng)這一段時間Δt趨于零時,該平均速度就可視為題中所要求的小船的瞬時速度.

假設(shè)小船在 θ角位置經(jīng)Δt時間向左移動Δx距離,滑輪右側(cè)的繩長縮短ΔL,如圖4所示,當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時,△ABC可近似看作是一直角三角形,因而有ΔL=Δxcosθ.

3 利用微移法求物體運(yùn)動的向心加速度

對于某些作曲線運(yùn)動的物體,我們?nèi)∫欢螛O小的時間Δt,則物體就會發(fā)生一小段曲線軌跡,在Δt足夠小的情況下,這一小段軌跡可以近似地看作是某一圓周的一部分,即當(dāng)作一段圓弧來看待,設(shè)法求得該段圓弧的曲率半徑 r,利用向心加速度公式就可以求得物體的向心加速度.

例3.如圖5所示,有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線 AB逃跑,一獵犬以不變的速率 v2追擊,其運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍,某時刻狐貍在F處,獵犬在D處,FD⊥AB,且FD=L,試求獵犬此時的加速度大小解析:獵犬的運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍且速度大小不變,故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動,根據(jù)向心加速度a=r為獵犬所在處的曲率半徑,因為r不斷變化,故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化,題目要求獵犬在D處的加速度大小,由于v2大小不變,如果求出D點(diǎn)的曲率半徑,此時獵犬的加速度大小也就求得了.

圖5

圖6

4 利用“微小平移法”確定質(zhì)點(diǎn)振動方向或波的傳播方向

在波的傳播過程中,常常需要判斷某時刻各質(zhì)點(diǎn)的振動方向.如果已知某一時刻 t的波形曲線,我們只需將波形曲線沿波的傳播方向平移一段微小的距離(小于λ),于是便可得到波在t+Δt時刻的波形曲線,也就得到了各個質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過Δt時間后所到達(dá)的位置,比較Δt前后質(zhì)點(diǎn)的位置變化,質(zhì)點(diǎn)的振動方向也就一目了然了.

例4.已知一列沿 x軸正方向傳播的簡諧橫波在t0時刻的波形如圖7實線所示,判斷該時刻質(zhì)點(diǎn) M的振動方向.

圖7

圖8

該題說明已知波的傳播方向利用“微小平移法”可以很簡單地判斷出各質(zhì)點(diǎn)的振動方向.當(dāng)然,反過來,如果已知波形圖上某一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向,同樣也可利用“微小平移法”確定這列波的傳播方向,讀者不難從該題自行看出,此處不再贅述.

1 陳海鴻等.高中物理競賽解題方法.太原:山西教育出版社,2005.