非線性模型的一階偏導數確定方法及其在TLS精度評定中的應用*

孔建 姚宜斌 黃承猛

(武漢大學測繪學院，武漢430079)

非線性模型的一階偏導數確定方法及其在TLS精度評定中的應用*

孔建 姚宜斌 黃承猛

(武漢大學測繪學院，武漢430079)

基于整體最小二乘(TLS)數據處理理論以及TLS迭代算法，利用泰勒公式確定非線性模型一階偏導數，推導了其誤差量級。并將該方法應用于TLS精度評定，提出了檢驗結果可靠性的方法，最后通過實驗驗證了該方法的可行性。

整體最小二乘;泰勒公式;一階偏導數;可靠性檢驗;迭代算法

AbstractOn the basis of the total least-squares(TLS)data processing theory and an iterative algorithm for TLS，first-order partial derivative of the nonlinear model was determined by using Taylor formula and the error magnitude of the results was derivated.The method was applied to the TLS precision evaluation，and the method for reliability testing is proposed.The experimental results verify the feasibility of the method in TLS precision evaluation.

Key words:Total Least-Squares(TLS);Taylor formula;first-order partial derivative;reliability testing;iterative algorithm

1 引言

測量數據處理需要解決兩方面的問題:一是要在某種估計準則下求出待估參數值;二是要評估出參數的精度。測量數據處理模型中函數模型表征了觀測量與參數之間存在的客觀聯系。函數模型往往是線性的，這一方面是與測量上常用的最小二乘平差方法有關，另一方面，測量數據處理中誤差傳播定律建立在線性模型的基礎上。對于非線性模型，測量上常采用線性化的方法，用函數的一階偏導數項近似表達函數模型［1，2］。

設計矩陣含有誤差下的平差問題在二維直線擬合模型中被多次提出，隨后被命名為整體最小二乘(TLS)問題。TLS的思想最早可以追溯至20世紀初，但直到1980年才由Golub和Van Loan共同完成其數學結構的研究，給出了基于矩陣的奇異值分解第一個數值穩定的算法—SVD方法［1］。近十幾年來，隨著科學計算方法的發展，國內外學者對TLS的可解性理論進行了深入的研究，各種解算整體最小二乘問題的方法層出不窮，常見的有SVD方法、完全正交方法、Cholesky分解法、迭代解法等［3－8］。

但目前TLS解算的參數很難給出可靠的精度信息，這成為制約TLS進一步在測量數據處理中應用的瓶頸問題［9］。本文在迭代法求解參數估值的基礎上，提出了待求參數關于觀測量一階偏導數確定策略，進而得到參數的精度信息，并通過實測算例驗證了策略的可行性，得到了一些有意的結論。

2 TLS迭代算法

TLS數據處理模型為

這一模型類似于經典的間接平差模型，但與經典模型不同的是，這時的平差模型考慮了系數矩陣的誤差。TLS問題求解的一種常用算法是迭代法［4］，迭代法的最大特點就是算法簡單。這種方法以迭代方程

為基礎建立。其中，Nb=E+^X^XT，L=(L1－d1L2－d2…Ln－dn)T，迭代過程可以按以下流程進行:

1)獲取未知參數的初值X0;

2)根據觀測值信息以及未知參數初值X0，取^B(0)=B，由式(2)求取未知參數的平差值^X(1);

3)根據Nb=E+^X^XT，求N(1)b=E+^X(1)^X(1)T;

4)根據求得的N(1)b、未知參數的平差值和觀測值信息，由式(3)求取設計矩陣平差值^B(1);

5)重復2)～4)步，直到兩次計算的參數值之差小于一定的域值，退出迭代，輸出結果。

迭代編程實現簡單，但是迭代法是對參數真值的逐步逼近，迭代方程往往非線性程度過高，給后續的精度評定帶來了困難，所以探討在迭代法基礎上TLS精度評定問題是有意義的。

3 TLS精度評定

3.1 非線性模型一階偏導數確定策略

復雜函數一階偏導數項確定問題，在數學、光學、熱力學等學科中經常碰，很多學者提出過各種算法［6，7］。本文在泰勒展開式的基礎上，提出一種新的確定一階偏導數的解析算法。設隱函數確定了Y與X1、X2…Xn之間的函數關系:

精度評定需要提取參數Y關于X1、X2…Xn觀測量的線性信息，這種線性信息可以用參數Y關于觀測量X1、X2…Xn的一階偏導數來表示，即:

所以精度評定的問題轉換成求取各項一階偏導數問題。對于現有的TLS參數估計公式而言，如使用迭代法，求取各項偏導數的工作量很大。

泰勒公式是處理復雜數學函數的有效工具，式(6)給出了多元函數的泰勒公式展開(以二元為例)。

定理設z=f(x，y)在點(x0，y0)的某一領域內連續且有直到(n+1)階的連續偏導數，(x0+h，y0+ k)為此領域內任一點，則有:

式(7)表明，對于多元函數如果在僅考慮單個自變量變化的情況下，它的泰勒級數展開式可以簡化為一元函數的形式。

對既定的函數F(z，x，y)=0或z=f(x，y)而言，給定x=x1，y=y1，可以準確確定z1的值;在保持y =y1值不變的情況下，變化參數x=x1+h，得到相應z值z=z2，進而得到z值的變化量Δz=z2－z1。把結果代入式(7)可以看到，由于x的變化量h是已知的，z是由給定的函數準確確定，帶回式(7)后得到的是一個包含n個未知數(n項偏導數)的方程。如果對x變化n個不同的h值，相應地可以得到n個方程，由于最后的拉格拉日余項很小，可忽略不計，那么從理論上而言，從得到的n個方程中可以解得相應的n項偏導數，解得的n項偏導數中就含有精度評定需要的一階偏導數。如果對所有的自變量進行上述過程的處理，就可以用解析方法得到因變量關于各項自變量的偏導數。

從理論上，上面得到的方程可以解算出所有需要的偏導數，但實際計算過程會引入一些計算誤差，一方面對于式(7)，實際計算不會考慮n階導數，另一方面解算結果也會受到計算機計算精度的影響，因為所取的h往往是一個微小量，從而導致求解各項偏導數方程的系數矩陣(即式(12)中的矩陣N)近乎病態，使得計算的穩定性較差。為了提高解算的精度，采用牛頓法進行處理，首先，令x=x1+h、y =y1可以得到:

式中ε1表示沒有考慮后面的高階導數項，在此基礎上，令x=x1－h、y=y1，可以得到:

這是數值計算中構造迭代方程常用的方法，這樣處理可以提高偏導數解算的精度，這一點可以從下面誤差項推導的結果中看到，在式(10)中雖然偏導數只寫了兩項，但是結果卻是考慮的4階偏導數的效果，通過實驗可以發現，這樣處理比直接使用式(7)計算得到的結果更加穩定。

實際計算中，式(10)最后的誤差項ε1－ε2是直接忽略掉的，下面討論忽略項ε1－ε2對最后結果的影響以及在使用上述方法計算一階偏導數時考慮求解階數與最后估計結果精度之間的關系，從而分析ε1－ε2對估計結果的影響。為了表達上的直觀，對x所取的變化量h在推導中用Δx表示。

將N的行列式帶入，用Δf1、Δf2分別表示忽略ε1－ε2而造成的估計一階，二階偏導數的誤差，可以得到Δf1、Δf2的具體形式:

因為x的變化量Δx，z的變化量Δz是準確已知不含誤差的，在不考慮計算機計算精度的情況下，Δf1、Δf2就是用上面原理計算所產生的計算誤差。從公式(18)可以看到:

1)在模型5階偏導數不為零的情況下，取Δx在10－3數量級，則Δf1計算誤差在10－12數量級，Δf2的計算誤差在10－6數量級。如果考慮ε1－ε2七階導數以后的項，對Δf1、Δf2的影響可以在5階項對其影響的基礎上再乘以Δx2，更高階項的影響依次類推，數量級會更小，可見在推導時僅考慮ε1－ε25階項是合理的。

2)從結果中可以看到，計算得到的Δf1遠比Δf2量級要小，即求得的偏導數精度依次下降，一階偏導數精度最高。

3)從計算結果可以看到Δf1的量級很小，如果再添加一階偏導數，仍取Δx在10－3數量級，Δf1量級會到10－20，甚至更小。

3.2 TLS精度評定及可靠性分析

由于得到的一階偏導數對最后參數精度評定結果有直接的影響，所以評定所得結果的可靠性顯得尤為重要。首先，由于參數估值滿足迭代方程的第一式:

在迭代退出時，所得參數估值、系數矩陣平差值滿足式(19)，符合的程度和迭代推出的條件有關。由式(19)可以得:

參數估值關于觀測向量L的偏導數可以由式(20)得到。所以可以通過求得的參數關于觀測向量的一階導數值與式(20)得到的一階導數值做差進行比較，用以檢測得到的偏導數的可靠性。

由于沒有考慮到式(4)的約束，式(20)求得的偏導數是不嚴密的，所以這一可靠性評定方法只能作為估計可靠性的一種參考。探測偏導數計算過程中是否含有粗差，本文將在算例部分進行說明。

4 算例分析

實驗數據采用某地變形監測的實測數據，觀測數據為某河流沿岸觀測點的水位值、溫度值，以及位移量，擬合模型如下:

其中S為位移量，h為水位值，t為溫度值，a、b為待擬合的參數。采用5組觀測數據進行擬合，用TLS原理采用迭代法計算得到參數值，這里直接給出:a =0.559 6，b=－0.129 9。

偏導數擬合實驗采用二階擬合，表1列出的是二階擬合得到的各項一階偏導數值，由于篇幅所限，僅列出參數a對15個觀測量的偏導數。表2列出的是按公式(19)計算得到的參數關于觀測向量的偏導數值，表中所列較差項是擬合值與按式(20)計算值之差。

表1 一階偏導數擬合值(單位:m)Tab.1Fitted values of first-order partial derivative(unit: m)

表2 一階偏導數計算值(單位:m)Tab.2Calculated values of first-order partial derivative (unit:m)

從表2所列的較差項中，可以看到兩種計算方法的結果最大不符值達到13 mm。本文進行所求偏導數可靠性估計時，并不把按式(20)得到的計算值當作真值，這是因為式(20)是在沒有考慮式(3)的基礎上得到的，計算結果是不嚴密的，僅能作為探測擬合值是否含有粗差的依據，這一點可以用下面的實驗說明。

用兩種方法得到的偏導數，做下面的預報實驗，并對結果進行對比。對上面不符較大的觀測量取擾動Δx，用式(21)進行參數值變化的預報:

將兩種方法得到的偏導數分別帶入式(21)進行預報，將得到的結果與參數的真實變化進行比較(表3)，實驗中選擇的5組數據分別是表2中較差較大的1

表3 不同方法得到的偏導數預報值(單位:m)Tab.3Forecast values with different methods(unit:m)

從表3可以看到，用式(20)計算得到的偏導數進行預報的結果沒有擬合得到偏導數的預報結果精度高。所以在實際操作中，用計算的偏導數進行偏導數可靠性檢驗時，只能檢驗擬合的結果中是否含有較大的擬合偏差，防止擬合過程中發生錯誤。

另外，在采用上述原理進行偏導數估計時，觀測量的擾動取多大量級，應該由觀測量自身精度所決定，應該和觀測量自身的誤差相匹配，這樣求得的偏導數用以精度評定是比較合理的。

表4中列出的是對迭代法求解參數精度評定的結果。為了便于比較，表中列出了用經典最小二乘方法求解得到的參數值以及精度。

表4 參數精度(單位:m)Tab.4Accuracies of parameters(unit:m)

從表4中可以看到，TLS和LS得到的參數精度相當，這是因為兩種算法求解參數的精度和觀測值的誤差分布和觀測值數目有關，在觀測精度較好的情況下，兩種解法的參數精度相當;但在觀測值精度較差的境況下，兩種算法會出現較大偏差［7］。另一方面，LS參數的協因數陣由法方程系數矩陣N求擬得到的，而N是由設計矩陣得到的，在設計矩陣B含有誤差的情況下，LS的精度沒有考慮到B中所含有的誤差，所以LS評定得到的只是參數的一個偽精度，表4中第3行給出了用設計矩陣平差值評定的LS參數的實際精度。

5 結論

在TLS迭代法的基礎上，推導了一種精度評定策略，并通過實驗驗證了算法的正確性，以及精度評定策略的可行性。從程序實現的角度來看，在已有的參數估計代碼基礎上，這種精度評定策略便于編程實現。

本文提供的TLS精度評定數值解法，完善了TLS精度評定理論上的缺陷，使TLS具有了工程實踐應用的理論基礎，對TLS的推廣應用是有意義的。

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METHOD FOR DETERMINING FIRST-ORDERPARTIAL DERIVATIVE OF NONLINEAR MODEL AND ITS APPLICATION IN TLS ACCURACY ASSESSMENT

Kong Jian，Yao Yibin and Huang Chengmeng
(School of Geodesy and Geomatics of Wuhan University，Wuhan430079)

P207

A

1671-5942(2011)03-0110-05

2011-01-23

國家自然科學基金(40774008，40721001);中央高?；究蒲袠I務專項

孔建，男，1987年生，碩士生，主要從事測量數據處理理論與方法研究.E－mail:liuhukj@163.com