一個八階收斂的修正牛頓法

許長勇，肖志華，沈栩竹

（云南大學 數學與統計學院，云南 昆明 650091）

非線性方程的數值解法一直都是非線性科學的一個重要課題。經典牛頓迭代法（CN[1]）是非線性方程求根的基本方法，二階收斂到單根。牛頓法因收斂速度快而得到廣泛應用，也備受學者的重視，近年來很多文獻中提出各種修正的牛頓法。Chun提出四階收斂到單根的兩步修正牛頓法（MCN4[2]）；通過對四階收斂的算法增加一步迭代，Chun和Ham提出六階收斂的修正牛頓法（MCN6[3]），Kou、Wang和Li提出七階收斂的修正牛頓法（MCN7[4]）。在此基礎上，本文運用導數和均差的性質，提出一個新的八階收斂的修正牛頓法。

1 算法構造

為方便表述，首先給出一些相關預備知識。

定義1[1]設迭代過程

收斂于方程

的根*x，如果迭代誤差

當n→∞時成立下列漸進關系式

稱該迭代過程是p階收斂的，稱

為誤差方程。

定義2[4]稱 p1/d為算法的效能指數，其中p表示迭代算法的收斂階，d表示每步迭代所需要的計算。

定義3[5]稱

為函數 f(x)關于點x0，x1的一階均差。

為函數 f(x)的二階均差。

一般地，稱

為函數 f(x)的k階均差。

特別地，

下面構造一個新的八階收斂的修正牛頓法。

將 f(x)在yn處作泰勒展開，可得：

令 x= zn，可得：

由(3)得：

將(5)代入(4)，可得：

為避免計算二階導數，考慮如下近似關系：

將(7)代入(6)，可得：

即得到一個新的算法（MCN8）：

2 收斂性分析

定理1設ξ是充分光滑函數

證明不妨設

并記

將 f ( xn)，f'(xn)和 f ( yn)在ξ處作泰勒展開，并考慮 f(ξ)=0，可得

由(9)-(12)得：

從而

由(15)-(19)得：

即證得由迭代格式(8)所得的序列{ xn}是八階收斂的。

注衡量一個迭代算法優劣除了考察收斂階外，還要考察其算法的效能指數。本文算法（MCN8）的效能指數為，顯然高于

3 數值試驗

為檢驗本文算法（MCN8）的效率，分別用CN，MCN6，MCN7和MCN8來解下列常用的測試函數方程[3,4]：

從初始值x0開始迭代，用經過同等函數計算個數（TNFE）運算后的值作為標準，來說明新算法的有效性。所有結果都是在Matlab 7.0的環境下操作，計算結果如表1所示。

表1 不同迭代法的比較表（函數計算個數總和均為12）

由數值試驗可見，新算法（MCN8）具有收斂速度快，精確效果好的特點，故較其他算法具有一定的優越性。

注 在數值試驗中，MCN6為文獻[3]的式(12)在選取

的情況下所得到的算法；MCN7為文獻[4]的式(8)在選取α =1的情況下所得到的算法。

4 結論

提出了一個新的八階收斂的修正牛頓法，理論分析和數值試驗表明新算法是一種較優的求解非線性方程的方法。