論哥德爾語句的維特根斯坦疑難
——未提及自身的算術命題何以談論自身?

張鐵聲

(1．青島濱海學院，山東青島266555;2．山西省社會科學院，太原030006)

論哥德爾語句的維特根斯坦疑難
——未提及自身的算術命題何以談論自身?

張鐵聲1，2

(1．青島濱海學院，山東青島266555;2．山西省社會科學院，太原030006)

維特根斯坦就哥德爾語句G提出了如下疑難，這個并未提及自身的算術命題何以竟會談論自身?借助特定元數學關系的計算機可判定性及其特征函數的算術可定義性進行深入分析，即可得出以下結論:G非但沒有提及自身，甚至也沒有談論自身，而只不過是涉及了自身——是G的推論在談論G。

哥德爾語句;維特根斯坦;提及自身;談論自身;涉及自身

03－0012－07

一、問題的提出

哥德爾(不完全性定理的)證明的關鍵之點在于構造那個著名的不可判定語句。哥德爾表明，在形式算術系統P中有一個語句G，它居然斷言“我在P中不可證”。G正是那個在P中不可判定的哥德爾語句，亦即G與﹁G在P中均不可證。簡單地說，若假定G在P中可證，G便是真的，由其所言便有G在P中不可證，這就導致了矛盾，故有G在P中不可證;另一方面，由于G在P中不可證，由其所言便有﹁G是假的，故而﹁G在S中也不可證。

然而，維特根斯坦卻就哥德爾語句G提出了一個疑難，這個疑難可表述為:這個并未提及自身的算術命題何以竟會談論自身?他就此寫道:

“21．不要忘記，這個說其自身不可證的命題，必須被認為是一個數.學.斷言，——因為這并非理.所.當.然.。一個斷言如此這般的結構不能被構造出來的命題必須被認為是數學命題，這并非理所當然。

這就是說，當我們說‘它談論其自身’，就必須以一種特殊方式去理解這句話。因為在這里，由于表達式‘這個命題談論……’的富于變化的用法，容易造成混亂。

在這個意義上，命題‘625=25×25’也在談論它自身:也就是說，左邊的數字由右邊的數字相乘得出。哥德爾的談論其自身的命題，并未提及其自身?！雹龠@段引文的英文文本參見Blackwell Publishers出版的電子版The Collected Works of Ludwig Wittgenstein(pp385－386):21．Do not forget that the proposition asserting of itself that it is unprovable is to be conceived as a mathematical assertion－for that is not a matter of course．It is not a matter of course that the proposition that such－and－such a structure cannot be constructed is to be conceived as a mathematical proposition．That is to say:when we said:“it asserts of itself”－this has to be understood in a special way．For here it is easy for confusion to occur through the variegated use of the expression“this proposition asserts something of…”In this sense the proposition‘625=25(25’also asserts something about itself:namely that the left－hand number is got by the multiplication of the numbers on the right．G?del’s proposition，which asserts something about itself，does not mention itself．《維特根斯坦全集》中文版(涂紀亮主編，河北教育出版社2003年版)第7卷——《論數學的基礎》中的譯文(見第298頁)為:21．不要忘記:一個說它自身不可證明的命題，被理解為數學陳述，——因為它并非不言而喻的。一個關于某種結構不能被構造出來的命題被理解為數學命題，這不是不言而喻的。這就是說，如果有人說“他談論自己”，那就要以一種特殊方式去理解這句話。在這里，由于混淆使用“這個命題談論它自身……”這個表達式，因此容易造成混亂。在這種意義上，“625=25×25”這個命題也是談論它自身;這就是說．如果人們把右邊的數字相乘，就會得出左邊的數字。哥德爾的那個談論它自身的命題，沒有涉及它自身。

維特根斯坦就哥德爾語句提出這樣的疑難是不足為怪的，事實上，就連哥德爾本人也曾對此深感驚訝。“1930年9月哥德爾出席一個在柯尼斯堡召開的會議(《認識》第2卷內有所報道)，宣布了他的結果。卡爾納普、海丁、馮諾伊曼與會。馮諾伊曼十分熱情地對待哥德爾的結果，私下里同哥德爾討論過一次。在這次討論中，馮諾伊曼問:鑒于組合論對象總能映射到整數上，是否也能造出不可判定的數論命題呢?馮諾伊曼表示他相信能做到。哥德爾回答說:‘這樣當然能造出一些談到整數的不可判定命題，但其中會出現與加、乘之類的數論概念迥然不同的概念吧。’會后不久，哥德爾自己也不勝驚訝，他居然成功地將不可判定命題換成一個前方有(自然數上的)量詞的多項式了。”王浩指出，正是由于“關系B(x，y，z)看樣子與加、乘之類的算術運算隔得非常遠”，哥德爾才對自己竟會“成功地表明這是個‘算術’謂詞，即可以用加、乘借助于量詞來表達的謂詞”大感驚訝［1］。

如此看來，哥德爾語句的維特根斯坦疑難的確頗為費解，值得深入探討。

二、計算機可計算性與算術可定義性

欲回答維特根斯坦疑難，也許首先應當弄清楚的就是，與表面看上去相反，形式算術系統中的公式具有出乎意外的極其豐富的“表現力”，以至于可用以定義所有的計算機可計算函數。換言之，每一個計算機可計算函數都是算術可定義的。

對于任一(定義域和值域均為自然數亦即非負整數的)函數y=f(x1，x2，…，xn)，若形式算術系統內有一含n+1個自由變元的公式F(x1，x2，…，xn，y)滿足:若自變量x1，x2，…，xn分別取值a1，a2，…，an時y=f(x1，x2，…，xn)之函數值為b，則F (ˉa1，ˉa2，…，ˉan，y)(形式算術系統內部用0，0'，0″，0?…(或其他符號串)表示自然數0，1，2，3…，ˉai為ai的內部表示)當且僅當y=ˉb(在標準解釋下)為真;若x1，x2，…，xn分別取值a1，a2，…，an時y= f(x1，x2，…，xn)無定義，則F(ˉa1，ˉa2，…，ˉan，y)無論y取何值(在標準解釋下)均不為真，就稱函數y= f(x1，x2，…，xn)是算術可定義的(簡稱為“算術的”)。令人驚異的倒不是形式算術系統的公式可以用來定義函數，而是其公式的“表現力”居然“強大”到可以定義一切遞歸函數。業已證明，所有遞歸函數都是算術可定義的。

以下我們將簡略證明，(理想的或者說存儲容量不受限制的)計算機可計算性與算盤機(abacus machine)可計算性等價。由于算盤機可計算性與遞歸可計算性等價，于是便有，一切計算機可計算函數都是算術可定義的。

所謂計算機可計算函數，嚴格地說，實為計算機程序可計算函數。盡管計算機程序語言種類繁多，但很多語言，尤其是高級語言的“大多數特征只是為了更加方便使用該語言來編程而添加的，它們并沒有擴展語言的基本功能”［2］，而基本要素語言(Bare Bones)則析出了為通用程序設計所必需的最小一組要素。所以，計算機(程序)可計算函數，實際上等價于基本要素語言程序可計算函數。

基本要素語言之特點為:

◆變量類型為任意長的二進制數;

◆變量名必須以一個(英文)字母打頭，可后接字母、數字(0～9中的任何一個)之任意組合;

◆包括3個賦值語句和一個循環結構:

◇clear name;(name可以是任一變量名(下同)，使變量值為0)

◇incr name;(使變量值加1)

◇decr name;(若變量值≠0，使之減1;若變量值=0，維持其值不變)

◇while name not 0 do;

·

·

·

end;(若變量值≠0，執行do和end之間的語句，然后返回該循環結構;若變量值=0，就跳過該循環結構，繼續向下執行其他語句)

不難證明，凡基本要素語言程序可計算的函數都是算盤機可計算的。

算盤機是一種抽象計算機，其存儲容量不受限制，有任意多個寄存器可供使用，其編號為1、2、3等正整數，算盤機的程序可表為帶有編號的指令表，其指令僅有兩種:

◆［指令編號］將寄存器n中的數值加1，然后轉向指令r

◆［指令編號］如果寄存器n中的數值≠0，則將其中的數值減1，然后轉向指令r;否則(如果寄存器n中的數值=0)轉向指令s

為簡明計，其程序一般采用流程圖表示。在流程圖表示法中，上述指令可分別以圖1中的初等運算流程a和b表示(其中標有e的箭頭指向減1運算之后要執行的操作)［3］。

圖1 算盤機流程圖中的初等運算流程

顯然，初等運算流程a、b分別與基本要素語言中的語句“incr name”以及“decr name”等效。進一步，運用這兩種初等運算流程還可實現基本要素語言中另一賦值語句“clear name”以及循環結構的功能。不難看出，圖2中的流程c和d分別與之等效。

圖2 與“clear name”以及“while－end”循環結構等效的流程

由于計算機可計算函數都是基本要素語言程序可計算的，而后者實際上又均為算盤機可計算的，所以，計算機可計算函數也都是算盤機可計算的。不難看出，反之亦然。于是便有，計算機可計算性與算盤機可計算性等價。

我們知道，圖靈機可計算性、算盤機可計算性、遞歸可計算性這三種可計算性概念是等價的［3］。由于計算機可計算性等價于算盤機可計算性，于是便有，這四種可計算性等價。業已證明，遞歸(可計算)函數乃是算術可定義的，于是便有，與之等價的函數類，特別是計算機可計算函數也是算術可定義的(見圖3)。

圖3 四種函數類的等價性及其算術可定義性

三、元數學關系與計算機可計算性

欲回答維特根斯坦疑難，還有必要弄清楚以下事實，那就是某些元數學(關于形式算術系統的語形的或者說句法的)關系(成立與否)是計算機可判定的，換言之，其(基于哥德爾編碼的)特征函數是計算機可計算的。借助上一節的結論，由此即可進一步推知，由這些關系的判定程序所確定的函數乃是算術可定義的。

哥德爾編碼的方法并不限于一種，實際上只要滿足以下要求即可:

(1)為形式算術系統的每個初始符號分別配以一個為其所特有的自然數(此即初始符號的哥德爾數);

(2)在此基礎上，給出初始符號的有限序列(符號串)的編碼規則，該規則應使其分別對應于一個為其所特有的自然數(此即初始符號的有限序列的哥德爾數)，并且任給一自然數均可依據該規則確定其是否初始符號的有限序列的編碼數以及(在肯定的情況下)相應的序列為何;

(3)進而給出初始符號的有限序列之有限序列(符號串的有限序列)的編碼規則，該規則應使其分別對應于一個為其所特有的自然數(此即初始符號的有限序列之有限序列的哥德爾數)，并且任給一自然數均可根據該規則確定其是否初始符號的有限序列之有限序列的編碼數以及(在肯定的情況下)相應的序列為何。

形式算術系統及其哥德爾編碼都不是唯一的，以下是張家龍教授針對一種形式算術系統給出的哥德爾編碼法的實例［4］。不過，此后的討論將不失一般性。

(i)初始符號的哥德爾數

將1～14依次配給以下符號:

?→∧∨﹁??=+·'0() 1234567891011121314

將大于14的素數依次配給自然數變元:

xyz …171923…

(ii)初始符號的有限序列的編碼規則

依次寫出初始符號的有限序列中每一初始符號的哥德爾數，由此即可得到一個自然數的有限序列k1，k2，k3，…，kn，然后以下式計算該初始符號的有限序列之哥德爾數:

此處Pi代表第i個素數(素數按升序排列)。

(iii)初始符號的有限序列之有限序列的編碼規則

依上法依次求出該序列中每個初始符號的有限序列的哥德爾數，由此即可得到一個自然數的有限序列k1，k2，k3，…，kn，該初始符號的有限序列之有限序列的哥德爾數仍以下式計算:

此處Pi代表第i個素數(素數按升序排列)。

在給定一種形式算術系統的哥德爾編碼方法之后，我們便可使用狀如“哥德爾數為m的(或者簡稱作“第m號”，下同)初始符號”、“哥德爾數為m的初始符號的有限序列”、“哥德爾數為m的初始符號的有限序列的有限序列”以及“哥德爾數為m的(合式)公式”、“哥德爾數為m的性質(亦即僅含一個自由變元的合式公式)”、“哥德爾數為m的語句(或命題，亦即閉公式)”、“哥德爾數為m的證明”之類的短語(摹狀詞)來指稱特定的對象(如果這樣的對象存在的話)。

上述短語形式，若將其中的m代入一個自然數，會有兩種可能:一是該自然數恰為相應類型的哥德爾數，此時該短語便確有所指;二是該自然數并非相應類型的哥德爾數，此時該短語便并無所指?，F在的問題是，我們有無判定此類短語是否確有所指且在回答為肯定的情況下求得其所指的算法。回答是肯定的。

對于狀如“哥德爾數為m的初始符號”、“哥德爾數為m的初始符號的有限序列”以及“哥德爾數為m的初始符號的有限序列的有限序列”的短語而言，上述算法顯然是存在的。以前述哥德爾編碼方法為例，“哥德爾數為m的初始符號”確有所指，當且僅當m∈{1～14，大于14的素數}，其具體所指由(i)即可查得;“哥德爾數為m的初始符號的有限序列”確有所指，當且僅當將m分解為素數因子之積2k1·3k2·5k3…Pkii·…·Pknn后由相應指數構成的自然數之有限序列k1，k2，k3，…，kn恰為初始符號的哥德爾數的有限序列，并且，在回答為肯定的情況下，只要將該有限序列中初始符號的哥德爾數改寫為相應的初始符號即可求得其所指;“哥德爾數為m的初始符號的有限序列的有限序列”確有所指，當且僅當，將m分解為素數因子之積2k1·3k2·5k3…Pkii·…·Pknn后得到自然數之有限序列k1，k2，k3，…，kn，再將ki(i=1，2，…，n)依上法分別分解為素數因子之積，由相應指數所得之自然數的有限序列的有限序列恰為初始符號的哥德爾數的有限序列之有限序列，并且，在回答為肯定的情況下，只要將該有限序列中的初始符號的哥德爾數改寫為相應的初始符號即可求得其所指。

類似地，判定狀如“哥德爾數為m的合式公式”、“哥德爾數為m的性質”、“哥德爾數為m的語句”、“哥德爾數為m的證明”的短語是否確有所指以及在回答為肯定的情況下求得其所指也均有相應的算法。

我們可先用前述算法判定m是否初始符號的有限序列的哥德爾數或者初始符號的有限序列的有限序列的哥德爾數，如果回答為否定即可做出否定的回答。如果回答是肯定的，則可進一步求得該初始符號的有限序列(或者初始符號的有限序列之有限序列)，然后依據合式公式、性質、語句或者證明之定義判定該序列究竟是否確有所指，在回答為肯定的情況下自然也可求得其所指。

附帶說一下，我們甚至根本不必求出上述初始符號的有限序列(或者初始符號的有限序列之有限序列)，而只要求得相應的初始符號之哥德爾數的有限序列(或者初始符號之哥德爾數的有限序列之有限序列)作為其替身，即可判定“哥德爾數為m的合式公式(性質、語句或證明)”究竟是否確有所指。這意味著，從輸入到輸出，只要處理自然數便能給出判定結果(肯定時輸出1，否定時輸出0)。事實上，這兩類算法并無本質不同，前者的結果實際上完全取決于該初始符號的有限序列(或者初始符號的有限序列之有限序列)中各初始符號的類型及其“空間”關系是否滿足特定的定義，而考查相應的初始符號之哥德爾數的有限序列(或者初始符號之哥德爾數的有限序列之有限序列)中各初始符號的哥德爾數的類型及其“空間”關系是否滿足相應的條件自然可以得到同樣結果。

類似地，元數學關系“第m號證明是第n號公式的證明”(簡記作Prf(m，n))以及“第n號證明是將第m號性質中的自由變元代入ˉm后所得到的公式的證明”(簡記作W(m，n))等也是計算機可判定的。換言之，其特征函數都是計算機可計算的。Prf(m，n)為真，當且僅當m確為一個證明的哥德爾數，n確為一個公式的哥德爾數，且該證明的最后一行恰為第n號公式。W(m，n)為真，當且僅當n確為一個證明的哥德爾數，m確為一個性質的哥德爾數，且該證明的最后一行恰為將第m號性質中的自由變元代入ˉm后所得到的公式。W(m，n)非常重要，涉及哥德爾語句之構造，尤為值得關注。

請注意，由于上述元數學關系均為計算機可判定的，故由相應的判定程序所確定的函數乃是算術可定義的。

四、哥德爾語句:字面意義、解讀與推論

關系W(m，n)的判定程序所確定的函數亦即關系W(m，n)的特征函數Fw(m，n)。既然該函數是計算機可計算的，它自然也就是算術可定義的。換言之，在形式算術系統中，存在一含有3個自由變元的公式D(x1，x2，y)可以定義該函數，亦即對任意m0、n0，若當且僅當y=時為真，若當且僅當y =時為真。亦即為真，Fw(m0，n0)=1，否則，Fw(m0，n0)=0。換言之，D為真，意味著W(m，n)的判定程序在輸入為m0，n0時輸出1;為假，意味著W (m，n)的判定程序在輸入為m0，n0時輸出0。簡言之:

此即所謂哥德爾語句，為簡便計，記作G。

G為真，當且僅當W(m，n)的判定程序在輸入j和任意一個自然數時均輸出0。

依據該判定程序之功能，于是又有:

G為真，當且僅當將哥德爾數為j的性質中的自由變元代入ˉj所得之公式在形式算術系統中不可證。

由于將哥德爾數為j的性質中的自由變元代入ˉj所得到的公式不是別的，恰恰是G本身，故又有:

G為真，當且僅當G在形式算術系統中不可證。

基于G的上述特點，即不難看出G與﹁G均不可證。

哥德爾語句屬于僅由邏輯符號(邏輯聯結詞，量詞，變元，等詞，標點符號)以及被稱為算術語言的一組非邏輯符號(如+，·，'，0)構成的“算術語句”。作為“算術語句”，G的字面意義只能是“純算術的”:請注意，D(x1，x2， y)表示的是一個特定的含有3個自由變元的公式。盡管如此，G之所言實際上卻意味著W(m，n)的判定程序(或遞歸算法)在輸入j和任意一個自然數時均輸出0。這一點之所以可能，乃是因為正如我們先前所見，計算機程序所能描述的算法本質上只不過就是加加減減及其循環(遞歸)計算而已，故而由此構造出來的(遞歸)函數恰恰適于采用“算術語句”以另一種方式來加以定義［3］，W(m，n)的判定程序所確定的函數自然也在此列，可由一含有3個自由變元的公式D(x1，x2，y)加以為真，亦即定義。由于G亦即?的特殊構造，故有G為真當且僅當W(m，n)的判定程序在輸入j和任意一個自然數時均輸出0，這自然意味著將第j號性質中的自由變元代入ˉj后所得到的公式在形式算術系統中不可證，又由于將第j號性質中的自由變元代入ˉj后所得到的公式正是G本身，于是便可進而推知:G為真，當且僅當G在形式算術系統中不可證。不難看出，“G在形式算術系統中不可證”并非G之所言，而只不過是G的推論。

五、回答維特根斯坦疑難

現在讓我們回過頭來回答維特根斯坦的疑難:哥德爾語句G這個并未提及自身的算術命題何以竟會談論自身?

在我們看來，哥德爾語句G的確是個并未(甚至也根本不可能)提及自身的算術命題，因而，嚴格地說，它根本不會(也根本不可能)談論自身。所以，正確的問法也許應當是:哥德爾語句G這個并未提及自身的算術命題何以竟會涉及自身?對此則可回答如下:哥德爾語句G盡管并未提及自身卻能涉及其自身之原因在于，G為真當且僅當G在形式算術系統中不可證，也就是說，G這個算術語句之真假居然與其自身在形式算術系統中可證與否相關聯。G之所以具有此種奇特性質，乃是由于G為真實際上意味著元數學關系W(m，n)之判定程序在輸入j和任意一個自然數時均輸出0，并且反之亦然。而這又可由元數學關系W(m，n)的計算機可判定性及其特征函數的算術可定義性以及G的特定構造得到解釋。

最后，再讓我們逐一審視維特根斯坦的前述評語。

維特根斯坦說:“不要忘記，這個說其自身不可證的命題，必須被認為是一個數學斷言，——因為這并非理所當然。一個斷言如此這般的結構不能被構造出來的命題必須被認為是數學命題，這并非理所當然?！闭缥覀兯姷降模珿的確只不過是一個數學命題，甚至只不過是一個算術命題，不過，它并未“說其自身不可證”，也并未“斷言如此這般的結構不能被構造出來”，所有這些只不過是G的推論。

維特根斯坦評論道:“這就是說，當我們說‘它談論其自身’，就必須以一種特殊方式去理解這句話。因為在這里，由于表達式‘這個命題談論……’的富于變化的用法，容易造成混亂?！憋@然，他的這一見解不無道理。說G“談論其自身”，按照普通方式似乎可理解成是G的字面意義在“談論其自身”，這顯然是不確切的。在這里，只能“以一種特殊方式”將其理解成是G的推論在“談論G”。

維特根斯坦甚至進一步發揮說:“在這個意義上，命題‘625=25×25’也在談論它自身:也就是說，左邊的數字由右邊的數字相乘得出?！本S氏此論頗具迷惑力。如此說來，“談論自身”豈不成了所有的命題的“常態”?必須強調的是，如此這般的“談論自身”與G的“談論自身”并不是一回事。請注意“左邊的數字由右邊的數字相乘得出”與“625=25×25”所斷言的只不過是同一個東西(亦即同樣的對象具有同樣的關系)而已，區別僅僅在于前者使用摹狀詞來指稱對象并且用語詞而不是用符號來表述關系。然而命題G與“談論其自身”的命題“G在形式算術系統中不可證”所斷言者卻根本不是同一個東西，亦即并非在斷言同樣的對象具有同樣的關系。

維特根斯坦指出:“哥德爾的談論其自身的命題，并未提及其自身。”盡管意識到“談論其自身”容易導致誤解，維氏還是使用了這一表述方式。令他困惑的是:G既然并未提及其自身，又緣何能夠談論其自身?由上述討論則可看到，G非但并未提及其自身，而且也并未“談論其自身”，事實上，不是G而是G的推論在談論G。

［1］王浩．哥德爾［M］．康宏逵，譯．上海:上海譯文出版社，2002:64，388．

［2］Brookshear J G．計算機科學概論［M］．王保江，譯．北京:人民郵電出版社，2003:390－391．

［3］Boolos G S，Burgess J P，Jeffrey R C．可計算性與數理邏輯［M］．何自強，譯．北京:電子工業出版社，2005．

［4］張家龍．數理邏輯發展史——從萊布尼茨到哥德爾［M］．北京:社會科學文獻出版社，1993:346－347．

(責任編輯張佑法)

On Wittgenstein’s Puzzle about G?del Sentence——Why Does the Arithmetical Sentence Which Does Not Mention Itself Assert Something about Itself?

ZHANG Tie－sheng1，2

(1．Qingdao Binhai University，Qingdao 266555，China; 2．Shanxi Academy of Social Sciences，Taiyuan 030006，China)

Wittgenstein set a puzzle about G?del Sentence G:why does the arithmetical sentence which does not mention itself assert something about itself?The problem can be solved by deep analysis based on computer－decidability of some meta－mathematical relationships and arithmetical definability of their characteristic functions．In fact，G?del Sentence G does not mention itself nor assert something about itself．It merely involves itself．It is the deduction to derive from G that asserts something about G．

G?del Sentence;Wittgenstein;mentioning itself;asserting something about itself;involving itself

B81－05

A

1674－8425(2011)

2010－11－02

張鐵聲(1946—)，男，遼寧凌海人，青島濱海學院教授，山西省社會科學院研究員，研究方向:思維科學、認知科學與邏輯哲學。