一個組合恒等式的多種證明方法

汪冶華

新疆師范大學數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054 烏魯木齊職業大學基礎教育部，新疆 烏魯木齊 830001

一個組合恒等式的多種證明方法

汪冶華

新疆師范大學數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830054 烏魯木齊職業大學基礎教育部，新疆 烏魯木齊 830001

組合恒等式是組合數學的一個重要部分。用數學歸納法、組合分析法、概率分析法、幾何法、母函數法等方法來證明一個常見的組合恒等式，并從母函數法得到Vandermonde恒等式，同時提出了WZ方法來證明組合恒等式。

組合恒等式；數學歸納法；組合分析法；概率分析法；幾何法；母函數法

在組合數學中，表示組合數之間關系的恒等式稱為組合恒等式。它在數學的各個分支中都有廣泛應用，并且其證明方法多種多樣，具有很強的靈活性。因此，組合恒等式的證明方法是值得研究的課題。應用組合數的定義和性質去證明組合恒等式是最常見的方法。下面筆者討論了用數學歸納法、組合分析法、概率分析法、幾何法、母函數法等方法來證明一個常見的組合恒等式：

(1)

并從母函數法得到Vandermonde恒等式，同時提出了WZ方法來證明組合恒等式。

1 證明方法

1.1組合分析法

組合分析法主要就是利用組合知識說明等式兩邊的式子都是對同一組合問題的計數。具體步驟就是先由恒等式中意義比較明顯的一邊構造一個組合問題的模型，再根據加法原理或乘法原理對另一邊進行分析。若是幾個數(組合數)相加的形式，可以把構造的組合問題進行適當分類，若是幾個數(組合數)相乘的形式，則應進行適當的分步計算，很多情況下是兩者結合使用的。

1.2概率分析法

構造一個概率模型：書架上有n本文學類書，m本醫學類書，從中任取r本，令隨機變量X表示所取到的文學類書，則：

1.3數學歸納法

對n進行歸納。

n=t+1時，則有：

所以n=t+1時，等式成立。

1.4幾何法

圖1 從點(0,0)到(n,m)的路徑數 圖2 從點(0,0)到(m+n-r,r)的路徑數

1.5母函數法

所以：

對比xr的系數得：

2 Vandermonde恒等式和WZ方法

G(n,k)=R(n,k)F(n,k)

(2)

則有下列WZ方程成立：

F(n+l，k)一F(n，k)=G(n，k+1)一G(n，k)

(3)

若(由計算機)找不到這樣的有理函數，并不能說明要證明的恒等式不成立，此時可以考慮使用其它方法給予證明。由此發現，WZ方法在證明求和恒等式時是很有效的，其最大優勢在于高度算法化，Maplel2和Mathematica6.0都有相關的程序包。在證明較復雜的超幾何恒等式時，WZ方法顯然是比較簡便的。

[1]陳福泰，李群.組合恒等式的幾何證法[J].數學教育,1989(1)：8-10.

[2]曹汝成.組合數學[M].廣州：華南理工大學出版社，2000.

[3]黃均振，褚玉明.若干2 F1型超幾何級數恒等式的WZ方法證明[J].湖州師范學院學報,2009,31(1)：30-33.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.03.003

O157

1673-1409(2011)03-0007-03