凝聚環(huán)的擴(kuò)展研究

張金羽

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450052）

定義1設(shè)A為左R-模，若A為f.g.的，且A的每個(gè)f.g.子模為f.p.的，則稱模A為凝聚模。

定義2設(shè)R為環(huán)，若R作為左R-模為凝聚的，則稱R為左凝聚環(huán)。

類似地，可定義右凝聚環(huán)。

定義3令∏=∏RR為任意個(gè)RR的積，若∏的每個(gè)f.g.子模為f.p.的，則稱環(huán)R為左Π-凝聚環(huán)。

類似地，可定義右Π-凝聚環(huán)。

定義4設(shè)R為環(huán)，令⊕=⊕RR為任意個(gè)RR的上積，若⊕的每個(gè)有限生成子模為有限表現(xiàn)的，即任一自由模的每個(gè)f.g.子模為f.p.的，則稱R為左弱∏-凝聚環(huán)。

類似地，可定義右弱Π-凝聚環(huán)。

顯然，Π-凝聚環(huán)為弱Π-凝聚環(huán)，而弱Π-凝聚環(huán)為凝聚環(huán)。

定義5一個(gè)模A稱為弱余生成的是指它可嵌入一個(gè)自由模中，即有正合列0→A→RR(I)，其中I為任意集合。

定理1設(shè)R為環(huán)，則下列陳述等價(jià)：

（1）R為左弱Π-凝聚環(huán)；

（2）每個(gè)f.g.弱余生成的左R-模為f.p.的。

證明（1）?（2）。設(shè)A為 f.g.弱余生成的左 R-模，即有正合列，從而A為⊕RR的f.g.子模，由左弱Π-凝聚環(huán)的定義，有A為f.p.的。

（2）?（1）。設(shè)A為⊕RR的f.g.子模，即A為弱余生成的，從而A為f.p.的，故R為左弱Π-凝聚環(huán)。

凝聚環(huán)和凝聚環(huán)上f.p.模的性質(zhì)，對(duì)于弱Π-凝聚環(huán)和弱Π-凝聚環(huán)上的f.g.弱余生成模也成立。

命題1 設(shè)R為交換弱Π-凝聚環(huán)，若A和B為f.g.弱余生成R-模，則HomR(A，B)為f.g.弱余生成的。

證明因A為f.g.弱余生成R-模，由定理1可知，A為f.p.的，從而有R-模的正合列

其中 F1，F(xiàn)0為 f.g.自由模，由于函子 HomR( -， B)為左正合反變函子，故有正合列

而

由正合列

其中 HomR(F0，B )。Imφ*為 f.g.的，從而 HomR(A ，B)為f.g.的，而 HomR(F0，B)為弱余生成的， HomR(A，B)為它的子模，故 HomR(A，B )為f.g.弱余生成的。

命題2設(shè)R為交換弱∏-凝聚環(huán)，若A，B為f.g.弱余生成R-模，則和為f.g.的。

證明因A為f.g.弱余生成R-模，R為弱Π-凝聚環(huán)，故A為f.p.的，從而有R-模的正合列

其中每個(gè)Fi為f.g.自由模。

從而有復(fù)形

故

因

B為f.g.弱余生成的，故 B(m)為f.g.弱余生成的，即為f.g.弱余生成模，又 R為弱Π-凝聚環(huán)，從而為 f.p.的，?i≥0考慮正合列

命題 3設(shè) R為左弱Π-凝聚環(huán)，A為 f.g.弱余生成左R-模，n（≥-1）為整數(shù)，則下列陳述等價(jià)：

證明（1）?（2）顯然。

（1）?（2）。對(duì)結(jié)論（2）采用數(shù)學(xué)歸納法證明。

若 n=-1，由（2）有 HomR(A ，B) = 0，其中B為任意f.g.弱余生成左R-模，故 HomR(A ，A) = 0，從而有A=0，所以l.P dRA=-1。

若n=0，顯然A為f.p.的，故有R-模的正合列

其中F為f.g.自由模，k為f.g.弱余生成左R-模，因此由（2）及上同調(diào)長正合列定理有正合列

若n≥1，類似地，有正合列

而F為自由模，B為f.g.弱余生成模，故

由歸納法假設(shè)有

另由正合列

可知 l. PdRA ≤ n.證畢。

定義6 設(shè)R為環(huán)，若對(duì)任意f.p.左R-模A都有

定理2環(huán)R為左弱FP-內(nèi)射環(huán)?每個(gè)f.p.右R-模為弱余生成的。

推論1設(shè)R為左弱∏-凝聚，左弱FP-內(nèi)射環(huán)，A為任意f.g.弱余生成左R模，則下列陳述等價(jià)：

（1） l.P dRA ≤ n ；

證明（1）?（2）。由于左弱Π-凝聚環(huán)R上f.g.弱余生成左 R-模為 f.p.的，從而由凝聚環(huán)的性質(zhì)有l(wèi).fdRA=l.P dRA，故當(dāng) l. PdRA ≤ n 時(shí)，必有，對(duì)

知R/I為 f.p.的，從而由定理 2知R/I為 f.g.弱余生成右R-模，故由（2）又有

（2）?（1）。對(duì)任意f.g.右理想，由正合列