偽內射模及其同調維數

孫 平，李征宇，李 旸

(沈陽建筑大學 a.理學院;b.信息學院，沈陽 110168)

偽內射模及其同調維數

孫 平a，李征宇b，李 旸a

(沈陽建筑大學 a.理學院;b.信息學院，沈陽 110168)

通過引入偽內射模的概念，定義了偽內射維數和偽內射整體維數，論證了偽內射維數和偽內射整體維數的關系;當環R是半單環和左遺傳環時，給出偽內射整體維數的性質，證明了環R是整環時偽內射模所具有的性質。

偽內射模;偽內射維數;偽內射整體維數

0 引言

內射模是模論與同調代數所研究的重要模類，它對于各種環的刻畫及其它數學分支的發展起著重要的作用，內射模的結構至今未完全被人們所掌握，因此幾十年來內射模已成為廣大研究者熱衷研究的對象。維數的研究也是同調理論中的核心部分之一，伴隨同調理論的形成，它一直是同調代數中研究的焦點。本文研究的是對內射模的推廣——偽內射模，主要研究其性質及維數，進而通過偽內射模的相關維數來刻畫特殊的環。文中的環均指有單位元的結合環，模指左酉模。

1 相關概念

定義1［1］如果對于任意單同態α:A→M和任意單同態β:A→M，存在M的自同態，使得α=γβ，則稱M是偽內射模。

由偽內射模的定義，可以得出如下結論:

引理1 內射模是偽內射模。

由上述引理1知，每一個左R－模M均有偽內射分解，即存在如下正合序列:

其中每一個En都是偽內射模。從而，引出如下概念:

定義2 左R－模M有如下形狀的偽內射分解:

則在M的所有這種形狀的偽內射分解中，必有一個偽內射分解，其中n是最小的，這個最小的n稱為左R－模M的偽內射維數，記pidRM。若沒有上述形狀的分解，則記pidRM=∞。

定義3 設R是環，左偽內射整體維數lpiD(R)=Sup{pidRM:M∈Rm}。

引理2 若R是主理想整環，則一個R－模是內射的當且僅當它是可除的。

2 主要結論

關于偽內射模的偽內射維數，有下述定理:

定理1 左R－模M是偽內射模當且僅當pidRM=0。

下面，討論左內射整體維數與左偽內射整體維數之間的關系。

pidRM μn，所以 lpiD(R)μliD(R)。

關于半單環和左遺傳環的左偽內射整體維數，有下述性質:

定理3 設R是環，則R是半單環當且僅當lpiD(R)=0。

證明:環R是半單環?每一個左R－模M是偽內射模［1］?對任意左R－模M，根據定理1知pidRM=0?lpiD(R)=0。

定理4 設R是環，若R是左遺傳環則lpiD(R)μ1。

證明:若R是左遺傳環，則對于R的任意左理想I都是投射模，則lpD(R)μ1，又lpD(R)=liD(R)，有liD(R)μ1，由定理 2 知，lpiD(R)μ1。

定理5 設R是半單環當且僅當每個偽內射模是內射模。

證明:若R是半單環，則任意左R－模是內射模，且任意左R－模是偽內射模，因此每個偽內射模是內射模。

定理6 若R是整環，一個R－模M是偽內射模，那么它是可除的。

證明:欲證M是可除的，只要證得對任意λ≠0且λ∈R，d∈M，存在d'∈M，使d=λd'。因為M是偽內射模，所以存在交換圖(圖1)(A是M的任意子模)，

定理7 設R是主理想整環，則偽內射模的商模是偽內射模。

證明:E是偽內射模R－模，由定理6知，E是可除的，設A是E的商模，則有滿同態g:

E→A，對任意λ≠0且λ∈R，存在e∈E使g(e)=d，但E是可除的，所以存在e'∈E使e=

λe'，從而d=g(e)=g(λe')=λg(e')，其中g(e')∈A，所以A是可除的，由引理2知，A是內射模，從而A是偽內射模。

圖1 交換圖

［1］班秀和，韋儒和.偽內射模與特殊環［J］.阜陽師范學院學報，2008(2):12－14.

［2］J.Rotman.An Introduction to Homological Algebra［M］.New York:Academic Press，1979:65 －75，232 －238.

［3］F.W.Anderson K.R.Fuller.Rings and Categories of Modules［M］.New York:Spring-verlag.1973:129 －130.

責任編輯:鐘 聲

Pseudo-injective modules and homological dimension

SUN Pinga，LI Zheng-yub，LI Yanga
(a.College of Science;b.College of Information，Shenyang Jianzhu University，Shenyang 110168，China)

Through introducing the concept of pseudo-injective modules，this paper defines pseudo-injective dimension and pseudo-injective global dimension and demonstrates the relationships between the two.When R is a semisimple ring or a left hereditary ring，the properties of pseudo-injective dimension is presented，which proves the properties of the modules when R is an integral ring.

pseudo-injective module;pseudo-injective dimension;pseudo-injective global dimension

O153.3

A

1009－3907(2011)06－0041－02

2010-03-25

沈陽建筑大學基礎學科基金資助項目(20100303)

孫平(1980-)，女，吉林德惠人，講師，碩士，主要從事代數學方面研究。