中子星中簡并電子氣體的臨界磁化*

王兆軍 呂國梁 朱春花 張 軍

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，西安 710049)2)(新疆大學(xué)物理學(xué)院，烏魯木齊 830046)(2010年3月13日收到;2010年7月15日收到修改稿)

中子星中簡并電子氣體的臨界磁化*

王兆軍1)2)呂國梁2)朱春花2)張 軍1)2)

1)(西安交通大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，西安 710049)2)(新疆大學(xué)物理學(xué)院，烏魯木齊 830046)(2010年3月13日收到;2010年7月15日收到修改稿)

中子星內(nèi)部的電子處于高度簡并或完全簡并的狀態(tài)，電子磁矩(包括內(nèi)稟磁矩和朗道反磁矩)的取向不是隨機(jī)的，而是呈現(xiàn)出極強的磁化行為.考慮了磁化后的磁誘導(dǎo)方程要改寫，改寫后的方程添加了新的磁場生成項，更重要的改變是等效磁擴(kuò)散系數(shù)變小了(順磁情況)，在臨界情況(等效擴(kuò)散系數(shù)等于零)，磁場在磁生成項的作用下增加直到抑制機(jī)理出現(xiàn)，朗道反磁矩就是在這個時候變得越來越重要.磁場增加的最終結(jié)果使中子星局域磁場成為振蕩的，對外看來有可能成為磁星.

中子星，簡并，磁化

PACS:97.60.Jd，95.30.Qd

1.引 言

中子星因其極端的物理狀態(tài)而成為地面實驗難以涉及的非凡實驗室.中子星內(nèi)部接近或超原子核的物質(zhì)密度(～1015g·cm－3)使相對論效應(yīng)顯著起來，在此致密條件下，電子、質(zhì)子、中子等費米系統(tǒng)成為簡并或完全簡并的.在中子星固體外殼的內(nèi)殼層，電子成為超相對論的完全簡并系統(tǒng);而在中子星內(nèi)殼以下的流體中，類似于金屬電子的BCS超導(dǎo)電性，質(zhì)子具有超導(dǎo)電性，中子形成超流體.正是由于這種超流、超導(dǎo)相的存在，轉(zhuǎn)動中子星內(nèi)部大量存在量子化的渦絲和磁通管［1—3］，它們的狀態(tài)(面密度、運動速度等)和作用比較成功地解釋了在某些年輕中子星中觀測到的頻率躍變和躍變后的弛豫等現(xiàn)象［4—6］;在中子星的核心區(qū)域，物質(zhì)成分還不是很清楚，奇異性物質(zhì)(如超子物質(zhì)或奇異夸克物質(zhì))的存在幾乎是必然的，甚至有奇異性物質(zhì)構(gòu)成的奇異星存在［7］.

中子星所特有的另一極端條件是極強(～1012G)或超強(～1015G)磁場的存在(1 G=10－4T).射電脈沖星自轉(zhuǎn)減慢的觀測與磁偶極模型［8—10］的幾乎一致性提供了估計中子星磁場的一般方法，這些射電脈沖的輻射能量主要來自于轉(zhuǎn)動能，用此方法觀測到的1800多顆脈沖星中［11］，絕大多數(shù)的表面磁場在1011.5G至1013.5G的范圍，轉(zhuǎn)動周期在1.5 ms和 8 s之間［12］.近年來，隨著 Newton，Chandra等 X和γ射線望遠(yuǎn)鏡的升空，一些反常X射線脈沖星(AXP)和軟 γ 射線復(fù)現(xiàn)源(SGR)被相繼發(fā)現(xiàn)［13，14］，它們被確定為同類天體(磁星)中的兩種存在形式［15］，周期范圍是 5—11 s，自傳減小率都很大，按照磁偶極輻射模式推算出來的磁場在1014—1015G范圍，接近或超出了臨界磁場的強度(電子在磁場中的回轉(zhuǎn)能等于靜止能)BQ≡m2ec3/(eh)=4.414×1014G.這些磁星都是孤立中子星，能量損失主要來自于磁場導(dǎo)致的熱輻射和高能射線爆發(fā)［16］.高分辨率的X射線望遠(yuǎn)鏡還發(fā)現(xiàn)了7個具有黑體輻射特征的孤立中子星，被稱為 TheMagnificent Seven［17］，其重要性表現(xiàn)在提供了測量中子星半徑和質(zhì)量的可能，進(jìn)而可推算現(xiàn)在還不清楚的中子星內(nèi)核的物態(tài)方程.除此之外還發(fā)現(xiàn)這些中子星的溫度分布不是均勻的，證實了由強磁場導(dǎo)致的熱、電輸運的各向異性及中子星表面磁場的非簡單偶極性.其他觀測結(jié)果如子脈沖漂移［18］、頻率躍變［19］、X射線譜中回旋線和各種磁層輻射等都受磁場的強烈影響.

中子星磁場尤其是磁星的起源一直都是頗具爭議的問題.化石場理論認(rèn)為從原始恒星向中子星演化的過程中磁通量是守恒的，忽略演化過程中發(fā)生的各種湍流導(dǎo)致的磁發(fā)電機(jī)效應(yīng)顯然是不符合實際的，Ⅱ型超新星的原始大質(zhì)量恒星中的核就是對流的.況且，具有最強磁場(～106G)的白矮星［20］塌縮成中子星后其磁場也只能達(dá)到1011G.考慮了原始中子星的磁發(fā)電機(jī)效應(yīng)后，Thompson和Duncan認(rèn)為中子星原始相(塌縮、對流等運動停止，物質(zhì)處于無超流的正常液態(tài))的磁場可達(dá)到1016G［21］.接下來的磁場演化可能會經(jīng)歷一系列的相變過程［22］，最早出現(xiàn)的是磁流體動力學(xué)(MHD)不穩(wěn)定相［23］，穩(wěn)定后的磁場依賴于中子星的轉(zhuǎn)動速度和磁場與轉(zhuǎn)軸的夾角.若轉(zhuǎn)動周期小于6 ms，夾角小于45°磁星將會出現(xiàn).另一種可能形成磁星的相出現(xiàn)在熱-電不穩(wěn)定相中，溫度梯度的存在導(dǎo)致熱能轉(zhuǎn)變?yōu)榇拍埽?4］，但磁場也難以達(dá)到1013G以上的量級.

上述關(guān)于磁場演化的理論不能很好地解釋磁星磁場的形成，彭秋和等人考慮了具有內(nèi)稟磁矩和朗道反常磁矩的電子簡并系統(tǒng)的磁化及各向異性中子超流(3P2)的磁化對中子星磁場的影響［25］.我們卻發(fā)現(xiàn)，在原始中子星后的演化過程中，隨溫度的降低，簡并電子系統(tǒng)的磁化將扮演重要角色.一方面，物質(zhì)分布的層次性使得中子星內(nèi)部磁化不均勻，導(dǎo)致新的磁場誘導(dǎo)項產(chǎn)生;另一方面，順磁化的電子系統(tǒng)相當(dāng)于減弱了磁場的擴(kuò)散，從而會出現(xiàn)等效擴(kuò)散系數(shù)等于零的臨界情況，在中子星磁場演化過程中增加了新的相變可能.隨擴(kuò)散的減弱，誘導(dǎo)項將磁場變得越來越大，強磁場下的 de Hass-Van Alphen不穩(wěn)定性［26］可能出現(xiàn)，但對外看來中子星可能成為磁星.

2.磁化等離子體系統(tǒng)的磁誘導(dǎo)方程

按經(jīng)典磁流體動力學(xué)理論，完全電離的等離子體磁場的演化滿足誘導(dǎo)方程

其中，U表示流體運動速度;J代表流體中的傳導(dǎo)電流(電子相對離子運動產(chǎn)生的電流，由等離子體內(nèi)的電場驅(qū)動);μ0為真空磁導(dǎo)率;η =(μ0σ)－1為流體的磁擴(kuò)散系數(shù)，而σ是導(dǎo)電系數(shù).按 Spitzer等人的計算［27］，磁擴(kuò)散系數(shù)的計算公式為

式中l(wèi)nΛ≈5—20是庫倫對數(shù).(1)式右邊兩項分別代表磁場的生成項和擴(kuò)散項，其相對重要性可由磁雷諾數(shù)

來確定.對一般天體而言，磁雷諾數(shù)遠(yuǎn)大于1，例如中子星，u ～ 106cm·s－1，l～ 106cm，T ～ 108K，Rm～1014.因此，若不考慮等離子體成分的內(nèi)稟磁矩，在不穩(wěn)定等離子體中的磁擴(kuò)散可以忽略，此時的磁場是凍結(jié)在流體中的.

實際等離子體各成分具有內(nèi)稟磁矩，像電子、中子、質(zhì)子等亞原子粒子具有各自的磁矩，但電子磁矩是中子、質(zhì)子磁矩的近千倍，在三者同時存在的情況下，通常只考慮電子的磁化.在外磁場作用下流體會被磁化，相應(yīng)的誘導(dǎo)方程(1)應(yīng)該改寫.具有磁化的安培定律微分形式為

式中M是流體內(nèi)的磁化強度(即單位體積的磁偶矩)，在非迅變情況，可以忽略位移電流.將(4)式代入(1)式得到

上方程右邊前兩項為誘導(dǎo)項，第1項包括流體的平流、拉伸、壓縮等運動［28］導(dǎo)致的磁場產(chǎn)生，即流體機(jī)械運動產(chǎn)生的磁發(fā)電機(jī)效應(yīng).第2項則為流體磁化引起的磁場生成項，在原來的誘導(dǎo)方程中沒有這一項.誠然，多數(shù)情況中，等離子體的溫度很高，磁場較弱(kT μeB，k為玻耳茲曼常數(shù)，μe為玻爾磁子)，這一項的貢獻(xiàn)幾乎為零.在像中子星這樣的極端天體中，電子是完全簡并的，熱效應(yīng)相對來說非常小，磁場又是非常強的，所以磁化效應(yīng)不能忽略，甚至對磁場的演化起至關(guān)重要的作用，這正是本文要考慮的誘導(dǎo)機(jī)理.

在下一節(jié)的討論中將會看到，磁化強度與磁場的關(guān)系不再是理想磁介質(zhì)的線性關(guān)系，但仍可寫成M=χB的形式，這里的χ是與等離子體狀態(tài)(密度、溫度等)及磁場有關(guān)的系數(shù)，定義為磁化系數(shù).重要的是:由完全決定磁場行為的磁感應(yīng)強度B取代了常見情況中外磁場的磁場強度H，這是因為通常情況下磁介質(zhì)只是被外場單方面的磁化而忽略了磁化介質(zhì)對外磁場的反作用.將M=χB代入(5)式并進(jìn)行矢量運算后得到誘導(dǎo)方程的形式為

上方程右端的前3項為誘導(dǎo)項，其中，第1項為凍結(jié)項，表示磁力線被凍結(jié)在流體質(zhì)點上.第2，3項代表由于磁化系數(shù)的梯度導(dǎo)致的新的磁力線生成項.最后1項仍為磁擴(kuò)散項，但擴(kuò)散系數(shù)等效為

上式表明，磁場的擴(kuò)散性質(zhì)因磁化而變化，但常規(guī)磁介質(zhì)的χμ0(～10－5)很小，磁化對磁擴(kuò)散的影響可以忽略.當(dāng)磁化系數(shù)增加到臨界值(χcμ0=1)時擴(kuò)散趨于零，磁場演化過程中的新相出現(xiàn)了，新相中的誘導(dǎo)項在適當(dāng)條件下可能使磁場快速增加.例如，均勻磁介質(zhì)中的梯度誘導(dǎo)項為零，處于新相的等離子體磁場凍結(jié)在流體中，隨流體的壓縮、較差轉(zhuǎn)動和湍流等運動增加磁場.若流體內(nèi)部這些相對運動停止，溫度逐漸降低時，第一誘導(dǎo)項消失，但滿足適當(dāng)條件的磁化系數(shù)梯度和初始磁場也會誘導(dǎo)出新的磁場.作為后一種情況的例子，考慮磁化系數(shù)梯度和初始磁場滿足如下的條件:在笛卡爾坐標(biāo) 中，ημ0Δ χ=(0，sx，0)和 B0=(B0，0，0)(s，B0均為常數(shù))，代入(6)式中后解出的磁場將隨時間增加為 B=(1，st，0)B0.磁誘導(dǎo)方程一般解的討論將是非常復(fù)雜的問題，還需要進(jìn)一步的研究.

μr=1/(1 － μ0χ)是相對磁導(dǎo)率.當(dāng) χμ0→1時，相對磁導(dǎo)率越來越大，磁場將變得越來越強，這是地球?qū)嶒炇抑须y以見到的情況，只有在致密天體中才有可能出現(xiàn)這種臨界磁化現(xiàn)象.

3.中子星簡并電子系統(tǒng)的磁化

根據(jù)上一節(jié)的討論，在大質(zhì)量恒星塌縮形成中子星的過程中，原始磁場是被凍結(jié)在星體內(nèi)等離子體中的，這種磁場可以等離子體傳導(dǎo)電流作為載體，也可無載體而存在.按磁通量守恒，可以估算這種化石場的大小為

式中，Rcore～(105—106)km是超新星爆發(fā)前的星核半徑，B*是它的磁場(通常小于103G);RNS～10 km是中子星典型半徑.這部分磁場雖然難以超過1013G，但它作為電子系統(tǒng)的誘導(dǎo)場可以使其磁化，磁化場與誘導(dǎo)場的總場構(gòu)成了中子星的表面觀測場.在接下來討論中子星電子系統(tǒng)的磁化場時，我們假設(shè)化石場不再演化，即磁化場不反作用于化石場，這實際是近似結(jié)果.

電子自旋可描述成S= σ/2，|σ|=1，σz=±1.電子的內(nèi)稟磁矩為μe=－μeσ，式中μe為玻爾磁子(μe=9.27 × 10－24JT－1).處于磁場中的電子氣體會被磁化，在弱場條件(μeB ψ，并且μeB≤kT，詳見下面的討論)下，磁化由兩種獨立成分構(gòu)成，一是由于電子內(nèi)稟磁矩在外磁場中的順向分布(泡利順磁性)［29］;二是由于在外場中電子軌道運動量子化引起的反磁部分(朗道反磁性)［30］.下面分別計算簡并電子氣體的兩種磁化效應(yīng).

3.1.簡并電子氣體的順磁性

電子氣體分布服從費米-狄拉克統(tǒng)計式中 β=1/(kT)，ε是單電子的能級(去掉靜止能)，ψ為氣體的化學(xué)勢.在磁場中電子能量要附加一項 ±μeB，前面的符號分別對應(yīng)于自旋在場中的兩個分量.此時電子分布規(guī)律同(10)式，只是將能量ε替換為ε±μeB而已.這種替換相當(dāng)于能量不變，而化學(xué)勢ψ變成ψ μeB，巨勢相應(yīng)地變成

式中，T和V分別代表系統(tǒng)的溫度和體積，Ω0(T，V，ψ)為無磁場時的巨勢，每項的因子1/2表示兩種自旋分量各貢獻(xiàn)一半的的巨勢.當(dāng)弱場條件μeB ψ滿足時，上式可寫成泰勒級數(shù)形式

因此，弱場條件下的磁化系數(shù)為

其中n為電子數(shù)密度.中子星具有自然界中物質(zhì)量跨度最大的電子費米系統(tǒng)，殼層的電子數(shù)密度從天然金屬的1028m－3到核密度時的1043m－3數(shù)量級，電子分布從正常玻爾茲曼分布到完全簡并的費米分布，運動狀態(tài)也從低速過度到完全相對論的運動情形.下面討論幾種特殊情形下中子星殼層的磁化系數(shù).

在殼層的最外部區(qū)域，電子數(shù)密度 n～1028m－3，溫度在T ～106K以上，代入簡并參數(shù)公式［31］

得A～10－71，所以電子氣體是非簡并的.理想氣體的化學(xué)勢為ψ=kT(φ(T)+lnp)，利用理想氣體的狀態(tài)方程可求出，代入(14)式得磁化系數(shù)為

上式就是熟知的居里定律.將相應(yīng)的數(shù)值代入得μ0χn～ 7.7 × 10－8，這個值遠(yuǎn)小于臨界值 1，也遠(yuǎn)小于普通磁介質(zhì)的磁化系數(shù)(10－5量級).因此，該區(qū)域內(nèi)電子的磁化對中子星磁場的影響可以忽略.

當(dāng)電子數(shù)密度達(dá)到白矮星的典型密度1036m－3時，簡并參數(shù)A～10，電子氣體處于高度簡并狀態(tài)，此時的化學(xué)勢可用完全簡并的費米能近似.完全簡并的費米動量為

非相對論情形下的費米能

將白矮星的參數(shù)代入上式，其費米能近似為 εF～0.5×10－13J，電子的靜止能為 ε0=mec2，約為1×10－13J，兩者雖為相同數(shù)量級，但相對論效應(yīng)還不具壓倒性優(yōu)勢，化學(xué)勢仍可用(18)式的非相對論公式計算.結(jié)合(14)和(18)式可計算完全簡并、非相對論情形下電子氣體的磁化系數(shù)，

其數(shù)值近似為 μ0χd～2.7×10－3，比普通磁介質(zhì)高近兩個數(shù)量級，仍遠(yuǎn)小于臨界值1，磁化效應(yīng)也不是太明顯.

但在中子星內(nèi)固體殼層，物質(zhì)密度接近原子核密度，雖然粒子成分富含中子，但仍有大量的質(zhì)子和電子.按Douchin等人對中子星結(jié)構(gòu)的計算［3］，固體殼層、特別是內(nèi)殼層的電子是極端相對論的，費米能和化學(xué)勢為

結(jié)合(13)和(19)式可計算此時電子氣體的磁化系數(shù)，

若質(zhì)子分?jǐn)?shù)在中子滴出原子核前按Z/A=0.36計算，磁化系數(shù)達(dá)到臨界值時的質(zhì)量密度大約是2.4×1010g·cm－3.因此中子星內(nèi)殼層(3.4×1011g·cm－3< ρ<1.3 ×1014g·cm－3)的磁化系數(shù)已超出臨界值.表1根據(jù) Douchin等人的內(nèi)殼層結(jié)構(gòu)給出了電子氣體的順磁化系數(shù).

表1 中子星固體內(nèi)殼結(jié)構(gòu)和電子氣體的順磁化系數(shù)

上表中Z代表原子核中的質(zhì)子數(shù);A是質(zhì)量數(shù);Xn是滴出原子核外的中子分?jǐn)?shù);ne為電子數(shù)密度.實際的順磁系統(tǒng)早在達(dá)到如此大的磁化系數(shù)以前就已經(jīng)處于磁不穩(wěn)定狀態(tài)了.因此，這種順磁系統(tǒng)的磁化是要考慮相變的.上面磁化系數(shù)的計算表明，在中子星固體殼層(尤其在內(nèi)殼層)，電子氣體的順磁化可以達(dá)到臨界值，使得由恒星塌縮保留下來的磁場被很快放大，當(dāng)磁場超過某一范圍時，其他機(jī)理使磁化偏離臨界點并將磁場穩(wěn)定下來或在平均值附近震蕩［26］，朗道反磁性就是一種重要的抑制順磁增長的機(jī)理.

3.2.簡并電子氣體的反磁性

朗道反磁性是電子軌道運動在外磁場作用下其軌道量子化引起的磁性.在外場中電子做軌道運動的朗道能級［33］是

式中pz是電子沿磁場方向的動量.也就是說，電子在xy面內(nèi)的運動是量子化的，沿z方向的運動是連續(xù)的.在xy面內(nèi)運動能級是簡并的，簡并度是

對給定的量子數(shù)j和dpz，能級簡并度數(shù)是

因子2來自于自旋的兩個取向.系統(tǒng)的巨勢為

(24)式變?yōu)?/p>

在上面的求和表達(dá)式中，若相鄰兩項的差值很小(也就是在μeB kT的條件下)，求和可用積分近似(歐拉公式)計算，

將(28)式應(yīng)用到(27)式中，可以得到

第1項中不包含B，它是電子系統(tǒng)在無磁場時的巨勢 Ω0(ψ).因此

由此可計算出磁化系數(shù)為

所以，在弱場條件下，電子軌道運動量子化產(chǎn)生的磁矩確實起到抑制順磁化的作用，但總磁化效仍應(yīng)是順磁的.處于高度簡并的電子態(tài)不是經(jīng)典的軌道運動，而是相對論的零點運動，在超強磁場 ω≥mc2(ω為回旋角頻率)中，電子的橫向運動成為相對論的，能量量子化問題須解相對論的狄拉克方程方可得到電子的量子化能級、軌道角動量和磁矩［34］，進(jìn)而研究氣體的磁化問題，詳細(xì)的研究留到以后進(jìn)行，但可以肯定的是軌道磁矩對內(nèi)稟磁矩磁化具有的抑制作用，從而使得總磁化難以超過臨界值，表1中的磁化系數(shù)超出臨界值就是沒有考慮抑制作用的結(jié)果.

中子星內(nèi)殼層中的電子就是處于高度簡并的電子態(tài)，實際情況變得很復(fù)雜.首先，電子系統(tǒng)的順磁和反磁化不是相互獨立的，而應(yīng)當(dāng)綜合起來考慮［35］;其次，在中子星內(nèi)殼層，費米面上電子沿磁場方向的運動應(yīng)是極端相對論的;最后，中子星的磁場一般不能當(dāng)作弱磁場，在超強磁場下電子橫向運動成為相對論的，在強磁場情況(μeB≥kT)下，電子系統(tǒng)的磁化很可能會出現(xiàn)在地面實驗室中觀察到的 de Hass-Van Alphen效應(yīng)［26］，在中子星內(nèi)部電子密度最大的某些區(qū)域，磁化會出現(xiàn)震蕩行為，但在震蕩區(qū)域外，不同區(qū)域磁化場疊加的結(jié)果，可能會出現(xiàn)觀測到的強的或超強的磁場，其值應(yīng)正比于(kT/μe)α，α為待定參數(shù)，這就能解釋為什么會在年輕中子星(溫度較高)中有磁星存在.詳細(xì)討論將在下一篇文章中進(jìn)行.

4.結(jié) 論

強磁場中的電子攜帶一定的磁矩(內(nèi)稟磁矩和軌道磁矩的矢量和)，在中子星的致密條件下，熱運動效應(yīng)相對較弱，電子狀態(tài)近似處于完全簡并態(tài)，磁場作用下的磁矩分布不再是隨機(jī)的，而是呈現(xiàn)出電子海被磁化的行為.磁化后的中子星磁場演化具有一些微妙的變化，突出表現(xiàn)在一種新的磁場相變的出現(xiàn)，相變后的磁場長程相關(guān)，強度會顯著放大.多種效應(yīng)的作用導(dǎo)致磁場不能無限增長，一是磁耗散的存在;二是強磁場狀態(tài)(μeB≥ kT)下的非穩(wěn)定行為;三是誘導(dǎo)方程(6)式中的非線性，隨磁場的增加，磁化強度關(guān)于磁感應(yīng)強度的高級展開項不能忽略.包括這些作用在內(nèi)的所有其它作用使部分中子星對外呈現(xiàn)磁星行為.

感謝南京大學(xué)彭秋和教授的指導(dǎo)及有益的討論.

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Critical magnetization of degenerate electronic system in neutron star*

Wang Zhao-Jun1)2)Lü Guo-Liang2)Zhu Chun-Hua2)Zhang Jun1)2)
1)(School of Science，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China)2)(School of Physics，Xinjiang University，Urumqi 830046，China)(Received 13 March 2010;revised manuscript received 15 July 2010)

Degenerate electronic Fermi system with intrinsic(spin)magnetic moment and Landau diamagnetic moment of the electrons in a neutron star interior is magnetized.Taking the magnetizing effect into consideration，the magnetic induced equation must be changed:the resulting equation has an additional magnetic induction term and a magnetic diffusion coefficient that is different from the original one for plasma.When effective magnetic diffusion coefficient equals critical value(zero)the fully degenerate electronic system approaches a new phase.In this phase，the magnetic field of neutron star will become very large until other mechanisms suppress the increasing of the field in the neutron star lowered crust.For a stable or de Hass-Van Alphen oscillatory state，it is possible for the neutron star to become a magnetar.

neutron star，degeneracy，magnetizing

.E-mail:xidxwzj@sohu.com

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:10963003)資助的課題.

.Email:wzj@xju.edu.cn.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10963003).

PACS:97.60.Jd，95.30.Qd