雙體量子態的局域分辨

任林源，陸 軍

（1.西安工業大學 數理系，陜西 西安 710032；2.武警西安指揮學院 數理教研室，陜西 西安 710038）

量子態的分辨是量子信息理論的一個基本問題，無糾纏的局域分辨更是一個研究熱點[1-8]。在 LOCC（Local operation and classical communication）的限制下，正交態并不是總可以精確分辨的[1]，因此從局域的角度來看，對量子態局域分辨的能力有所下降。直覺上，和全局分辨一樣，態的正交性應該能夠保證量子態在局域下就可以精確分辨，而量子態的不可分辨或許是由于量子態的糾纏引起的。但令人驚奇的是Bennett[2]構造了一組乘積純態，盡管它們沒有糾纏也不可精確局域分辨，這便是“非糾纏的非局域性”的表現。J.Walgate[3]卻證明了任意兩個多體正交純態可以精確局域分辨，此結果說明了在LOCC下量子態的糾纏與否與其精確分辨的關系不大，也說明了此問題的復雜性。Ghosh[4]等人完全解決了特殊的Bell態的分辨問題。Fan[5]證明了態的個數與系統的維數是與Bell態的分辨有關系的。曹[6]證明了最大糾纏態完全集，只要有兩份拷貝就可以完全LOCC分辨。近期，段[7]研究了多體態的分辨，構造了一些特殊的不可LOCC分辨的子空間。本文研究并且得到了兩體混合量子態可以局域分辨的一個必要條件，并構造了一個GHZ態不可局域分辨的子空間。

以兩體態為例來說明混合量子態的局域分辨過程：假如有兩方，比如一個是Alice另一方是Bob，他們分別各擁有整個量子系統的一部分。他們事先知道在系統里有 m個秘密制備的正交混合態，但是他們并不確切地知道自己到底是擁有那一個態。Alice首先在她自己的部分做局域測量，并將得到的結果通過經典信道告訴另一方 Bob，然后 Bob根據Alice的測量結果選擇合適的測量算子來測量他享有的系統部分，再將結果發給Alice；Alice再利用Bob的結果再做測量。經過多次成功的局域測量，他們就可以分辨出這組量子態。此分辨過程可以用總的一套廣義測量算子｛Mm｝來代表多次測量算子的測量效果[9]。為了簡潔，以下分別用A和B表示Alice和Bob。利用標準分解得到任意混合態的特征分解：

其中

定理 1設 Alice和 Bob分享量子態 ρ1, ...,ρN，Alice擁有的基態為計算基態

如果Alice先做分辨，那么他們可以精確分辨 ρ1, ...,ρN的必要條件是

并且存在不相等的正整數 αi, i = 0,...,n - 1，滿足當時，有

其中

是量子態ρk（k=1,...,N）的支集。

證明設 Alice的測量算子｝是非平凡測量算子（即｛Mm｝與單位算子I不成正比例），那么對

有

設

是其譜分解，因為｛Mm｝是非平凡的，所以不妨設α0,α1, ...，，將和分別寫為

將上式子代入(1)和(2)即可證。

注意到，當n=2時，(3)和(4)就為[10]：

正交量子態可以精確分辨的必要條件。

量子態

是量子信息論里使用比較多的態，在量子隱形傳態中可作為量子信道[1,11,13]，它的表達式比較簡單，制備也相對容易，所以研究GHZ量子態的LOCC分辨也是有意義的。

定理2設

是4個n量子位態的集合，并且

有以下形式

那么集合

不可以LOCC精確分辨。

來分辨集合S。

（1）如果

那么測量完成后，態

變為

顯然不可能精確分辨

所以不可以精確分辨集合S。

（2）如果

那么測量完成后，態

變為

和

由假設不可能精確分辨

所以不可以精確分辨集合S。顯然，我們有以下推論：

推論1設

是n量子位的集合，如果S中有N-1個態

那么集合S不可以LOCC精確分辨。

從現有的文獻[2-11]來看，對于混合態的局域分辨研究得比較少，但在量子信息的實際應用，如隱形傳態、稠密編碼等具體量子態的應用中[13]，由于通信的雙方相距遙遠，進行局域操作只能是如局域么正變換、局域一般測量、經典通信、不完全測量等操作組成[7,10]。所以，在某種意義上研究混合態的局域分辨就更有實際意義。