基于MATLAB算法的圓柱齒輪優化設計

王 鳴

（福建交通職業技術學院 福州 350007）

0 引 言

圓柱齒輪傳動是機械傳動中最主要的一類傳動.齒輪傳動利用輪齒相互嚙合傳遞動力與運動，所以齒輪的設計對于齒輪傳動的好壞及機器能否準確的傳遞運動與動力有很大影響.程友聯等［1］提出了參照等強度齒數確定齒輪齒數的方法，金花［2］以體積最小為目標進行齒輪傳動優化設計，任繼華［3］對齒輪傳動的參數進行優化設計.本文在保證齒根彎曲疲勞強度和齒面接觸疲勞強度的前提下研究圓柱齒輪的優化設計.

1 建立數學模型

1.1 已知參數

單級直齒圓柱齒輪減速器的結構如圖1所示，現要求在保證承載能力的條件下，以體積最小為目標進行優化設計.

已知：輸入功率P＝280kW，小齒輪轉速n＝980r／min，傳動比i＝5，齒輪的許用接觸應力［σH］＝855MPa，許用彎曲應力［σF1］＝261MPa，［σF2］＝213MPa；軸的許用彎曲應力［σb］＝55 MPa.配對齒輪的結構和各部分尺寸的符號如圖2所示.

圖1 單級直齒圓柱齒輪減速器的結構簡圖b－齒輪厚度；l1 －減速箱寬度；l2－輸入軸伸出長度；l3－輸出軸伸出長度

圖2 齒輪結構圖b1－小齒輪厚度；b2－大齒輪厚度；d1－小齒輪分度圓直徑；ds1－小齒輪軸孔徑；d2－大齒輪分度圓直徑；ds2－大齒輪軸孔徑

1.2 選取設計變量

由于減速器箱體內的零件（即齒輪和軸的尺寸）是決定減速器體積的依據，所以，根據齒輪幾何尺寸和結構尺寸的計算公式.

大齒輪采用輻板式，輻板上有4個均布孔，箱體內的齒輪和軸的總體積可近似地表示為

取l2＝25cm，l3＝30cm，并近似取b1＝b2＝b，則由上式可知，給定傳動比i后，減速器體積V 取決于b，Z1，m，l1，ds1，ds26個參數，所以單級標準直齒圓柱齒輪減速器優化設計的設計變量為

1.3 建立目標函數

根據齒輪結構設計的經驗公式，有：δ＝5m，D2＝d2－2δ，D1＝1.6ds2，d0＝0.25（D2－D1），c＝0.2b.參照圖1，將經驗公式及數據代入公式且用設計變量來表示，可確定目標函數為

根據下列經驗和原則，可確定每個變量的上下限：（1）根據工藝裝備條件，限制大齒輪直徑d2不超過160cm，故小齒輪直徑d1不應超過32 cm；（2）按結構關系，軸的支撐跨距應滿足：l1≥b＋2Δ＋0.2ds2，現取箱體內壁到軸承中心線的距離Δ＝2cm；（3）根據經驗，主、從動軸直徑的取值范圍為：9cm≤ds1≤14cm，14cm≤ds2≤18 cm；（4）為保證齒輪承載能力同時又避免載荷沿齒寬分布嚴重不均，要求齒寬系數0.9≤ψ＝bdd1≤1.4；（5）對傳遞動力的齒輪，一般模數m≥0.2 cm，且取標準系列值；（6）標準齒輪傳動避免發生根切最少齒數zmin＝1.7.

各變量的上下限為：10≤x1≤42，17≤x2≤30，0.2≤x3≤1，20.5≤x4≤56，9≤x5≤14，14≤x6≤18.

1.4 確定約束條件［4－5］

1）齒面接觸強度條件

式中：接觸應力為

式中：K為載荷系數，根據題意，可取K＝1.3；ZE為彈性系數，一對鋼質齒輪ZE＝189.8 MPa；ZH為節點區域系數，ZH＝2.5；T1為小齒輪傳遞的名義轉矩，T1＝9.55×105P／n1≈273 000 N·cm.

2）工藝裝備條件

3）齒寬系數條件

4）軸的支撐跨距條件

式中：YF為齒形系數，小齒輪

6）主動軸（即圖1所示小齒輪軸）剛度條件

式中：取［y］＝0.003l1；ymax＝Fnl31／（48EJ）；Fn為作用在小齒輪齒面上的法向載荷，N；Fn＝2T1／（mZ1cos a），其中齒輪壓力角a＝20°；E 為軸的材料的彈性模量，E＝2×105MPa；J為軸的慣性矩，圓截面J＝πds41／64.

由上述可得到滿足軸的剛度條件的約束函數為

由此，可得到小齒輪軸和大齒輪軸滿足彎曲強度條件的約束函數

2 MATLAB優化理論和程序

用MATLAB優化工具箱解決工程實際問題可概括為以下過程［6］：

1）根據所提出的問題建立最優化問題的數學模型，確定變量，列出約束條件和目標函數.

2）分析建立的數學模型，選擇合適的最優化方法，調用相應的優化工具函數.

3）完成優化設計，分析優化結果.

齒輪優化中的問題，屬于非線性的約束優化問題.非線性多變量約束優化問題在MATLAB里可做如下描述.

調用fmincon函數實現求解約束優化問題.fmincon函數的調用格式：［x，fval］＝fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlco，options，P1，P2…）

根據減速箱優化設計數學模型建立過程，運用上述優化理論，可得Aeq＝beq＝0，lb＝［10，17，0.2，20.5，9，14］；

ub＝［42，30，1，56，14，18］；

A＝［1，0，0，－1，0，0.5］，b＝［－4］；其MATLAB程序如下.

先定義其目標函數的M文件：

function f＝gear（x）

f＝0.78539815＊（4.75＊x（1）＊x（2）＾2＊x（3）＾2＋85＊x（1）＊x（2）＊x（3）＾2－85＊x（1）＊x（3）＾2＋0.92＊x（1）＊x（6）＾2－x（1）＊x（5）＾2＋0.8＊x（1）＊x（2）＊x（3）＊x（6）－1.6＊x（1）＊x（3）＊x（6）＋x（4）＊x（5）＾2＋x（4）＊x（6）＾2＋25＊x（5）＾2＋30＊x（6）＾2）

再定義其約束函數的M文件：

在命令窗口中輸入其初始點，上下限，以及求解命令等，如下.

＞＞ x0＝［20，25，1，30，12，16］；

＞＞lb＝［10，17，0.2，20.5，9，14］；＞＞ ub＝［42，30，1，56，14，18］；＞＞ A＝［1，0，0，－1，0，0.5］；＞＞b＝［－4］；

＞＞ ［x，fval］＝fmincon（＠gear，x0，A，b，［］，［］，lb，ub，＠constr）

運行結果為：

x＝12.8684 23.8576 0.5993 23.8684 9.7523 14.0000 fval＝3.115 4×104

因為齒輪模數m應為標準值，齒數Z1應為整數，其他參數一般也應適當圓整，所以上述最優解必須經標準化與圓整，得到最終解為

［x1，x2，x3，x4，x5，x6］＝ ［13，24，0，6，24，10，14］帶入原函數，fval＝3.173 3×104cm3.

3 結 論

通過對單級直齒圓柱齒輪減速器的優化設計可以得出以下結論：

1）用傳統方法設計的減速器體積為3.431 8×104cm3，而采用優化方法設計的減速器體積為3.173 3×104cm3，比原方案的體積減小了7.5%，從而減輕了減速器的重量.

2）應用MATLAB優化工具箱求解優化問題，不需編寫大量算法程序，提高了設計效率，獲得良好的優化結果.

［1］程友聯，鄒慶化，盧繼軍，尚晶.圓柱齒輪齒數確定的新方法［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2001，25（2）：166－168.

［2］金 花.基于MATLAB的圓柱齒輪傳動的優化設計［J］.科技信息，2010（1）：81－84.

［3］任繼華.基于MATLAB的齒輪參數優化設計及其有限元分析［D］.贛州：江西理工大學機電工程學院，2010.

［4］劉明保，王志偉，孟玲琴.圓柱齒輪減速器的優化設計［J］.河南機電高等專科學校學報，2002，10（3）：23－24.

［5］葉秉良.基于 MATLAB算法的圓柱齒輪減速器優化設計［J］.浙江理工大學學報，2006，23（3）；321－325.

［6］黃 瀅，于文華.齒輪減速器可靠性優化的 MATLAB實現［J］.通用機械，2005（9）：70－71.