大傳動比減速器動力學建模及分析

王蘭

西安航空職業技術學院，陜西 西安

大傳動比減速器動力學建模及分析

王蘭

西安航空職業技術學院，陜西 西安

重視機械結構系統的動力學問題，研究機械系統在實際工作狀態下的受力變化、運動情況及其動態行為，以滿足機械結構靜、動態特性及低振動、低噪聲的要求。因此，有必要對所設計的減速器系統進行扭振動力學分析，找到影響動態特性的薄弱環節，從而為進一步動態結構優化設計、提高減速器的動態性能提供了理論依據。

傳動比；動力學；數學模型；扭轉；振動

Drive ratio;Dynamics;Mathematical model;torsional;Viberation

機械臂在探測器執行任務中起著決定性的作用，機械臂的各個關節的減速器必須具有較輕的質量，以減輕關節驅動電機的負載，而且應該具有較大的傳動比以提高機械臂機械手的控制品質。因此，小體積、大傳動比、高轉矩、高效率減速器的研制開發已成為減速器產品研究的新課題。本文對所設計的減速器系統進行扭振動力學分析，找到影響動態特性的薄弱環節，從而為進一步動態結構優化設計、提高減速器的動態性能提供了理論依據。

1.系統扭轉動力學模型的建立

減速器結構如圖1所示,為了分析該傳動系統的動態特性，首先需要根據其結構建立動力學模型。根據各種零件動力學作用的不同，可把組成系統的各元件分成兩類，即慣性元件和彈性元件。

A.將軸上的齒輪和其他質量較大而直徑比較小的零件作為只有慣性而無彈性的慣性元件。

B.計算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉剛度和轉動慣量，將各軸段的轉動慣量迭加到該軸的兩慣性元件上，各軸段的扭轉剛度轉換成一個彈性軸段的扭轉剛度，其值應與兩慣性元件之間實際軸段的扭轉剛度相等。

C.將各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段,轉換到同一軸線上，構成單一軸線的當量圓盤系統的扭轉動力學模型。

圖1 減速器傳動系統機構簡圖

1.1 慣性元件的等效轉動慣量

假設輸入軸上齒輪的角速度為ω1,外齒輪2，3的自轉速度為ωz2、公轉速度為ωg2,J’

1表示外齒輪1的轉動慣量，J’2表示外齒輪2，3的轉動慣量。由于三齒輪表面經過滲碳淬火，彈性變形很小(嚙合處的彈性元件可以忽略)，所以相嚙合的3個齒輪可合并成一個慣量元件,轉換后該等效元件的當量轉動慣量為J1。按動能相等原則有

圖2 軸的轉動慣量分配

設等效分配到慣性元件1上的轉動慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉動慣量為J02,則有所有軸的轉動慣量，均可作同樣的處理，從而求得系統振動中各單元的轉動慣量如表1所示。

1.2 彈性元件扭轉剛度的確定

1 )軸的扭轉剛度

根據材料力學的理論，軸的扭轉剛度為

式中G—為材料的剪切彈性模量；

l—為軸的受扭長度(mm)；

Jp—為軸的極慣性矩(m4)。

利用上述公式，求出各軸段的扭轉剛度k1,k2,……,kn，再根據剛度串聯公式(8)：

將各軸段的剛度串聯起來，從而求得整根軸的扭轉剛度k。

2 )軸的等效扭轉剛度

彈性元件按轉換前后勢能相等的原則進行轉換,其通用轉換公式為

上式為r軸上的彈性元件的扭轉剛度kr向s 軸轉換后得到的新扭轉剛度ks。

假設該軸的彎曲應變能為U1，扭轉應變能為U，等效扭轉應變能為U，則

式中P——軸上承受的集中力 ；

J——極慣性矩;

E——拉壓彈性模量;

G——剪切彈性模量;

x——軸向長度變量;

ψ——扭轉角;

l——軸段長度。

即可得到曲柄軸段的等效扭轉剛度為：

式中 k—只考慮扭轉變形時軸段的扭轉剛度(N.mm/rad)；

R —曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉半徑 (mm)。

1.3 軸類零件扭轉阻尼的確定

軸類零件的扭轉阻尼主要是材料阻尼，根據H.H.Lin和C.Lee等的分析，其扭轉阻尼可根據下式進行計算：

式中ks—軸類零件的扭轉剛度 (N.m/rad)；

ξs—軸類零件的扭轉阻尼系數，根據D.R.Houser等的實驗研究

J1J2—分別為軸類零件兩端慣性元件的轉動慣量(kg.m2)。

在按照上述公式將各軸的剛度和阻尼轉換到輸入軸上后,根據該減速器各元件的實際尺寸計算得到表2和表3的數值。

表2 各彈性元件的等效剛度(N.mm/rad)

表3 各彈性元件的等效扭轉阻尼(N.mm.s/rad )

2.系統扭轉振動數學模型的建立

2.1 扭轉系統中慣性元件的數學模型

圖3為慣性元件的力學模型,Jj為元件轉動慣量, fj為外加激振力矩,兩端與相鄰元件的連接點分別為 jL和jR,作用于該元件左右兩端的扭矩與扭角分別為

圖3 慣性元件的力學模型簡圖

2.2 系統扭振數學模型的建立

圖3中所示的諧波傳動系統是由十四個二端元件組成,七個慣性元件和七個彈性元件,利用傳遞矩陣的原理,建立系統的扭振數學模型。將圖中十四個元件從左到右依次編號為，則其各個二端元件的數學模型分別為：

方程(19)為一個累積矩陣的數學模型。用它可以對扭振系統進行計算、分析和評價，也可以進行系統的修改和優化設計。3.扭振動力學分析

利用前面建立起來的減速器系統的動力學模型對減速器系統進行扭振分析。

本文采用數值法編制MATLAB程序對其進行迭代求解，流程圖如圖4所示。另外，利用該程序還繪制出了減速器系統的振型曲線，如圖5所示。由振型曲線圖可以看出5～6之間振幅劇增，即此環節最弱,主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可。通過適當增大軸的直徑或減小其長度可以提高其扭轉剛度。本文將軸頸增大2mm后得到新的振型如圖6所示。

圖4 固有頻率求解流程圖

圖6 調整后的振型曲線

4.小結

為了保證減速器具有良好的動態性能必須對減速器進行動力學分析。根據集中參數法將減速器的各個零件簡化成相應的慣性元件和彈性元件，建立了減速器系統的動力學模型。同時，根據能量守恒定理將各慣性元件和彈性元件轉換到輸入軸上，進一步得到了適于用傳遞矩陣法進行動力學分析的等效動力學模型。在建立起慣性元件和彈性元件動力學數學模型的基礎上，利用傳遞矩陣法建立了減速器系統的動力學數學模型。利用所建立的動力學模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動，得到了該系統的固有頻率和各階振型等動態特性參數，結果表明，該裝置具有良好的動態特性，非常適合用于空間機械臂傳動及其他精密機械傳動中。

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Attention to the dynamics of mechanical structure system to study the mechanical system in the state of the actual work force change, movement and their dynamic behavior to meet the mechanical structure of static and dynamic characteristics and low vibration and low noise requirements. Therefore, it is necessary to the design of the gear torsional vibration analysis system, find the weak link of the dynamic characteristics, dynamic structure for the further optimization of design to improve the dynamic performance of gear to provide a theoretical basis.

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.19.051