基于線性變換的多項式模型*

尹 智 王解先 許才軍

(1)武漢大學測繪學院，武漢 430079 2)同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092)

基于線性變換的多項式模型*

尹 智1)王解先2)許才軍1)

(1)武漢大學測繪學院，武漢 430079 2)同濟大學測量與國土信息工程系，上海200092)

通過比較基于線性變換的多項式模型和傳統(tǒng)純量多項式模型的項數(shù)、模型參數(shù)、模型運算性質(zhì)以及模型所能表示對象的集合，并進行算例分析發(fā)現(xiàn)，基于線性變換的多項式模型形式更加簡潔，模型參數(shù)具有直觀的幾何意義和良好的運算性質(zhì)，更適合表達多維高次對象，在工業(yè)測量領(lǐng)域的應用中更容易確定必要的擬合參數(shù)，整體上更具有優(yōu)越性。

線性變換;多項式模型;純量多項式模型;仿射對象;正射對象

1 引言

傳統(tǒng)的純量多項式模型是用完全展開的多項式方程來表示數(shù)學對象的模型，它可以應用于各學科［1-3］。

雖然這種模型方便易用，但在很多情況下仍有諸多不便，比如在描述多維高次對象時，由于純量多項式模型的項數(shù)非常多而影響運算的簡便性，這時人們通常就會舍去大量的復雜項而保留一些簡單項進行研究，致使模型本身失去完整性。另外，在描述多維高次對象時，純量多項式模型的各個參數(shù)之間通常具有相關(guān)性，沒有直觀的意義，尤其在工業(yè)測量領(lǐng)域難以確定模型必要的擬合參數(shù)，這也是人們不常使用復雜的多維高次純量多項式模型的原因。

鑒于純量多項式模型的不足，本文將推導基于線性變換的多項式模型，并分析和研究該模型的各種性質(zhì)。

2 多項式模型的分類和線性變換

多項式模型的分類方法有多種，根據(jù)解析式形式，可總結(jié)為多項式元數(shù)分類法、多項式次數(shù)分類法和特征根符號分類法。

多項式元數(shù)分類法和多項式次數(shù)分類法分別是根據(jù)多項式中出現(xiàn)的元數(shù)和各元的最高次數(shù)對多項式模型進行分類的方法。

多項式特征根符號分類法根據(jù)多項式的特征根符號的組合方式對多項式模型進行分類。此方法建立在前兩種分類方法基礎(chǔ)上，即多項式模型經(jīng)過元數(shù)分類和次數(shù)分類以后，利用特征根符號的組合方式進一步分類。文獻［4］在擬合三元二次曲面(空間二次曲面)時采用以特征根為參數(shù)的擬合方法，在擬合時特征根的可能出現(xiàn)形式有3種：零特征根、正特征根和負特征根。筆者認為，可以根據(jù)這些特征根符號的組合方式對多項式模型分類。比如，在不含交叉項的多項式模型中，x2-y2=2和-x2+ 4y2=1的特征值(x2項的符號和y2項的符號)都是一正一負，屬于同一類多項式模型對象。

由3種分類方法可知，圓和橢圓都是二元二次曲線，且它們的特征根符號組合方式也相同，所以可以將圓和橢圓歸于同一類對象。以下將從線性變換的角度研究單位圓至任意橢圓或圓的線性變換過程。

通常，基本的線性變換形式有：伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移變換。單位圓可以通過線性變換得到任意橢圓或圓，變換的各個階段見圖1至圖4，不同階段的橫軸和縱軸采用不同的字母表示，坐標分別記為U=(u v)T、X'=(x'y')T、X″=(x″y″)T和X =(x y)T。

圖1中，單位圓的解析式為

式(1)也可表示為

1)軸向伸縮變換

將圖1中的圓在u軸方向收縮l1倍，在v軸方向收縮l2倍，變?yōu)閳D2中的橢圓，該變換相當于用l1X'替換式(2)中第一項的U，用l2X'替換式(2)中第二項的U，多項式模型的解析式變?yōu)?/p>

2)旋轉(zhuǎn)變換

將圖2中的橢圓長軸和短軸分別以原點為中心做旋轉(zhuǎn)變換，以逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正，旋轉(zhuǎn)角度分別為α1和α2。如果α1≠α2，得到原圖形的仿射圖形;如果α1=α2，得到原圖形的正射圖形。在本例中，令α1=α2，變?yōu)閳D3中的橢圓，該變換相當于用R1X″和R2X″分別替換式(3)中第一項的X'和第二項中的X'，多項式模型的解析式變?yōu)?/p>

式中：

圖1 標準圖形(單位圓)Fig.1 Standard shape(unit circle)

圖2 伸縮變換后的圖形(橢圓)Fig.2 Shape after stretching and drawing(ellipsoid)

3)平移變換

將圖3中的橢圓以橢圓中心為基點平移至新的位置，平移向量為X0=(x0y0)T，變?yōu)閳D4中的橢圓，該變換相當于用X-X0替換式(4)中的X″，多項式模型的解析式變?yōu)?/p>

至此，式(5)便可以表示平面里的任意一個橢圓或圓。

圖4 平移變換后的圖形(橢圓)Fig.4 Shape after translation(ellipsoid)

3 基于線性變換的多項式模型

設(shè)多項式模型的元數(shù)為n;多項式模型的次數(shù)向量為k=(k1，k2，…，ki，…，kn)，ki是第i項的次數(shù)，max(ki)決定多項式模型的次數(shù);多項式的符號向量為δ=(δ1，δ2，…，δi，…，δn)，δi是第i項的符號，可以取值+1、-1或者0。與上述推導類似，其他類的對象也存在各自類的標準對象和一般對象。其中，標準對象的多項式模型為

式(6)展開后可以寫為：

標準對象經(jīng)過軸向伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換和平移變換可以得到該類對象的一般對象，即可得到本文介紹的基于線性變換的多項式模型：

參數(shù)n、k和δ決定多項式模型的類別，可稱之為分類參數(shù);參數(shù)l、A和X0決定多項式模型的線性變換過程，可稱之為變換參數(shù)。

4 模型分析

4.1 模型項數(shù)的比較

純量多項式模型在表示較少元數(shù)和較低次數(shù)的對象時使用非常方便，但是隨著表達對象的元數(shù)和次數(shù)增長，其項數(shù)的增加速度非?？?。如表1，對于三元三次多項式模型，基于線性變換的多項式模型只有4項，而純量多項式模型已經(jīng)達到20項。限于篇幅，本文沒有列出更多的多維高次多項式模型的實例，但可以驗證，隨著多項式模型的次數(shù)和元數(shù)的增加，純量多項式模型的項數(shù)增加速度迅速，這在實際應用中造成了極大的不便。

基于線性變換的多項式模型中，每一項均包含矩陣，其項數(shù)始終只比模型的元數(shù)多一項，模型解析式十分簡潔，使用該模型表達多維高次的對象時仍然非常方便。

4.2 模型參數(shù)和運算性質(zhì)的比較

以表1中二元二次多項式對象為例，其純量多項式模型為：

表1 兩種多項式模型解析式的項數(shù)比較Tab.1 Comparison between the number of polynomial model items of the two model

相應地，其基于線性變換的多項式模型為：

通過純量多項式模型難以辨別該對象的幾何性質(zhì);然而，通過基于線性變換的多項式模型，則容易根據(jù)各個參數(shù)的數(shù)值和符號辨別該對象的幾何性質(zhì)。比如，由式(10)可以判斷，該對象是由標準雙曲線x2-y2=1在x軸向伸長2倍，在y軸向伸長3倍，逆時針旋轉(zhuǎn)π/6，x軸正向平移1個單位，y軸正向平移2個單位后形成的雙曲線。

分析說明，基于線性變換的多項式模型參數(shù)具有明顯的幾何意義且互不相關(guān)。

另外，在工業(yè)測量擬合領(lǐng)域中，需要對多項式模型的參數(shù)求導并做相應計算［4］，所以多項式模型運算性質(zhì)的方便與否對于模型的實際使用影響很大。

設(shè)橢圓的基于線性變換的多項式模型為：

對各個參數(shù)分別求導，結(jié)果為：

可見，基于線性變換的多項式模型求導運算較為方便，其參數(shù)具有明顯的幾何意義且互不相關(guān)，對參數(shù)求導也較為方便，因此，該模型比純量多項式模型更適合應用于擬合大型幾何形體的工業(yè)測量領(lǐng)域。

4.3 模型表示對象集合的比較

本文模型既能表達正射圖形，也能表達仿射圖形。如圖5，圖形Ⅰ(圓)是基于線性變換的多項式模型，解析式為(11)，圖形Ⅱ(橢圓)是基于線性變換的多項式模型解析式為(12)。其中，橢圓是圓的仿射圖形。

圖5 用基于線性變換多項式表達正射對象和仿射對象(單位：m)Fig.5 Ortho object and affine object expressed by polynomial model based on linear transformation(unit：m)

式(11)中x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角都為π/6;式(12)中x軸的旋轉(zhuǎn)角為π/3，y軸的旋轉(zhuǎn)角為π/6。該例說明，如果兩個平面坐標軸的旋轉(zhuǎn)變換角不同，則表達的是仿射對象，否則是正射對象。

同理，在基于線性變換的多項式模型(8)中，Ri是對第i個軸進行旋轉(zhuǎn)變換的矩陣。如果線性變換過程中各個坐標軸旋轉(zhuǎn)的角度不同，則模型表達的是仿射對象;否則，表達的是正射對象。這說明基于線性變換的多項式模型與純量多項式模型表達的對象集合一致，都可以表達仿射對象，若對模型進行一定條件的約束則可以表達正射對象。

另外，如果將基于線性變換的多項式模型中的矩陣展開，則基于線性變換的多項式模型解析式可以轉(zhuǎn)換為純量多項式模型的解析式。矩陣展開的過程是可逆的，這也說明基于線性變換的多項式模型和純量多項式模型的等價性，兩者表示的對象集合相同。

5 算例

采用基于線性變換的多項式模型對文獻［4］中圓的模擬觀測數(shù)據(jù)分別進行擬合，與原文獻的擬合效果進行比較，分析多項式模型在工業(yè)測量擬合中的應用價值。

擬合流程圖如圖6所示，兩種模型擬合得到的結(jié)果如表2所示。

圖6 兩種模型的擬合流程圖Fig.6 Flowchart of simulation by the two models

表2 模擬觀測值和擬合結(jié)果比較(單位：dm)Tab.2 Simulated observed values and comparison between the fitting results(unit：dm)

比較結(jié)果可以看出，兩種模型的擬合結(jié)果一致。然而，基于線性變換多項式模型在確定必要參數(shù)方面更加方便。如圖6，在擬合流程的第②步，對于純量多項式模型，需要解析幾何的相關(guān)理論來輔助判斷參數(shù)之間的相關(guān)性，進而確定必要參數(shù)，整個過程可能需要大量的公式推導，尤其對于少見的高次幾何形體，解析推導過程更加復雜;對于基于線性變換的多項式模型，則可以方便地根據(jù)擬合目標對象的先驗信息固定模型中的一些參數(shù)，從而高效地消除參數(shù)之間的相關(guān)性，獲得必要的參數(shù)和化簡多項式模型。本文采用簡單的二維平面圖形(圓)來說明該模型確定必要參數(shù)的方便性，若推廣到三維高次幾何形體的擬合情況，該優(yōu)點更加明顯。

6 結(jié)論

1)基于線性變換的多項式模型的參數(shù)具有明顯的幾何意義且互相獨立，對參數(shù)求導方便，在參數(shù)性質(zhì)和運算性質(zhì)方面優(yōu)于純量多項式模型;

2)表示多維高次對象時，該模型的項數(shù)相比純量多項式模型少很多，書寫形式更加簡潔;

3)基于線性變換的多項式模型所能表示的對象集合與純量多項式模型的保持一致;

4)應用于工業(yè)測量擬合時，基于線性變換的多項式模型更容易通過擬合目標對象的先驗信息(如幾何對稱性)確定擬合的必要參數(shù)。

1 王解先.工業(yè)測量中一種二次曲面的擬合方法［J］.武漢大學學報(信息科學版)，2007，32(1)：47-50.(Wang Jiexian.A method for fitting of conicoid in industrial measurement［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan U-niversity，2007，32(1)：47-50)

2 張震宇.基于成像模型的星載SAR影像幾何糾正［D］.同濟大學，2009.(Zhang Zhenyu.Geometric rectification of satellite SAR image based on imaging model［D］.Tongji University，2009)

3 許偉志.二元散亂數(shù)據(jù)多項式自然樣條擬合及其應用［D］.中山大學，2010.(Xu Weizhi.Bivariate polynomial nature splines fitting for scattered data and its applications［D］.Sun Yat-Sen University，2010)

4 王解先，季凱敏.工業(yè)測量擬合［M］.北京：測繪出版社，2007.(Wang Jiexian and Ji Kaimin.Industrial surveying fitting［M］.Beijing：Surveying and Mapping Press，2007)

5 朱雷鳴，等.直角坐標系的歐拉旋轉(zhuǎn)變換及動力學方程［J］.海洋測繪，2010，30(3)：20-22.(Zhu Leiming，et al.The Euler’s rotation and dynamic equation of rectangular coordinate system［J］.Hydrographic Surveying and Charting，2010，30(3)：20-22)

POLYNOMIAL MODEL BASED ON LINEAR TRANSFORMATION

Yin Zhi1)，Wang Jiexian2)and Xu Caijun1)

(1)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079 2)Department of Surveying and Geo-informatics，Tongji University，Shanghai200092)

After summarizing the classification methods of polynomial model，the linear transformation from a unit circle to any ellipse or circle is studied，thus the polynomial model based on linear transformation is derived.By comparing the polynomial model based on linear transformation with the traditional scalar polynomial model on the number of items，the model parameters，calculation properties and the collection of objects that can be represented by model，as well as giving an analytical example about the plane circle fitting，it is found that the new model has a more compact form，its parameters have perceptual geometric meaning and good operational properties，it is more suitable for the expression of the higher-dimensional and higher-degree polynomial object.Particularly it is more convenient to obtain the necessary parameters in industrial surveying field.On the whole，the polynomial model based on linear transformation has more advantages.

linear transformation;polynomial model;scalar polynomial model;ortho object;affine object

1671-5942(2011)05-0091-06

2011-03-01

國家自然科學基金(40874003)

尹智：男，碩士研究生，主要研究方向為大地測量與測量工程.E-mail：yinzhi1221@sina.com.cn

P207

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