Gibson地基波阻板隔振分析①

孫雨明，李 偉，高廣運

（1.上海應用技術學院土木建筑與安全工程學院，上海 200235；2.上海申元巖土工程有限公司，上海 200011；3.同濟大學巖土與地下工程教育部重點實驗室，上海 200092）

Gibson地基波阻板隔振分析①

孫雨明1，李 偉2，高廣運3

（1.上海應用技術學院土木建筑與安全工程學院，上海 200235；2.上海申元巖土工程有限公司，上海 200011；3.同濟大學巖土與地下工程教育部重點實驗室，上海 200092）

采用薄層法層狀半空間基本解答作為格林函數的邊界元法，對Gibson地基三維波阻板（WIB）隔振設計進行了詳細的參數分析。結果表明Gibson地基內采用WIB隔振有較好的隔振效果；應保證WIB具有合理的寬度和較小的埋深；增加WIB的厚度和模量是提高隔振效果的最有效的兩種措施；此外地基豎向模量變化對WIB隔振效果也具有一定的影響。本文的研究成果對于WIB隔振設計的推廣使用具有重要意義。

Gibson地基；波阻板；半解析邊界元法；薄層法；土－結構動力相互作用

Abstract：Considering the fundamental solution of Gibson halfspace obtained by Thin－layer method as the Green function for BEM，some parameters in the design of 3－D Wave Impeding Block（WIB）isolation for the Gibson homogenous elastic halfspace and stratified foundation are studied in detail.The result indicates that relatively good isolation effect can be obtained by WIB in the Gibson foundation，while the WIB haves reasonable breadth and relatively small embedment depth.Increasing the thickness and modulus of WIB is most effective way to get a good effect of isolation.The Gibson ground＇s property has some influence on the effect of isolation also.The research in this paper will be helpful for the application of WIB in popular.

Key words：Gibson foundation；Wave Impeding Block（WIB）；BEM；Thin－layer method；Dynamic soil－structure interaction

0 引言

隨著社會的發展，各種振動公害問題（動力機器、鐵路、公路、爆炸、打樁、強夯等）日益頻繁，對臨近的建筑物及地下管線、精密儀器和設備、人們的生活環境和工作環境具有不可忽視的影響。國際上已把人工振動列為七大公害之一，因此對各種人工振動對環境的影響和治理研究是土動力學領域的一個熱點問題。

除動力基礎和工程施工之外，鐵路交通引起的環境振動是公眾反應最強烈的。特別是當鐵路通過軟土地區時，其產生的振動問題尤為突出。

目前鐵路交通常用的隔振方式有：設置橡膠支撐、增強路基土的強度、采用屏障隔振等。高廣運等［1－2］研究了層狀地基空溝隔振。另一種可供選擇的隔振方法是使用埋置在振源或被保護結構下的彈性隔板進行隔振；其思想來源于受表面激振的層狀地基中波的傳播存在截止頻率，當激振頻率低于截止頻率時，地基中不存在波的傳播現象。利用這個效應，Schmid等［3］建議使用一個剛性層來形成有限尺寸的人工基巖，并將這個人工基巖稱為波阻板（Wave Impeding Block，WIB）；其后Takemiya［4－5］分別用邊界元和有限元法研究了WIB的隔振效果。Peplow［6］則采用邊界積分方程法研究了雙層地基WIB隔振效果。我國新修訂的《隔振設計規范》［7］也首次將WIB納入推薦的隔振方式，但目前國內尚未對WIB隔振設計進行過詳細分析。

WIB隔振設計屬于土與結構動力相互作用問題，由于其復雜性，目前常用的分析方法主要是數值模擬（邊界元法、有限元法）和試驗驗證。其中有限元法需要在一個較大區域內離散，計算工作量很大；邊界元法則僅需在土與結構交界面處進行離散，計算量較小。

天然地基大多具有分層性、不規則邊界或各向異性等特性。試驗結果表明，即使對于自然沉積的天然土層，其剛度（以彈性模量表示）也隨著有效圍壓而改變，也就是說其彈性模量會隨著深度的增加而逐漸改變，可以將這樣的土層定義為豎向非均勻地基。這其中假設土體剪切模量隨深度線性增加的Gibson地基模型得到了廣泛的應用。但試驗表明，大多數情況下土體的剪切模量與深度應該是一種非線性關系，所以許多學者建議土體的剪切模量應采用隨深度呈冪函數或指數函數變化的模型。考慮到土體剪切模量不會無窮增大，因此本文研究如式（1）所示的Gibson地基模型：

式中：μs（z）、μs0分別代表深度z與地表處土體的剪切模量。

為了能更好的模擬Gibson地基，本文采用一種特殊的半解析邊界元法，即采用薄層法層狀地基的格林函數作為邊界元法的基本解答。利用該方法對Gibson地基中WIB隔振進行詳細分析。

1 層狀半空間的頻域邊界元法

1.1 格林函數的推導

邊界元法是利用基本解函數將微分控制方程的定解問題轉化為邊界積分方程求解，因此尋求恰當的基本解函數是邊界元法求解的關鍵。在土與結構動力相互作用的研究中，通常是采用均質全空間或均質半空間的解析格林函數，但這種格林函數應用到層狀地基時會導致系統的自由度急劇增大，運算時間的巨大消耗。為此一些研究者致力于層狀半空間格林函數的研究，薄層法（Thin－layer method）得到了廣泛的應用［8－9］。

薄層法屬于一種半解析半數值方法，其基本思想是將土體沿豎向進行有限元離散，劃分成一些很薄的子土層，如圖1所示。對剩余的坐標方向采用解析法求解。因此對于軸對稱問題，利用豎向坐標的插值函數和加權余量法對波動方程進行離散，可以得到一組由各層節點表示的偏微分方程組，然后再對水平坐標x和時間變量進行Fourier變換，可以得到以矩陣形式的表達式：

式中：K＝［A］k2＋［B］k＋［C］為總體剛度矩陣，3 N ×3 N維；N是結點總數；k是水平波數；［A］、［B］和［C］是只與材料特性有關的矩陣；ˉUm為頻率波數域的結點位移向量，3 N×1維；ˉPm為頻率波數域的節點力向量，3 N×1維。

圖1 土的分層示意圖Fig.1 Sketch of layered ground.

式（2）所示方程組可以采用振型疊加法進行求解。解式（2）對應的齊次方程組可得到一組特征值與特征向量，可設與特征值ki相應的特征向量為｛Ui｝。同時，對于層狀半空間不可能對豎向坐標進行無限離散，所以在一定深度處需要采取旁軸近似方法來模擬更深處的半空間土體。利用特征值與特征向量則可從式（2）中解得頻率波數域中的結點位移向量ˉUm與結點力向量ˉPm的關系式，然后對所得到的關系式進行水平波數Fourier逆變換，則可以得到空間頻率域中的結點位移向量｛u｝與結點力向量｛p｝的關系式：

式中：｛u｝為頻域內的結點位移向量，3 N×1維；｛p｝為頻域內的結點力向量，3 N×1維；［U］為頻域內的位移基本解答，3 N×3 N維。

在位移的基本解得到以后，可以通過土體的本構方程和幾何方程求得力的基本解。關于薄層法求解層狀半空間格林函數的詳細推導可參考文獻［10］。

1.2 層狀半空間頻域邊界元法

頻域內的動力邊界元法的邊界積分方程可以表示為

式中：u′i、t′i為邊界上的位移和力；Uji、Tji為由上節得出的層狀半空間位移和力的基本解；c為邊界積分方程的自由項，若邊界S在點ξ光滑，則c＝1／2。

為了求解上述邊界積分方程，需對土與結構的交界面進行離散，并將式（4）改寫為離散后的矩陣形式：

求解離散的邊界積分方程（5），即可得到未知的邊界位移和邊界力，進而利用離散的頻域內的動力Somigliana公式，即可求得域內任意點的位移ud：

圖2 地表豎向位移解答對比Fig.2 Comparison between different solutions of ground vertical displacement（a）1～40m；（b）0.005～0.1m.

有關頻域內動力邊界元的詳細推導可參考文獻［9］。

2 三維半解析邊界元法及其驗證

為了驗證本文算法的正確性，本節選取Lamb問題進行對比分析。Lamb問題采用王貽蓀解答［11］。土體的密度ρs＝1 800kg／m3；剪切模量μs＝53MPa；泊松比νs＝0.25；激振頻率選取為f＝16 Hz。

本文算法與王貽蓀解答對比見圖2。可以看出，對于遠離振源的點（＞0.07m），兩者的計算值非常接近，誤差很小；當計算點逐漸接近振源時，兩者的計算值差異逐漸增大，王貽蓀的解析解答以更快的速度趨于奇異。

3 Gibson地基三維WIB主動隔振分析

采用上述的層狀半空間頻域邊界元法對圖3所示的WIB隔振進行了詳細的參數分析。

圖3 WIB隔振示意圖Fig.3 Sketch of vibration isolation by WIB.

將μs∞與μs0之比記為η＝μs∞／μs0。采用地表剪切模量對應的R波波長（LR0＝10m）對各種長度尺寸歸一化：WIB的歸一化直徑和厚度分別記為W＝w／LR0、T＝t／LR0；WIB頂面距地表的歸一化埋深為H＝h／LR0；WIB的剪切模量采用地表處剪切模量歸一化為M＝；密度為ρb＝24 00kg／m3；泊松比為νb＝0.20；粘滯阻尼比為ξb＝0。激振頻率16Hz。

對于隔振效果的評價，Woods提出用振幅衰減系數AR來衡量，并認為AR≤0.25時隔振效果較好［9］。AR的表達式為：

3.1 WIB直徑對隔振效果的影響

圖4表示H＝0.05、T＝0.2、M＝12、η＝3.5，WIB的歸一化直徑W變化時，相應的地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數隨距離的變化曲線。從圖中可以看出，對于三維Gibson地基采用WIB主動隔振體系可以取得理想的隔振效果。對于本算例，當WIB的無量綱直徑很小（W≤0.2）時，采用WIB隔振體系不能取得任何隔振效果；當WIB的無量綱直徑W≤1.0時，增加WIB的寬度可以顯著的提高WIB隔振體系的隔振效果。當WIB的無量綱直徑繼續增大（W＞1.0）時，其隔振效果變化比較復雜：位于彈性板上方的地表徑向位移和豎向位移振幅均隨WIB直徑的增大而有相當程度的減小；而位于彈性板外側的地表徑向位移和豎向位移振幅波動較大，其隔振效果均沒有明顯的提高。所以，應根據隔振設計實踐的需要，合理的選取WIB的直徑。

3.2 WIB厚度對隔振效果的影響

圖4 不同WIB直徑時Gibson地基（a）徑向位移和（b）豎向位移振幅衰減系數隨距離變化曲線（T＝0.2）Fig.4 Curves of ARfor Gibson ground（a）radial displacement and（b）vertical displacement with different WIB diameters（T＝0.2）.

圖5 不同WIB厚度時Gibson地基（a）徑向位移和（b）豎向位移振幅衰減系數隨距離變化曲線Fig.5 Curves of ARfor Gibson ground（a）radia displacement and（b）vertical displacement with different WIB thickness.

圖5表示W＝0.5、H＝0.05、M＝12、η＝3.5，WIB的歸一化厚度T變化時，相應的地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數隨距離的變化曲線。從圖中可以看出，當WIB的無量綱厚度較小（T≤ 0.025）時，WIB隔振體系將失效；當WIB的無量綱厚度T≤0.2時，隨著WIB厚度的增加地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數有顯著的降低，此時增加WIB的厚度，可以取得顯著的隔振效果；當WIB的無量綱厚度繼續增大（T＞0.2）時，WIB的隔振效果雖然也在逐步提高，但提高的幅度卻逐漸減小。所以對于WIB隔振體系增加WIB厚度是提高其隔振效果的最有效的措施之一。

3.3 WIB剪切模量對隔振效果的影響

圖6表示W＝0.5、T＝0.1、H＝0.05、η＝3.5，WIB的歸一化剪切模量M變化時，相應的地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數隨距離的變化曲線。從圖中可以看出，隨著WIB剪切模量的增加，當WIB的無量綱剪切模量M＝3時，設置波阻板對地表水平位移和豎向位移的隔振效果均較差；但隨著波阻板彈性模量的增大，其隔振效果也迅速增加；但當WIB的無量綱剪切模量M≥24時，無論是地表徑向位移振幅還是豎向位移振幅，其振幅衰減系數隨WIB剪切模量增加而減小的幅度迅速減小，也就是說，此時增加WIB的剪切模量雖然可以減小地表徑向位移振幅和豎向位移振幅，但其減小的幅值卻大大降低了。所以增加WIB的剪切模量也是提高WIB隔振體系隔振效果最有效的措施之一。

圖6 不同WIB剪切模量時Gibson地基（a）水平位移和（b）豎向位移振幅衰減系數隨距離變化曲線Fig.6 Curves of ARfor Gibson ground（a）horizontal displacement and（b）vertical displacement with different WIB shear modulus.

圖7 不同η值時Gibson地基（a）徑向位移和（b）豎向位移振幅衰減系數隨距離變化曲線Fig.7 Curves of ARfor Gibson ground（a）radial displacement and（b）vertical displacement with differentηvalues.

3.4 土體豎向非均勻特性對隔振效果的影響

圖7表示W＝0.5、T＝0.2、H＝0.05，H＝ 0.05不同η值時沿測線的地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數隨距離的變化曲線。從圖中可以發現，不同η值時沿測線的地表徑向位移和豎向位移振幅衰減系數變化很大；隨著η值的增大總體說位移振幅衰減系數都在增大；且當η值較小時，位移振幅衰減系數增加幅度較大；當η值逐漸變大時，其相應的位移振幅衰減系數增幅在逐漸減小。本算例說明，對于豎向非均勻介質，其參數對WIB隔振體系的隔振效果有較大影響，在隔振設計實踐中必須予以充分的重視。

4 結論

（1）薄層法半空間格林函數的邊界元法是分析土與結構動力相互作用的一種有效的數值分析手段。尤其是在求解成層狀或豎向不均勻土體（如Gibson地基）中波的傳播問題時，由于采用了薄層法層狀半空間的格林函數，只需在土與結構交界面進行離散，即可模擬任意多層場地，且大大縮減了計算時間，提高了計算效率。

（2）在Gibson地基中采用WIB隔振可以取得較好的隔振效果。對于WIB的隔振設計應保證彈性隔板具有合理的寬度才能得到理想的隔振效果；增加彈性隔板的厚度和提高其彈性模量是提高隔震效果最有效的兩種措施，但也要注意，其隔振效果的增加幅度是隨著厚度和模量的增加而遞減的，所以應該結合具體工程設計需要，考慮經濟性和可行性等綜合選取合理的厚度和模量。

（3）地基的分層參數和非均勻特性對WIB的隔振效果有顯著的影響，設計時應充分重視根據地層實際分布情況具體分析。

［1］ 高廣運，彭爭光，李偉，等.三維層狀地基空溝主動隔振分析［J］.西北地震學報，2006，28（3）：210－215.

［2］ 高廣運，彭爭光，張夢芳，等.層狀地基空溝被動隔振分析［J］.西北地震學報，2009，31（2）：115－120.

［3］ Schmid G，Chouw N，Le R.Shielding of structures from soil vibrations［A］∥Proceedings of Soil Dyn.and Earth.Eng.V［C］.USA.San Francisco：Computational Mechanics Publications，1992：651－662.

［4］ Takemiya H，Jiang Jian－qun.Wave impeding effect by buried rigid block and response reduction of dynamically excited pile foundation［J］.Structural Eng.and Earth.Eng.，1993，10（3）：149－156.

［5］ Takemiya H，Fujiwara A.Wave propagation／impediment in a stratum and wave impeding block（WIB）measured for SSI response reduction［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，1994，13：49－61.

［6］ Peplow A T，Jones C J C，Petyt M.Surface vibration propagation over a layered elastic half－space with an inclusion［J］.Applied Acoustics，1999，56：283－296.

［7］ 國家標準《隔振設計規范》GB50463－2008［S］.北京：中國計劃出版社出版，2008.

［8］ Leung K L，Beskos D E，Vardoulakis I G.Vibration isolation using open or filled trenches［J］.Comput.Mech.，1990，（7）：137－48.

［9］ Kausel K.The Thin－Layer Method in seismology and earthquake engineering.Wave Motion in Earthquake Engineering［M］.Southampton，Bostom：WIT Press，2000：193－213.

［10］ 李偉.層狀地基WIB主動隔振分析［D］.同濟大學，2005.

［11］ 王貽蓀.地面波動分析若干問題［J］.建筑結構學報，1982，3（2）：56－67.

Analysis of Vibration Isolation Using WIB for Gibson Ground

SUN Yu－ming1，LI Wei2，GAO Guang－yun3
（1.School of Construction and Safety Engineering，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 200235，China；2.Shanghai Shenyuan Geotechnical Engineering Co.，Ltd.，Shanghai 200011，China；3.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education，Tongji University，Shanghai 200092，China）

TU352.1；O328

A

1000－0844（2011）01－0040－06

2009－12－29

上海市教育委員會重點學科建設項目（J51502）；上海市科學技術委員會項目（09QB1402800）；上海市教育委員會科研（創新）項目

孫雨明（1963－），男（漢族），山西晉中人，副教授，博士，主要從事土動力學與地基處理的研究.