一階電路暫態過程及時間常數的教學研究

習友寶

(電子科技大學電子工程學院，四川成都610054)

“電路分析”課程中，直流一階電路的暫態響應分析對于學生建立電路暫態過程的概念并進行定性和定量分析非常重要。但因為涉及到動態元件特性、換路特性、列寫和求解微分方程等，將出現一些新的概念和方法需要認真理解。

1 電路分析教學中的幾個問題

對電路與暫態響應分析部分的內容，大部分傳統教學一般是以單回路的RC電路和單節點的RL電路為具體例子，通過對其建立微分方程并求解零輸入響應、零狀態響應，應用疊加定理得到全響應，最后總結出“三要素法”求解;對于一般形式的一階電路，則應用戴維寧或諾頓定理化簡為RC或RL簡單電路再求解。對于含有多個同類動態元件(多個電容或多個電感)的電路，可能是一階也可能是二階或高階電路，學生難以判斷。時間常數是反映電路暫態過程的重要參數，還需從概念上理解［1，2]。

1)直流一階電路

直流一階電路是最簡單的動態電路，從學生容易理解的角度，我們可以先從簡單RC電路充放電過程開始［3]，演示RC電路中電容電壓的變化規律。然后進入定性分析，從電壓、電流和能量的角度解釋波形變化規律。再進行定量分析，列寫微分方程，結合初始條件求解。講解零輸入響應、零狀態響應和全響應，以及微分方程的齊次解(通解)和暫態響應、特解和強制響應的概念。從微分方程的特征根引出時間常數的概念，指出時間常數是反映電路暫態特性的一個重要參數，它是由電路結構和電路參數本身所決定的，一階電路的所有響應都具有相同的時間常數［4]，因此，應稱為電路的時間常數，而不是電路中某個響應的時間常數。

2)換路的概念

教學中我們會涉及到換路的概念，以及基于替代定理用電容電壓、電感電流替代電容、電感二端元件，得到不同時刻的等效電路等內容都是難點。需要指出電路中的狀態變量(電容電壓、電感電流)和非狀態變量，它們的響應形式也可能不同。比如，非狀態變量的零狀態響應形式一般不是f(t)=f(∞)(1－e-t/τ)，因為其初始狀態f(0+)可能不為零。在換路時刻，狀態變量是連續的，非狀態變量會出現躍變。因此，若換路發生在t=0時刻，狀態變量表達式的時間條件可記為t≥0，而非狀態變量只能記為t＞0或t≥0+。

3)關于“三要素法”

“三要素法”是得到一階電路全響應的簡便方法，也是教學的重點。為使學生更好地理解，需要講透幾個問題:如何引出和得到“三要素法”，為什么只是針對一階電路;時間常數的概念;為什么狀態變量和非狀態變量都適用。

2 電路的階數

一般教材上指電路中含獨立動態元件的個數，也是對應微分方程的階數。對于含有多個動態元件時，其中一種簡單的情況是:多個同類動態元件具有很明顯的串并聯關系，可以等效為一個動態元件，是一階電路。下面主要討論另外兩種情況。

圖1所示為典型的具有高頻補償作用的RC阻容分壓器電路，圖中Us為理想直流電壓源(假設在t=0時接入電路)，它們均含有兩個電容元件，兩圖的差別僅在于回路中的電阻R0(可看成是Us的內阻)。那么這兩個電容元件是否是獨立的呢?它們是一階還是二階電路?該如何判斷?

我們不妨對圖1中兩個電路以u2列寫微分方程，分別得到

圖1 關于電路階數的說明

顯然，式(1)對應的圖1(a)為一階電路，而式(2)對應的圖1(b)為二階電路。若在式(2)中令R0=0，則與式(1)相同，電路也就如圖1(a)了。

式(1)對應的齊次方程特征根寫為:p=－1/τ，τ=(R1//R2)(C1+C2)，即為該電路的時間常數。觀察圖1(a)發現，移除圖中獨立源Us(即令Us置為零)，得到的等效電路，就是R1、R2并聯后與C1、C2并聯，并由此可以很方便的得到時間常數。這與由齊次方程(令式(1)右邊Us=0)特征根得到時間常數是一樣的，這里特別注意到當令Us=0時兩個電容元件具有可合并的特點。而對于圖1(b)，同樣移除圖中獨立源Us，由于R0的存在，兩個電容不能通過串并聯關系合并。因此，這兩個電容就是獨立動態元件，該電路也就是二階電路了。

又如在圖2所示的電路中假設直流電流源IS在t=0時接入電路。顯然該電路含有兩個不同類型的動態元件，它們是獨立的。實際上，可以看成是兩個獨立的一階電路:R1C和R2L電路所組成。圖中i(t)和uo(t)響應的表達式形式應為

式中，t＞0，A=f(∞)，A1和A2為常數。

3 電路的時間常數

我們進一步觀察式(1)，可見方程的右邊即為u2(∞)，它就是方程的特解(強制響應)。若以f(t)表示方程中的變量u2，則有

圖2 由兩個獨立的一階電路構成的電路

式中，τ即為時間常數，可由式(3)對應的齊次方程特征根得到。注意式中f(t)前面的系數為1。

上式代表了直流一階電路中所有響應的一般形式，再加上f(0+)初始條件，其解即為“三要素法”表達式:

式中，對狀態變量時t≥0，對非狀態變量時t＞0。

也就是說，“三要素法”實際上來自于式(3)所示的一階電路微分方程通式的全解。

一階電路與高階電路其區別在于:一階電路的暫態過程是單調的指數衰減過程(時間常數為正值);高階電路的暫態過程為多個指數函數的線性組合(非單調函數)或以指數函數為包絡的衰減震蕩。高階電路的暫態過程衰減時間也是由電路本身決定的，但是很難用一個“時間常數”參數來描述。

4 教學內容的實際應用

為了鞏固所學的知識，我們可以列舉如下三個RC電路的實際應用例子。

1)利用RC電路構成模擬積分/微分器。取電容與電壓為積分輸出，可實現輸入信號的積分運算，并將輸入直流電壓量轉換成時間量;取電阻上的電壓為微分輸出可得到輸入波形的邊沿。

2)由RC電路構成低通濾波器。一階RC電路的3dB截止頻率為f3dB=1我們還可從頻域理解時間常數的特性。當時間常數較小時，從時域來講，電路的暫態時間較短;從頻域來講，截止頻率更高，帶寬更大，對階躍或方波信號輸入，因為可以通過更高階諧波的頻率分量，使輸出更接近輸入波形。

3)利用RC電路實現信號延時。對電容電壓的充放電波形經比較器后，可得到其延時波形，改變比較器的比較電平，可以改變延時時間。從時域來講，由于暫態過程的存在，反映了RC電路的滯后特性;從頻域來講，反映了RC電路的相移特性。

［1] 李翰蓀編.電路分析基礎(第四版)［M] .北京:高等教育出版社，2006.5

［2] 胡翔駿編.電路分析［M] .北京:高等教育出版社，2007.1

［3] Allan H.Robbins，Wilhelm C.Miller.Circuit Analysis:Theory and Practice(Second Edition).——影印本.北京:科學出版社，2003.3

［4] 付永慶.怎樣講好一階電路時間常數的概念［J] .南京:電氣電子教學學報.2005.8，27(4):102～104