局部微分求積法的深水包絡孤立波數值模擬

張 弩,宗 智,于 馨

(大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室船舶工程學院,遼寧 大連 116024)

局部微分求積法的深水包絡孤立波數值模擬

張 弩,宗 智,于 馨

(大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室船舶工程學院,遼寧 大連 116024)

利用局部微分求積法(LDQ)對非線性薛定諤(Schr?dinger)方程進行數值求解,分別模擬了單深水孤立波運動,同向雙深水孤立波追趕碰撞耦合運動,高階孤立波振動和孤立波的反射與透射現象,得到各情況下的數值結果。從數值模擬及圖像中揭示非線性薛定諤方程的性質和特點,闡述深水孤立波形成的物理意義、運動方式和運動規律,分析在不同初值條件下波形的變化特點,驗證了LDQ法對該類問題的有效性。

局部微分求積法;孤立波;非線性薛定諤方程;數值模擬

Abstract:The nonlinear Schr?dinger equation describes the evolution of the envelope ofmodulated wave groups.This equation has soliton solutions.Numerical simulationsof Nonlinear Schr?dinger Equation are studied using localized differential quadraturemethod.Propagation of a deep-water soliton and interactionof two deep-water solitons in the same direction,the Higher-order soliton′s vibration and the soliton′s reflection and transmission are simulated.The numerical results of every case are obtained.The properties and characteristics of the nonlinear Schr?dinger equation areobtained from numerical simulationsand images.The physicalmeanings,motionmodesandmotion lawsof deep-water solitons are discussed.Thewaveform changes at different initial conditions are analyzed.The validity of LDQ method for solving this kind of problems is proved.

Key words:localized differential quadraturemethod;soliton;nonlinear Schr?dinger equation;numerical simulation

非線性薛定諤(Schr?dinger)方程描述了深水調幅波群的包絡隨時間的演化。該方程存在孤立波解。對非線性薛定諤波浪傳播方程的求解對于研究深水包絡孤立波具有重要的理論和實際意義。

關于某些特殊情況的非線性薛定諤方程的解析解,以及精確孤立波解,學者們提出了許多精巧的方法,如行波解法[1];Jacobi橢圓函數展開法[2];分數變換法[3];反散射方法[4];分步傅里葉法[5];齊次平衡法[6];李群約化法[7]等等。但非線性薛定諤方程作為一個非線性偏微分方程,在更一般的情況下無法求出解析解,因此需要進行數值分析探尋其數值解。

孤立波是一種特殊的水波,具有保持其波形和速度不變的特點,孤立波之間能發生強烈的相互作用,但相互作用后仍能保持其各自特點、形狀、速度不變。因此孤立波被稱為自然界的相干結構,反映了非線性系統中的驚人有序性,孤立波理論的產生與發展是非線性偏微分方程研究中的一個重要組成部分。正是由于孤立波是這樣一種非線性和色散的微妙平衡,在傳播過程中始終保持穩定的速度和形狀,所以對數值精度的要求很高,低精度的方法由于數值耗散,不能給出很好的結果。采用高精度的局部微分求積法(LDQ法)對其進行求解。

微分求積法(DQ法)的基本原理是Belman和Casti于1971年提出的[8],自提出以來DQ方法己被成功運用到許多工程物理中,其基本思想是函數對某一變量的偏導數可以由在此變量方向上所有離散點處的函數值的加權線性求和來逼近。這個方法數學原理簡單,計算精度高,計算量少,使用方便,不依賴泛函和變分原理,邊界條件不用另外考慮。但DQ法對不規則區域較難處理,對網格分布要求高,當節點增加到一定的數目時,系數矩陣會出現病態情況。為此學者們做了很多研究改進,簡單并且有效的改進方法是局部微分求積法(LDQ法)[9]。LDQ法的基本原理是將某點的導數近似為此點附近局部節點的函數值及其加權系數的線性組合。LDQ法在具有DQ法優點的同時,出現了帶狀稀疏矩陣,為不規則區域的處理提供了可能。利用LDQ法將非線性薛定諤方程進行空間離散后,再利用經典4階Runge-Kutta法在時域上離散,求得其數值解。

1 深水調幅波群的非線性薛定諤控制方程

深水調幅波群的非線性薛定諤方程表述[10]:

2 數值方法

LDQ方法基本思想是取與節點x(i)相近的m個節點(包括x(i))的函數值與其加權系數之和作為該節點的導數值。而其中的權系數不依賴于任何具體問題,只與網格剖分有關。該方法采用局部節點處理的方法,使其能夠適用于某些復雜區域問題,當節點增加到一定的數目時,系數矩陣也不會出現病態情況。

由于LDQ方法中節點的近似函數值只與附近節點的函數值有關,因而采用在DQ法中的Chebyshev節點等非均勻節點則無必要,一般采用均勻分布節點即可滿足精度要求。

LDQ方法的第一步是要找到所求節點的鄰域。我們用:

由式(14)、(15)加上適當的初始條件,利用經典4階Runge-Kutta法在時域上離散求得函數的數值解。

3 算例介紹

按以上數值方法編寫Fortran程序,求解下列不同情況下的算例。

3.1 單孤立波的運動及驗證

一種簡單的孤立波解可以表述[10]:

將式(18)作為初始條件,代入Fortran程序中應用LDQ法進行求解。對于LDQ法,節點數越多,數值結果越精確[11]。取總節點數N=400,局部節點數m=5,已足夠達到精確性要求。分別取t=0.0、1.0、2.0三個時刻的實部函數、虛部函數和包絡線函數的數值解與包絡線函數的解析解,函數圖像如圖1所示。

圖1 不同時刻時單孤立波的運動Fig.1 Themotion of a soliton at different times

從圖1中可以觀察到,孤立波在行進途中始終保持穩定的速度和形狀,不會分流成更小的波,也不會損失能量。孤立波能穩定傳播的原因,在于孤立波在傳播過程中同時存在色散效應和非線性的匯聚效應,且這兩種效應的傳播速度相反,當兩種作用達到某種平衡時,才能出現波形和速度穩定的孤立波。

比較圖1中包絡線函數的數值計算解與解析精確解,二者吻合得很好,可見數值解充分逼近精確解,從而驗證了數值計算的精確性。

3.2 兩同向孤立波追趕碰撞耦合運動

兩同向孤立波追擊耦合運動,取初始條件:

分別取兩孤立波的位置為-10.0與10.0處,按式(16),取ve1=8.0,ve2=2.0,φ0=1.0,q=2.0,則t=0時的初始條件:

將式(20)作為初始條件進行求解,取總節點數N=400,局部節點數m=5,得到各個時刻的函數圖像。取函數的實部f(x,t)演示,如圖2所示。

圖2 不同時刻時兩同向孤立波的耦合運動Fig.2 The interction of two deep-water solitons in the same direction at different times

根據圖2可以看出,波速較快孤立波的載體波數較多,兩孤立波追擊相遇后,耦合成一道大約2倍振幅的大波,但交匯過后,兩波又重新出現,逐漸分開,回復為碰撞前的形狀。孤立子在碰撞的時候不滿足一般線性波動的疊加原理,碰撞過程就像波速較快的孤波把波速較慢的孤波吞掉后,然后又把波速較慢的孤波吐了出來,并且各自都毫發無傷。這種現象很顯然的是一種非線性的疊加,這也正是孤立波最重要的性質之一。本例中所模擬的深水孤立波與KdV方程所描述的淺水孤立波不同,KdV方程所描述的兩淺水孤立波耦合后的合成波幅小于其中波幅較大者的幅度[12],而深水孤立波耦合后波幅會疊加增大。

3.3 高階孤立波

求解高階孤立波解的初始條件[13]:

系數M可為任意值,當M為整數時,為穩定孤立波,M=1時,為基本孤立波。取M=3的情況進行模擬,取總節點數N=400,局部節點數m=5,得到高階孤立波振動的圖像,取包絡函數進行演示,如圖3所示。

在輸入的初始條件為對稱性條件下,其輸出的孤立波以相同速度傳播。此時在群速度參考系中,所有孤立波的速度為零。當大量的孤立波以相同速度傳播時,其疊加振幅由于孤立波間的相位干涉而出現振動特性。振動將產生非常大的波幅。

高階孤立波在傳播中波形發生周期變化,對于M=3的三階孤立波在傳播中變化很復雜。如圖3,它在1/4周期(t=0.2)與3/4周期(t=0.6)處,形成了兩側各有一個小峰的高大尖峰,而在半周期處(t=0.4)那個高大的尖峰又分裂為兩個峰。

圖3 高階孤立波的振動(M=3)Fig.3 The higher-order soliton′s vibration(M=3)

3.4 孤立波的反射和透射

孤立波在遇到不同介質等引起的不均勻時,在界面處會將一部分反射,而另一部分將透射過去。

按式(16)取孤立波的初值,取ve=4.0,φ0=1.0,總節點數N=400,局部節點數m=5,設界面在x=10處,即令x≤10時,式(14)～ (16)中的q=2.0,x>10時,q=1.0。則得到孤立波入射到一個界面時的反射和透射的數值模擬,取函數的實部f(x,t)進行演示,如圖4所示。

圖4 不同時刻時孤立波的反射和透射Fig.4 The soliton′s reflection and transmission at different times

由圖4可見,孤立波入射到一個界面時,在界面處會將一部分折返回原介質,在原介質形成一個反向行進的反射波,而另一部分透射到另一介質,在另一介質中沿原來的方向繼續前進。由于反射波的能量耗散,相比于入射波,透射波的波幅減小。而透射波的波數相比于入射波增加,這是因為在介質的分界面上透射波發生了分裂。數值計算結果在物理上很好地解釋了孤立波的傳播,入射波分成了反射波和透射波,然后發生分裂的現象。

4 結 語

主要研究了局部微分求積法(LDQ法)對非線性薛定諤方程的孤立波解的數值求解。由于非線性孤立波在傳播過程中始終保持穩定的速度和形狀,對數值精度的要求很高。LDQ法采用局部節點處理的方法,計算精度高,計算量小,使其能夠勝任對非線性孤立波的求解。

分別模擬了單深水孤立波運動,同向雙深水孤立波追趕碰撞耦合運動,高階孤立波振動和孤立波的反射與透射現象,并得到了較好的數值結果,展示了深水孤立波的一些奇妙特性和運動規律,分析了在不同初值條件下波形的變化特點,也驗證了LDQ法對該類問題的有效性。

由于深水孤立波是一種非常復雜的非線性現象,此處只是一個初步的研究,在未來的工作中將致力于將1+1維的數值方法拓展到2+1維。

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Numerical simulationsof deep-water envelope solitons using localized differential quadrature(LDQ)method

ZHANGNu,ZONG Zhi,YU Xin
(School of Naval Architecture Engineering,State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian Universityof Technology,Dalian 116024,China)

TV139.2

A

1005-9865(2011)01-0041-06

2010-04-21

創新研究群體科學基金資助項目(50921001);國家重點基礎研究發展計劃資助項目(2010CB83270)

張 弩(1984-)男,遼寧本溪人,博士生,主要從事船舶與海洋工程水動力性能計算研究。E-mail:zhangnu@yahoo.cn