量子力學雙語教學實踐

凌東波 明 燚

（安徽大學物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039）

量子力學雙語教學實踐

凌東波 明 燚

（安徽大學物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039）

量子力學是物理專業本科階段重要的課程之一。雙語講授量子力學在安徽大學是一次有益的嘗試，在這一教學過程中，有相當多的實踐經驗值得總結。

束縛態；經典類比；狄拉克符號

1 采用的教材

我們采用 Griffiths的著作 “Introduction to Quantum Mechanics”[1]。這一著作寫法上適合初學者，是很有特色的一本教材。兼顧了詳細的計算和清晰的物理概念，注重闡述物理理論產生的背景和動機。具體體現在以下方面

1.1 直接引入薛定諤方程。這種講法很直接，相比較流形的國內教科書的引進方式[2]，這是容易講授的方式。我們知道薛定諤方程的獲得是通過和經典力學的類比猜得的，所有的推導都是輔助性的，而不是真正的。從這個意義上講，直接的引入該方程可以減少很多概念上的困惑。另外，這也是實驗要求的。關于線性疊加，去年有一個實驗方面的工作[5]。

這本教科書里引入動量算符的方式是通過位置平均值對時間的求導的方法，這種方式或許可以改成直接的定義動量算符更加合適。因為動量算符的是從經典力學中的Poisson括號類比獲得的，這可以參考狄拉克的著作[4]。

1.2 對束縛態有很直觀而準確的定義。經典力學中的粒子具有的動能如果低于兩側勢壘的高度，那么該粒子處于束縛態。束縛態的本意在于該粒子所處位置是局域的，也就是在無窮遠處不會出現該粒子。在量子力學中，則需要對應于波函數在無限遠處為0。考慮到量子力學中波動性，經典禁區依然有可能出現粒子，所以束縛態的定義為，粒子具有的能量低于無限遠處的勢能。這一關于束縛態的準確定義非常直觀，而且體現了量子力學和經典力學的對比。

1.3 對現代的熱點問題有追蹤。比如幾何相位問題。這里采用了Berry的原始文獻中的方式解釋AB效應。Berry相位和AB效應背后都隱藏了深刻的物理內容，和參數空間的拓撲性質有關，同時也顯示，經典力學中完全不可觀測的規范，在量子力學中是可以間接的觀測。 這里采用了直觀的方式，通過與經典力學中傅科擺問題的比較，引入量子力學中的不可積相位。一個本科生完全可以重復這些計算。

1.4 氫原子模型中的計算采用漸近分析的方法，避免了合流超幾何方程的直接求解。這一方法借鑒于狄拉克的教材[4]。采用漸近分析，可以把原來有正則奇點的微分方程變形為沒。

1.5 在散射的波恩近似中，關于傳播子的計算方法，有一點疏忽。本書的計算沒有考慮到邊界條件，認為繞過pole的方法是確定的。但是事實上，繞過pole的方式由邊界條件決定的。教科書忽略了邊界條件的作用，而這一影響是至關重要的。

1.6 在處理不確定度關系中，采用了嚴格的方法。不確定度關系（舊稱測不準原理）中，關于時間和能量的不確定關系

這一表達式有一個問題，時間并不是力學量，如何定義其不確定度？我們通常的解釋是，時間的不確定度是狀態的壽命。但是在單粒子量子力學中，壽命沒有良好定義。嚴格的方式是定義

這里的σQ是某一力學量Q的不確定度。根據這個定義，我們發現時間的不確定度并不唯一，隨我們選取的力學量的不同而不同。這樣就解決了前面的矛盾。

1.7 本書對諧振子和角動量的處理都是以代數方法為主，微分方程的方法作為輔助。代數方法處理角動量問題才能計算CG系數。雖然CG系數的計算不屬于本科生必須掌握的內容，但是這種代數方法往往反映更深刻的物理含義，實際上這和SU（2）代數直接相關，為將來深入的學習角動量理論準備了基礎。

值得注意的是，電磁場中的帶電粒子的運動方程沒有詳細的討論，這個和國內教學大綱上有差異，如果講授這一內容需要講授者自己增加。

2 教學的特色

2.1 強調經典和量子的對比

強調量子和經典的對比。量子力學中采用波函數描述粒子的運動狀態，這一方式和經典力學中采用質點完全不同。質點的概念符合人類的直觀，而波函數是反直覺的。

盡管如此，量子力學中又有很多概念和經典力學是不可分割的。比如束縛態的定義，力學量算符的寫法，力學量的對易關系和經典力學中的泊松括號。

我們初學者往往關心一些非常根本的問題，比如“為什么用波函數表示狀態？”我們對波函數的出現非常的不適應。這里我有一個比較哲學化的觀點，如果我們問問自己，為什么經典力學中的運動的物體可以抽象成一個點？為什么剛體可以看作是連續的質量分布？如果我們追問這樣的為什么，我們發現，我們自己也無法回答這樣的問題。經典力學中關于質點的假定更加直觀，所以容易被我們“接受”，注意是“接受”。當我們學習量子力學的時候，我們的問題是試圖去“理解”波函數。如果我們用同樣的態度對待波函數，我們應該是接受波函數而已。雖然波函數是違背直觀的概念，但是物理學不斷發展的過程實際上就是不斷違背直觀的過程。

2.2 注重數學推導

量子力學中采用的數學技巧主要是線性代數，用狄拉克的話說，量子力學和相對論都是變換的理論。所以熟練的掌握線性變換以及變換所具有的直觀的物理和幾何含義/是非常有必要的。比如在角動量理論的部分，講述CG系數是比較艱難的。其困難來源于學生對線性代數的理解不夠深刻，所以要強調不變子空間和簡并的關系。而不變子空間的概念在簡并微擾論當中起了重要的作用。從這一例子可以看出，只有不回避復雜的數學推導和提升數學概念，才能進一步深入的理解物理概念。

2.3 強調微擾論的價值

量子力學中的微擾論對應的可觀測的效應。如果沒有微擾論，我們就無法檢驗量子力學的正確。比如光譜學實驗得到的氫原子能譜，這個過程本身就是微擾的結果，因為物理學中的觀測總是和微擾相對應的。

同時，本科階段學習的固體物理學中，弱周期的勢能可以導致能譜中的禁帶這一結果，恰恰是簡并微擾論的結果。所以克服微擾論的計算的復雜，抽取其中物理的思想和實用價值是非常必要的。

2.4 強調狄拉克符號的使用

狄拉克符號在計算上可以簡化運算。尤其在代數解法當中，我們并不需要明確的表象，此時狄拉克符號的使用幾乎是不可避免的。

另外狄拉克符號有助于澄清理解波函數。事實上量子態不僅僅是不可觀測的，而且本身是需要表示的。只有清楚的理解了狄拉克符號，我們才能更好的理解位置表象中的波函數是量子態的表示，也更好的理解位置表象中的動量算符的形式。狄拉克符號的講授我們借鑒了Sakurai的著作[3]。

2.5 教學效果

我們經常的和學生討論他們遇到的困難，了解他們對課程的掌握情況。

從效果上看，選修該課程的同學幾乎都能跟上進度，有部分學生對量子力學有比較學生經過認真的計算，發現了教科書上的一些問題，比如前面所提到的波恩近似中的傳播子的計算問題。從他們后來參加研究生入學考試成績來看，他們對該課程的掌握是相當好的。

3 致謝

感謝安徽大學物理與材料科學學院李剛老師的有益討論。師的有益討論。

[1]David J.Griffiths,Introductiont to Quantum Mechanics[M].機械工業出版社,2007.

[2]曾謹言著,量子力學教程[M].第二版,科學出版社,2008.

[3]J.J.Sakurai,Modern Quantum Mechanics[M].Addison-Wesley Publishing Company,1994.世界圖書出版公司影印

[4]P.A.M.Dirac,the Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford University Press,1958.科學出版社2008年影印

[5]Urbasi Sinha,Ruling out Multi-Order Interference in Quantum Mechanics[J].Science 2010，329：418

BILINGUAL TEACHING PRACTICE OF QUANTUM MECHANICS

LING Dong-bo MING Yi
（School of physics and material science,Anhui University,Hefei Anhui 230039）

Quantum mechanics is one of the kernel courses for undergraduate students majoring in physics. The bilingual teaching of this course in Anhui University was a useful attempt.Consequently there are many practical experiences worthy of summarizing in the teaching process.

bound states;classical analogy;Dirac notation

A

1672－2868（2011）03－0132－03

2011-2-28

安徽大學質量工程項目（項目編號：2304005）

凌東波（1978-），男，安徽巢湖人。安徽大學物理與材料科學學院講師，研究方向：凝聚態理論

責任編輯：陳 鳳