寬板塑性彎曲變薄的理論解

戴曉東 江熒 彭定

（蕪湖職業技術學院，安徽 蕪湖 241006）

寬板塑性彎曲變薄的理論解

戴曉東 江熒 彭定

（蕪湖職業技術學院，安徽 蕪湖 241006）

文章提出了寬板彎曲變薄的兩種理論解法，利用兩種解法分別對理想塑性和線性硬化板材的彎曲變形進行了分析，推導出彎曲過程中寬板外表面半徑、板料厚度、變薄系數、以及應變中性層內移系數等參數隨彎板內半徑變化的一系列理論解。通過實例計算，將計算結果與生產實際中廣泛應用的實驗數據進行比較，發現二者非常接近。

塑性彎曲；厚度變化；理論解；近似理論解

寬板塑性彎曲是沖壓生產中的一種典型工藝。由于寬度w遠大于厚度t，故寬度方向基本上不變形（），一般作為平面變形問題處理。在彎曲過程中整個板厚不斷變薄，這已是眾所周知的客觀事實，]早在1950年就介紹了經試驗得到的彎曲變薄系數和應變中性層內移系數k的部分數據（見表1-1）。這些數據半個世紀以來，一直為我國各種沖壓教材、設計手冊和生產企業廣泛使用。但這些數據并未揭示系數和k在彎曲過程中連續變化的內在規律，沒有揭示和與彎板內、外表面的曲率半徑R和r之間有何關系。為了找出它們的關系，已有一些學者[2][3]進行了研究，但至今為止還沒有一種成熟的數學模型來模擬板厚的變化規律。為了不使人們對寬板塑性彎曲變薄的認識長期停留在低水平的經驗階段，用科學的理論去指導工藝實踐。本文作者提出了兩種彎曲變薄理論及求解方法[4]～[6]（理論解法和近似解法），并結合數值實例對理論求解與實驗結果進行了比較。現將該項研究成果系統整理如下。

1.寬板塑性彎曲變薄的理論解

圖1為寬板彎曲過程中在某一微小時間間隔△前后的變形情況。經過△時間，內半徑由變為，外半徑由變為，厚度由變為（注意：和均為負值），而彎曲中心角變為（為正值）。

圖1 板材彎曲過程中的尺寸變化

設寬板在彎曲過程中恒保持圓弧狀，而且橫截面恒保持平面，則彎曲后外表面環向長度（）將伸長，內表面環向長度將縮短，而且伸長量與縮短量的比值與內、外表面到應力中性層的法向距離的比值相等，即：

1.1 理想塑性板材彎曲變薄的理論解

對于理想塑性板材，其彎曲應力中性層半徑：

1.2 線性硬化板材彎曲變薄的理論解

對于線性硬化板材，設材料的硬化曲線方程為：

1.3 理想塑性及線性硬化板材彎曲變薄理論解與試驗結果的比較

(1)計算程序

由（1-7）或（1-12）式求得R以后，依據以上公式，不難求得寬板在彎曲過程中任一時刻的值以及它們隨內表面半徑r變化的規律。

（2）計算實例

實例：設兩種不同硬化特性的板坯，一種是理想塑性，另一種有線性硬化特性，其硬化特性如式（1-8）所示（其材料性能參數＝360Mpa，B=520Mpa），二者的原始厚度均為＝1mm。當彎到＝10mm、＝9mm時，厚度都還沒有明顯變薄（因為彎曲變形程度還不夠大）。現在繼續彎曲，直到最后＝0.1mm為止。假設板材仍未發生破裂。求彎曲過程中R、t、和K等參數隨r變化的規律。計算結果如表1-1和圖2、圖3所示。該理論解與當前廣泛應用的查表法的試驗數據十分吻合。

圖2 理想塑性板材彎曲變薄系數的理論值和試驗值曲線圖

圖3 線性硬化板材彎曲變薄系數的理論值和試驗值曲線圖

表1-1 寬板塑性彎曲變薄理論解和試驗值[1]比較表

2.寬板塑性彎曲變薄的近似解法

上述理論求解方法較為復雜。為了簡化求解過程，本文提出另一種近似理論求解方法。其推導方法如下：

由塑性變形體積不變條件知，

2.1 理想塑性板材彎曲變薄的近似解

由理想塑性板材厚向應力連續條件知，其應力中性層半

將（2-6）式和（2-7）式代入（2-5）式，可以求得：

對上式利用公式（1-6）進行數值積分，即可求得整個彎曲過程中，外表面半徑隨內表面半徑變化的表達式：

2.2 線性硬化板材彎曲變薄的近似解

因為線性硬化板材的應力中性層半徑為

2.3 理想塑性及線性硬化板材彎曲變薄的近似解與試驗結果的比較

采用前述相同的計算程序與計算示例，由（2-9）或（2-17）式求得R以后，分別代入（1-14）式和（1-15），可求得寬板在彎曲過程中任一時刻的值以及它們隨內表面半徑r變化的規律。計算結果如表2-1和圖4、圖5所示。即使是近似解法，其計算結果與試驗值仍然相當吻合，這也證明了此近似假設的合理性。

圖4 理想塑性板材、的理論值和經驗值曲線圖

圖5 線性硬化板材、的理論值和經驗值曲線圖

表2-1 寬板塑性彎曲變薄的近似解和試驗（查表）值比較表

［1］（蘇）祖巴卓夫.冷壓技術[M].上海：龍門書局，1953.

［2］Hill R.The Mathematical Theory of Plasticity[M].oxford:oxford university press,1950.

［3］王祖唐等.金屬塑性成型原理[M].北京：機械工業出版社，1989.

［4］彭炎榮，江熒等.理想塑性及線性硬化板材彎曲成形的變薄規律[J].塑性工程學報，2003，10（3）：22～25.

［5］江熒，彭炎榮等.關于寬板塑性彎曲變薄理論解的討論[J].金屬成形工藝，2004，22（3）：30～32.

［6］江熒，彭炎榮等.關于理想塑性板材彎曲變薄理論解的矛盾及原因分析[J].塑性工程學報，2006，13（1）：26～28.

A theoretical solution to thickness variation of bending metal sheet

Dai Xiao-dong，Jiang Ying，Peng Ding
（Wuhu Institute of Technology，Wuhu Anhui 241006，China）

Two theoretical solution to thickness reduction of plastic bending sheet is presented,Utilize two method,the thin out of bending metal sheet with ideal plasticity and linear hardening character are analyzed separately,and the formula calculated the variation of the radius of out side suface,thickness of the sheet,thin out coefficient and the inward removal of neutral layer with the radius of the inside suface of bending sheet are derived.The result of theoretical calculation is compared with the experimental data that is used extensively in production reality.The result is shown that both the theoretical solution and the experimental data are very close.

plastic bending;thickness variation;theoretical solution;similar theoretical solution

TG386.31

A

1672-0547（2011）01-0098-03

2010-10-29

戴曉東（1968-），男，安徽繁昌人，蕪湖職業技術學院機械系講師，工程師，研究方向：數控技術；江熒（1976-），女，蕪湖職業技術學院副教授，碩士，研究方向：材料成形。