兩種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換計(jì)算方法的比較*

潘國(guó)榮 周躍寅

(1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092) 2)現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092

兩種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換計(jì)算方法的比較*

潘國(guó)榮1，2)周躍寅1)

(
1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系，上海200092) 2)現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092

出于對(duì)目前常用的兩種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換模型的學(xué)習(xí)和理解，對(duì)原本適合于小角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的布爾莎模型進(jìn)行了拓展，使其適合于任意角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。將改進(jìn)后的7參數(shù)布爾莎模型與13參數(shù)的大角度模型，結(jié)合盾構(gòu)三棱鏡法解算盾首盾尾坐標(biāo)的工程實(shí)例，通過大旋轉(zhuǎn)角和小旋轉(zhuǎn)角兩組數(shù)據(jù)以及編程實(shí)現(xiàn)兩者的對(duì)比，并得出了結(jié)論。

多余觀測(cè);迭代平差解算;坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;盾構(gòu)坐標(biāo);布爾莎模型

Abstract For the purpose of the research on the two current main methods of coordinate transformation，I expanded the Burse transformation model which was only fit for narrow angle to fit any angle transformation.Improved Burse transformation model of 7 parameters and 13 parameters transformation model are studied.Associating an example of the shield calculating the coordinate by the mean of three prism calculation，We did the comparison and drew a conclusion through the two sets of data including wide-angle data and narrow-angle data and programming.

Key words:redundant observation;iteration adjustment;coordinate transfer;coordinate of shield;Burse transformation model

1 前言

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換在測(cè)量科學(xué)中是普遍存在的需求，無論是攝影測(cè)量的像空間坐標(biāo)系到設(shè)站坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，還是GPS解算基線換算到獨(dú)立坐標(biāo)系，或者在盾構(gòu)自動(dòng)導(dǎo)向中三棱鏡法解算盾首盾尾坐標(biāo)中都需要用到坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。目前，關(guān)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論大致可分為7參數(shù)的模型［1，2］與13參數(shù)模型［3］，本文將分析比較這兩種模型使用過程中的區(qū)別與特點(diǎn)，并通過編程加以實(shí)現(xiàn)對(duì)比。

2 數(shù)學(xué)模型

空間中同一點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中具有兩套不同的坐標(biāo)值(圖1)。假如現(xiàn)有n個(gè)點(diǎn)，其在兩個(gè)坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)值已知，在o-xyz中的坐標(biāo)為(xiyizi)T，在0'-x'y'z'中的坐標(biāo)為(x'i)T(i=1，2，…，n)。

圖1 兩個(gè)不同坐標(biāo)系Fig.1Two different coordinate systems

2.1 七參數(shù)模型

在七參數(shù)模型中，公共點(diǎn)之間的關(guān)系表示為:

式中，(xyz)T為兩坐標(biāo)系間的平移量，R(α)R00012(β)R3(γ)為3個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積，分別繞X軸旋轉(zhuǎn)α，繞Y軸旋轉(zhuǎn)β，繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ，μ為尺度參數(shù)，定義0'-x'y'z'為起始坐標(biāo)系，0-xyz為目標(biāo)坐標(biāo)系，其中:

需要特別指出的是:由于布爾莎模型對(duì)式(2)中的三角函數(shù)作了近似處理，所以在應(yīng)用上受到了限制，只能適合于小角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

本文對(duì)式(2)不作近似處理，而在構(gòu)成誤差方程進(jìn)行平差解算時(shí)，采取對(duì)式(1)在參數(shù)近似值處泰勒展開進(jìn)行線性化，如下:

將每次計(jì)算出的參數(shù)改正值(δx δy δz δμ δα δβ δγ)T加上上次計(jì)算時(shí)的參數(shù)近似值x0、y0、z0、μ0、α0、β0、γ0的和，作為本次參數(shù)近似值代入，第一次解算的近似值都設(shè)定為0，根據(jù)間接平差原理，

權(quán)陣P為單位陣，可以不斷迭代解出新的參數(shù)改正值，直到解算出的δx、δy、δz、δμ都小于10－5而且δα、δβ、δγ都小于10－7為止。

2.2 十三參數(shù)模型

與7參數(shù)模型類似，13參數(shù)的思路是將7參數(shù)模型中R1(α)R2(β)R3(γ)3個(gè)相乘的旋轉(zhuǎn)矩陣用R陣代替，R陣中包含有9個(gè)參數(shù)都設(shè)為未知參數(shù)a1、a2、a3、b1、b2、b3、c1、c2、c3，再加上一個(gè)尺度參數(shù)μ和3個(gè)平移參數(shù)x0、y0、z0一共是13個(gè)參數(shù)。

但是我們知道R陣是由R1(α)R2(β)R3(γ)3個(gè)矩陣相乘得來的，其中僅有3個(gè)參數(shù)是互相獨(dú)立的，現(xiàn)在設(shè)定了9個(gè)參數(shù)，則必定有6個(gè)條件方程來約束其余的6個(gè)非獨(dú)立參數(shù)。由于此R陣為正交矩陣，則必定存在如下條件:

因此可以用附有條件的間接平差法來解算，仍然需要通過求微分將誤差方程線性化:

3 工程實(shí)驗(yàn)

在地下工程自動(dòng)導(dǎo)向理論中，尤其是地鐵盾構(gòu)的精密定位，通常采取3棱鏡方法［4］，即在盾構(gòu)未開挖之前，用得到的3個(gè)棱鏡的標(biāo)定坐標(biāo)，解算出開挖過程中盾首盾尾的坐標(biāo)，并根據(jù)設(shè)計(jì)位置得出其偏差量。

為對(duì)比兩種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換效果，分別以兩坐標(biāo)系間大旋轉(zhuǎn)角和小旋轉(zhuǎn)角為區(qū)別采集了兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)都采用3個(gè)公共點(diǎn)，7參數(shù)模型中，觀測(cè)方程n=9，未知參數(shù)t=7，多余觀測(cè)數(shù)r=2;13參數(shù)模型中，誤差方程+條件方程一共有15個(gè)方程，未知參數(shù)為13個(gè)，則多余觀測(cè)數(shù)r仍為2。

以上海某條在建地鐵盾構(gòu)項(xiàng)目數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析。兩組棱鏡的坐標(biāo)位置如圖2所示。3個(gè)棱鏡在起始坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值分別為表1與表2所示。

圖2 采集數(shù)據(jù)大致位置Fig.2Approximate location of collected data

經(jīng)過編程解算，結(jié)果顯示:7參數(shù)模型和13參數(shù)模型解算出的平移參數(shù)和尺度參數(shù)在10－6級(jí)以上，分別解算出的R陣9個(gè)元素間在10－10級(jí)上都完全相同，即在指定限差內(nèi)，小角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和大角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換迭代解算出的轉(zhuǎn)換參數(shù)幾乎完全一致，單位權(quán)中誤差的解算按σ0=計(jì)算。以下是小角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換參數(shù)和大角度轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果，由于兩種模型解算出的結(jié)果完全一樣，因此只列出一個(gè)結(jié)果(表3及表4)。

由于所采集的數(shù)據(jù)來自盾構(gòu)施工線路上的兩個(gè)不同的位置，行進(jìn)路線基本是在XOY平面上繞Z軸

表1 小角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)值(單位:m)Tab.1Coordinates of coordinate transfer in narrow angle(unit:m)

表2 大角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)值(單位:m)Tab.2Coordinates of coordinate transfer in wide angle(unit:m)

表3 轉(zhuǎn)換參數(shù)解算結(jié)果Tab.3Results of transfer parameter solution

表4 兩坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)角度Tab.4Rotation angle between two coordinate systems

旋轉(zhuǎn)，所以繞X軸和Y軸旋轉(zhuǎn)的角度很小且接近，而區(qū)別則主要體現(xiàn)在繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角度γ上。旋轉(zhuǎn)角度也可以從R陣看出，若旋轉(zhuǎn)角度都很小，則旋轉(zhuǎn)陣R趨向于單位陣，即對(duì)角線上的元素趨向于1，其余元素趨向于零。以X軸旋轉(zhuǎn)角α為例，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α－sin α＜ε，ε為某一限差小量，即滿足在允許ε限差下有sinα≈α，cosα≈1，再由公式(2)中的3個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣連乘得到:

R=R1(α)R2(β)R3(γ)=

γ=0.000 208 545 7＜0.000 5，則可用布爾莎模型解算，表5列出了小角度中，利用7參數(shù)模型、13參數(shù)模型與布爾莎模型解算出的參數(shù)，從起始坐標(biāo)系到目標(biāo)坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果。

如果允許α與sinα之差在0.000 5弧度以內(nèi)認(rèn)為是相同的，則可利用式(13)中約等號(hào)右端的近似R陣列立誤差方程，這便是布爾莎模型的思路，可看作是滿足特定條件下的簡(jiǎn)化方程，本例小角度數(shù)據(jù)中的最大角γ滿足γ－sin

表5 利用解出的參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化結(jié)果(單位:m)Tab.5Results from coordinate transfer by using calculated parameters(unit:m)

從表5可見，解算出的參數(shù)完全相同，僅迭代次數(shù)略有差別(表6)。

表6 兩種模型的迭代次數(shù)Tab.6Iteration times with the two models

若采用相同的數(shù)據(jù)，在迭代收斂之前，迭代相同次數(shù)時(shí)7參數(shù)與13參數(shù)解算的結(jié)果如表7和表8所示。

可見，7參數(shù)模型在相同條件下能更快趨近最終結(jié)果。需要注意的是，如果迭代解算的初始值不同，會(huì)導(dǎo)致解算出的參數(shù)不一致(主要影響尺度參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù))，例如之前解算出的μ和R在改變迭代初值后，會(huì)得到一組新的μ'和R'，這些解算出的角度參數(shù)和尺度參數(shù)會(huì)同時(shí)不同，但都會(huì)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換最終結(jié)果不變的大前提下相互間自適應(yīng)而同時(shí)改變。例如，會(huì)在改變迭代初值時(shí)出現(xiàn)新解出的μ'滿足1+μ'=－(1+μ)，并且R'=－R，而平移參數(shù)卻不會(huì)改變。可以看出，利用新的解算參數(shù)，從起始坐標(biāo)系下的坐標(biāo)推算到目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，其結(jié)果是與利用之前的解算參數(shù)計(jì)算結(jié)果完全相同。

表7 小角度兩種模型迭代4次時(shí)的解算結(jié)果Tab.7Results from the iteration 4 times in narrow angle with two models

表8 大角度兩種模型迭代6次時(shí)的解算結(jié)果Tab.8Results from the iteration 6 times in wide angle with two models

4 結(jié)論

兩種參數(shù)模型解算過程中迭代次數(shù)不同的原因，主要是由于7參數(shù)模型是用多余兩個(gè)方程平差解算7個(gè)參數(shù)，而13參數(shù)模型同樣是利用多余兩個(gè)方程卻平差解算13個(gè)參數(shù)，多余觀測(cè)數(shù)所占總的方程比例7參數(shù)模型比13參數(shù)模型占優(yōu)。

總體來說，無論是7參數(shù)模型還是13參數(shù)模型，都可以解決任意角度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的問題，7參數(shù)模型參數(shù)少，但線性方程不好列;13參數(shù)模型線性方程比較容易列出，但參數(shù)過多，計(jì)算時(shí)內(nèi)存占用更大，不如7參數(shù)效率高。

1王解先，季凱敏.工業(yè)測(cè)量擬合［M］.北京:測(cè)繪出版社，2008.(Wang Jiexian and Ji Kaimin.Industrial surveying fitting［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2008)

2張宏.布爾莎－沃爾夫轉(zhuǎn)換模型的幾何證明［J］.測(cè)繪與空間地理信息，2006，29(2):46－47.(Zhang Hong.To prove Burse－Wolf conversion model with simple formula［J］.Geomatics＆Spatial Information Technology，2006，29 (2):46－47)

3陳義，沈云中，劉大杰.適用于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的一種簡(jiǎn)便模型［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版)，2004，29(12):1 101－1 105.(Chen Yi，Shen Yunzhong and Liu Dajie.A simplified model of three dimensional－datum transformation adapted to big rotation angle［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2004，29 (12):1 101－1 105)

4潘國(guó)榮，周瑩，張德海.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型在盾構(gòu)姿態(tài)計(jì)算中的應(yīng)用［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2006，(3):84－87.(Pan Guorong，Zhou Ying and Zhang Dehai.3D datum transformation model for determining orientation of shield in subway construction［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2006，(3):84－87)

COMPARISON BETWEEN TWO WAYS OF CALCULATION OF COORDINATE TRANSFER

Pan Guorong1，2)and Zhou Yueyin1)(
1)Department of Surveying and Geo－informatics，Tongji University，Shanghai200092) 2)Key Laboratory of Modern Engineering Surveying，SBSM，Shanghai 200092

P226+.3

A

1671-5942(2011)03-0058-05

2011-02-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(40674010);“十一五”科技支撐項(xiàng)目(2006BAC01B02－02－02，05)

潘國(guó)榮，男，1960年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y(cè)量、工業(yè)測(cè)量與測(cè)量數(shù)據(jù)處理.E－mail:pgr2@163.com