矩陣變換的若干應用

向 偉

（重慶師范大學 數學學院，重慶 400047）

矩陣是代數特別是高等代數的主要研究對象。當今國內外有許多學者致力于這方面的研究并且取得了一定的成就。他們均是站在數學發現和發展的高度，分別從矩陣的初等變換概念、性質及矩陣的初等變換在研究矩陣的行列式、秩、特征值和特征向量、求矩陣的逆（包括λ矩陣的逆）、求向量組 a1,a2,… ,as的極大無關組、求標準正交基、求解矩陣方程與線性方程組等方面的應用，還對得出的這些結論作了系統的證明。本文探討矩陣初等變換在多項式方面和向量組方面的應用。

矩陣A的初等變換是指對矩陣實施以下三種變換：

（ⅱ）用一個不為零的數k乘矩陣A的某一行（列）的所有元素（用k×ri表示用k乘第i行，用 k× ci表示用k乘第i列）；

（ⅲ）把矩陣A的某一行（列）的所有元素的k倍加到另一行（列）的對應元素上去（用 ri+k×rj表示將第 j行乘以k再加到第i行，用 ci+ k × cj表示將第j列乘以k再加到第i列）。

文中所涉及到的矩陣的乘法和加法都假定是可乘和可加的。

1 在多項式中的應用

引理1若，則

即，若

則

由此可見，對多項式矩陣

施行初等行變換，不會改變f(x)，g(x)的最大公因式，且當多項式矩陣

經初等行變換化為

就轉化為“系數矩陣”

于是，對

施行一次初等行變換消去f(x)的最高次項，相當將矩陣

的第二行乘以 - an/bm后向左移動n-m位加到第一行（稱為錯位初等行變換）。

引理2若

則

與

對應的多項式的最大公因式相同。

綜上所述，可得用矩陣的初等變換求兩個多項式f(x)，g(x)的最大公因式的方法：

（1）給出多項式矩陣

對應的 “系數矩陣”

（2）對A施行錯位初等行變換，當前面若干列全為 0時，可將這些列去掉，直到將其化為

的形式為此。

（3）d (x ) = csx5+…+ c0即為多項式 f (x),g(x)的一個最大公因式。

例 1求 f(x) = 3 x3- x2- x -1， g(x) = 6 x4+ 4 x3+ 5x2+2x+1的最大公因式。

解作它們的系數矩陣

對A施行錯位初等行變換

故d(x)=3x2+ 2x +1為所求的一個最大公因式。

也可將這種方法推廣到求多個多項式的最大公因式的問題上去。

例2求的最大公因式d(x)。

解

定理1設多項式矩陣

經過初等行變換化為

則d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，且d(x)為 f(x)與g(x)的最大公因式。

定理2設多項式矩陣

經過初等行變換化為

例 3設 f(x)=x3+x2， g(x) = x2+ 2 x+1，求它們的最大公因式d(x)，并求出u(x)，v(x)，使得d(x)=

解構造矩陣

并作初等行變換，

定理3矩陣的行秩與列秩相等。

定理4線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組有非零解。

定理5齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是的系數矩陣

2 在向量組方面的應用

的行秩r＜n。

例 4已知α1=(1,1,1)，α2=(0,2,5)，α3=(1,3,6)，判斷α1, α2,α3的線性相關性。

解以α1,α2,α3為列向量構造矩陣，并對其施行初等行變換

定理6設

與增廣矩陣

有相同的行秩。

例 5已知向量組試判斷β能否由α1,α2線性表出，若能，則寫出相應的線性表達式。

解以α1,α2,β為列構成矩陣，并對它施行初等行變換，化為行最簡階梯形矩陣：

則r（ A）= r （A），且 β= 3α1- α2。

定理7設向量組以它們為列構成矩陣A 經過行初等變換化為階梯型矩陣B，B的非零行的首個非零元所在的列對應的向量αi1,αi2,…,αir構成α1,α2, … ,αm的一個極大無關組，其向量的個數即為向量組的秩。

例 6利用矩陣初等變換求下列向量組的秩與一個極大無關組

解將已知向量為列構成4×5的矩陣A，并對它施行初等行變換

故α1, α2,α4為該向量組的一個極大無關組，且其秩為3。

已 知 向 量 組 α1,α2, …,αm與 β1, β2, … ,βs， 分 別 以為列構成矩陣A與矩陣B，令矩陣 C= （AB），則由性質 3知，矩陣的初等行變換不改變列向量間的線性相關性，故有：

定理8 α1,α2, …,αm與等價的充要條件是r(A) = r(B ) = r(C)。

例 7判斷向量組α1=(1,2,-1,5)，α2= (2,-1,1,1)和向量組β1=(4,3,-1,11)，β2=(4,3,0,11)是否等價。

解由性質3知，矩陣的初等行變換不改變列向量間的線性相關性，故分別以α1，α2和β1，β2為列構成矩陣A，B，令 C= （AB ），然后對C施行初等行變換

定理9設W1，W2分別是由與 β1,β2，… ,βs生成的子空間，則

例10 求子空間 L (α1,α2)與 L (β1, β2)的和空間的基與維數，其中α1=(1,1,0,0)，α2=(1,0,1,1)，β1=(0,0,1,1)，β2=(0,1,1,1)。

解以為列構成矩陣A，對A施行初等行變換，使它化為行最簡形矩陣B

由B可得，α1，α2是L (α1,α2)的一組基，且

α1，α2，β1是

的一組基，且