彩票發行方案的優選模型

霍麗娜

（榆林學院 數學系，陜西 榆林 719000）

彩票發行方案的優選模型

霍麗娜

（榆林學院 數學系，陜西 榆林 719000）

本文引入彩民心理曲線建立模型來描述方案對彩民的吸引力；在此基礎上考慮各種約束條件，建立尋求更優彩票發行方案的模型，并采用分段遍歷搜索方法求出給定約束下的最優方案.

彩票方案；心理曲線；遍歷搜索

1 問題提出

彩票發行者的最終目的是實現彩票銷售收入的最大化，而要增加銷售收入，就要考慮采用什么樣的方案才能吸引廣大彩民積極地購買彩票；再者，我國彩票業的發展尚處于初級階段，彩票市場較為單一的票種和玩法制約了彩票發行規模的擴大，同時給私彩的生存及境外彩票侵入留下了空隙.因而，從長遠的利益來看，彩票管理部門應該創新，設計一些新的彩票發行規則，實行產品創新.要設計一種更優的方案，必須從兩個方面去考慮:從舉辦單位來說，應盡可能地提高彩民的購買吸引力；從彩民的利益來說，獎項設置應盡可能多一些、中獎概率應盡可能大一些.一個合理的方案，必須兼顧這兩方面的內容，把握好度的問題.

根據上述討論知，現在的問題是取什么樣的方案m/n（n和m取何值）、設置那些獎項、高項獎的比例rj（j=1,2,3）為多少和低項獎的獎金額xi（i=4,5,6,7）為多少時，使吸引力F目標函數有最大值.

2 符號說明

rj——第j等（高項）獎占高項獎總額的比例，j=1,2,3；

xj——第j等獎獎金額均值，1≤j≤7；

Pj——彩民中第j等獎xj的概率，1≤j≤7；

μ（xj）——彩民對某個方案第j等獎的滿意度，即第j等獎對彩民的吸引力,1≤j≤7.

3 模型的建立

3.1 模型準備

3.1.1 確定彩民的心理曲線

彩民對一個方案的各個獎項及獎金額的看法（即對彩民的吸引力）的變化就是一個典型的模糊概念.根據人們通常對一件事物的心理變化一般遵循的規律，不妨定義彩民的心理曲線[1]為：

其中λ表示彩民平均收入的相關因子，稱為實力因子，一般為常數.

3.1.2 計算實力因子

實力因子是反映一個地區彩民的平均收入和消費水平的指標，確定一個地區彩票方案應考慮所在地區的實力因子，在我國不同地區收入和消費水平是不同的，因此，不同地區實力因子應有一定的差異.我們以中等地區收入水平（或全國平均水平）為例進行研究.根據相關網站的統計數據，不妨取人均年收入1.5萬元，按我國的現行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬元.于是，當x0=52.5萬元時，取（即吸引力的中位數），則有

表3.1 各收入對應的實力因子

同理，可以計算出年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元的實力因子如表3.1.

3.2 模型建立

由問題的分析可知，一個合理的方案應包含兩層含義：

3.2.1 方案的基本合理性[2]：如高項獎的期望金額高于低項獎；固定獎的最低金額不能過低等；以及方案的可行性如高項獎浮動比例與低項獎固定金額規則的制訂就充分體現了方案的可行性.如果改為高低項獎均為浮動比例，則顯然方案的發行成本增大，可行性降低；如果改為高低項獎均為固定金額，則方案的發行風險會增大，可行性也會降低.

3.2.2 方案對彩民的吸引力：前者是基本前提保證，后者體現了擇優的過程.設計一個“更好”的方案需要同時滿足兩者，方案的基本合理性和可行性是應該首先進行驗證的，主要是出于現實的考慮，一些明顯的合理性檢驗應在前期完成.很多方案明顯在基本合理性和可行性上存在缺陷，對此類方案根本無需考慮其對彩民的吸引力.

為了取得最合理的彩票發行方案，就要使得吸引力 的目標函數達到最大值，即

以m,n,rj（j=1,2,3）,xi（i=4,5,6,7）為決策變量，他們之間滿足以下關系，即約束條件：

（1）高項獎獎金額均值[1]和心理曲線的計算

（2）高項獎的獎金比例和為1，所以模型中有r1+r2+r3=1；

（3）合理的彩票發行方案，其一等獎期望金額應介于保底金額與封頂金額之間，這是彩票長期穩定發行的前提.因此有 6×105≤x1≤5×106；

（4）部分彩民熱衷彩票，其心態是基于特大獎（一等獎）的誘惑，為了能夠吸引這一部分彩民，方案必須使得一等獎的獎金要占高項獎總金額的大部分.同時，除一等獎以外的其他高項獎的獎金比例也應在某一合理區間內.這一約束條件可表示為：rj∈[αj,βj],j=1,2,3；

（5）要提高彩票方案的吸引力，就要提高彩票方案的中獎概率和，其最直接的方法就是增加獎項，但是設立的獎項太多，又往往會降低大獎的金額，降低對彩民的吸引力，所以獎項的設置也應合理.每一個低項獎的獎金金額同樣要處于某一合理區間[cj,dj]，j為低項獎獎項，允許低項獎的獎金金額為0，表示相應彩票方案中不設置該獎項.可表示為：xj∈[cj,dj],j=4,5,6,7；

（6）實際中高等獎的概率Pj應小于低等獎的概率 Pj+1，即Pj

（7）對方案中m,n的取值范圍也應有一定的約束，這是由已知的方案確定的.本模型取5≤m≤8,20≤n≤40.

綜上所述，建立取得最合理彩票發行方案的目標規劃模型為：

4 模型求解

（1）先確定決策變量rj,xj的合理浮動區間，其浮動區間的設置存在人為主觀因素的影響，即彩票發行部門有權對浮動區間的范圍進行修改，本文先從提供的方案中總結各變量的大致浮動范圍，如表4.1所示：

表4.1 各決策變量的大致浮動區間

（2）模型中概率Pj（j=1,2,…7）是m,n的函數，具體計算參照四種不同類型彩票方案的各獎項獲獎概率[3]求解.

（3）xj在j=4,5,6,7時為低項獎獎金額，雖然每個低項獎都有一個浮動區間，但是仍允許低項獎的獎金金額為0，表示相應彩票方案中不設置該獎項.在編程時除考慮決策變量浮動區間內的值外，還要考慮到xj=0（j=4,5,6,7）的情況.

（4）這是一個較復雜的非線性整數規劃[4]，一般的求解比較困難.本文利用窮舉法，讓n從20到40，m從5到8，步進為1，遍歷上表中未知變量的浮動范圍，以求得最大合理度，即最優彩票發行方案.因為有較多的未知變量，計算量非常大，所以將因素分為高項獎和低項獎進行分段遍歷搜索：先固定低項獎的金額值xj（j=4,5,6,7），讓高項獎金額比例rj（j=1,2,3）浮動；然后固定計算得到的高項獎金額比例，計算低項獎的金額.這樣可大大減少計算量，加快計算速度.

算法實現：

Step1:固定x4=200,x5=50,x6=10,x7=5；

Step2:對一切5≤m≤8,20≤n≤40，遍歷r1,r2,r3的浮動范圍；若r1+r2+r3=1就繼續，否則返回2；

Step3:分K1,K2,K3,K4四種情況，計算相應的Pj.檢驗Pj

Step4:計算xj（j=1,2,3）和μ（xj）j=1,2,…7，檢驗是否6×105≤x1≤5×106，若是則繼續，否則轉2；

Step6:固定上面求出的r1,r2,r3的值，重復過程（2）～（4），遍歷x4,x5,x6,x7的浮動范圍.最后記出F取最大值時，x4,x5,x6,x7的值.

該模型的計算通過Matlab編程實現，對于不同的變量浮動范圍，該模型都可以很快的得到有最大吸引力的方案.

通過Matlab編程計算，可求得最優解為{K3，6.37，0.75，0.15，0.1，500，100，50，5}，最優值為F=6.5263×10-7.故對應的最優方案為：37選6+1（6+1/37）,一、二、三等獎的比例分別為75％、15％、10％，四、五、六、七等獎的金額分別為500、100、50、5元.

不同的彩票發行部門對表4.1中的浮動范圍有不同的取舍，我們可以修改表4.1中的變量浮動范圍，求得不同的最優方案.

再者，前面是針對中等收入水平的彩民情況考慮的，對于經濟發達地區和欠發達地區應有所不同.我們還可以分別對年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元，工作年限平均為35年的情況進行討論，就可以給出適用于相應各種情況的最優方案.這里我們不給出計算結果.

5 小結

由上述分析可知，基于彩票發行單位的不同要求，有不同的變量浮動范圍，可得出不同的最優方案.變量的約束條件可根據彩票發行單位的意愿決定，該模型可以很快為彩票發行部門求得不同約束條件下的最優方案.而且，最優方案的確定還依賴于彩民所在地區的平均收入水平即平均年總收入，對于不同的地區（例如經濟發達地區和欠發達地區）所得出的最優方案也是不同的.

〔1〕韓中庚.“彩票中的數學”問題的優化模型與評述[J].工程數學學報，2003.3,20（5）:108-114.

〔2〕齊海濤,裴衛斌,王征.彩票發行方案的合理性分析[J].沈陽航空工業學院學報，2003.3,20（1）:81-83.

〔3〕霍麗娜.彩票發行方案的合理性評價[J].科技信息，2011（3）：30-31.

〔4〕洪善艷,周姝,劉梅娟.彩票方案的優選模型[J].工程數學學報，2003,20（5）：101-106.

F224.9

A

1673-260X（2011）09-0045-03

榆林學院高層次人才科研啟動基金項目（08GK029）