材料力學中應力計算公式的教學探討

顧云風 南京林業大學機械電子工程學院 210037

材料力學中應力計算公式的教學探討

顧云風 南京林業大學機械電子工程學院 210037

從超靜定問題的角度，通過平截面假設將軸向拉壓、扭轉和彎曲的應力計算公式聯系起來，最后給出一個統一計算公式，并且利用量綱分析的方法幫助學生理解掌握材料力學中的應力計算的概念。

材料力學；平截面假設；應力；教學方法

引言

材料力學是固體力學的一個分支，主要研究桿件在載荷作用下的強度、剛度和穩定性等問題。這一課程是機械、土木、水利和交通等領域的一門重要的技術基礎課，往往是許多工科學生的必修課。很多學生是從這門課開始接觸了力學中的一些比如應力、應變等基本概念的，初步了解現代力學到底是干什么的。雖然材料力學在固體力學中是最基礎的，相對比較簡單，但是教學實踐發現學生掌握的情況普遍不太理想。許多工科學生的理論功底是比較薄弱的，特別是那些在高中沒有系統學習物理的學生。另外現在很多大學中的力學課程的課時安排又很緊張。這些因素導致有些學生覺得材料力學內容繁雜，概念難以理解，公式不易記住并熟練運用。

筆者認為對力學公式進行孤立的機械記憶效率相當底下。整個力學是一個完整的體系，其中不同地方的內容都是有密切聯系的。應該在深刻理解每一個定理公式背后的物理含義的基礎上，了解它們之間內在的關系，只有這樣才能融會貫通。考慮到這一點，在教學過程中應該注意經常回顧比較不同的知識點。本文以材料力學中幾種基本變形的應力計算公式為例，分析這些概念內在的異同點。

1 桿件橫截面上的應力計算公式

強度問題是材料力學中的一類比較重要的問題。而計算這一問題必須涉及桿件中應力的計算。從本質上講，這里的應力計算問題都是超靜定問題。比如圖1(a)中的軸向拉伸問題中，靜力平衡方程只能求出軸力 (分布內力系的靜力等效結果)，而無法求出橫截面上各處的應力大小。

材料力學對這個問題的分析并不采用像彈性力學那樣的嚴格的解析求解方法，而是借助于一些簡單的假設。對于橫截面上的應力計算問題，這一假設就是平截面假設——桿件變形以后橫截面仍然保持為平面。超靜定問題的求解需要用到三方面的關系：靜力平衡關系、幾何關系和物理關系。平截面假設提供了幾何關系。對圖1(a)中的軸向拉伸問題，根據平截面假設，桿件兩個橫截面間的所有縱向纖維的伸長是相同的，即變形在橫截面上是均勻分布的。因為材料力學一般只考慮均勻材料，所以橫截面上各處的物理關系是相同的。綜合考慮幾何關系和物理關系，可知軸向拉伸桿橫截面上的應力是均勻分布的。由此可以用軸力FN和橫截面面積A表示軸向拉伸桿橫截面上的正應力

圖1

對于圓截面扭轉問題，幾何關系仍然是平截面假設——變形前為平面的橫截面，變形后仍然為平面，形狀和大小不變，半徑保持為直線，不同橫截面只是間距不變地繞軸線發生相對轉動。這一幾何關系表明扭轉時橫截面上的變形大小是與到圓心的距離成正比的。這里材料的物理關系在各處仍然是相同的。由此可知橫截面上的切應力τ如圖1(b)所示沿半徑線性分布。最后結合靜力平衡關系，可以得到橫截面上的切應力

此處T、Ip和ρ分別為扭轉時的內力（扭矩）、橫截面對圓心的極慣性矩和到圓心距離。

對于梁的純彎曲問題，作為幾何關系的平截面假設指出變形前為平面的橫截面在梁彎曲變形后仍然保持為平面，并且仍然垂直于變形后的軸線。基于這一假設，兩個橫截面之間的縱向纖維的長度變形是沿著梁的高度線性變化的，進一步考慮到材料的物理關系在各處相同，可以推出梁的橫截面上的正應力如圖1(c)所示是按直線規律變化的。最后加上靜力平衡關系，可以得到應力計算公式

此處M、Tz和y分別為彎曲時的內力（彎矩），橫截面對中性軸的慣性矩和到中性軸的距離。

通過將式（1）到（3）的這三個公式比較可以發現應力計算公式可以統一改寫為

其中的“橫截面上內力”對于軸向拉壓、扭轉和彎曲分別是軸力FN、扭矩T和彎矩M。“橫截面幾何參數”代表不同基本變形對應的一種特征的橫截面幾何性質。軸向拉壓對應的是零次矩，即橫截面面積A；扭轉是對圓心的二次矩，即極慣性矩IP；彎曲是對中性軸的二次矩，即軸慣性矩Iz。

“應力分布參數”取決于作為幾何關系的平截面假設和物理關系。由前面的分析可知，軸向拉壓時，這一參數可以看成是“1”，表示應力均勻分布。扭轉和彎曲時，“應力分布參數”分別是ρ和y，表示應力在橫截面上的線性分布特征。

“應力分布參數”也可以用量綱進行分析幫助記憶。以[M]和[L]分別表示質量和長度的量綱。軸向拉壓的內力FN除以橫截面幾何參數A后，量綱為[M][L]-2，正好是應力的量綱，所以式（1）中的“應力分布參數”是一個無量綱量。對式（2）和式（3）進行分析發現，“應力分布參數”必須是一個具有長度量綱的參數。

2 結束語

本文從超靜定問題的角度分析了材料力學中軸向拉壓、扭轉和彎曲這些基本變形中桿件橫截面上應力計算公式的內在的邏輯聯系。本文利用平截面假設這一幾何關系將這些概念聯系起來，并且用一個統一的公式表示應力計算公式，另外提出量綱分析的方法幫助學生記憶。教學實踐證明這種方法可以有效地幫助學生深入理解材料力學的基本概念。

[1] 劉鴻文. 材料力學[M]. 北京:高等教育出版社.2008

[2] 孫訓方. 材料力學[M]. 北京:高等教育出版社.2002

顧云風，男，江蘇省南京市南京林業大學機械電子工程學院講師，碩士，研究方向：固體力學。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.09.157