結構系統靜強度與疲勞耦合可靠性的當量壽命分析

趙維濤,姚東林

(沈陽航空工業學院 航空宇航工程學院,遼寧 沈陽 110136)

0 引言

由于結構載荷的復雜性,大多數結構將同時承受靜載荷和疲勞載荷的共同作用,結構系統中的元件可能出現靜強度失效,可能出現疲勞破壞。由于元件靜強度失效和疲勞失效間存在一定的相關性,如元件靜強度失效將導致該元件剛陣減縮、結構內力重分配等,這些都會影響其他未失效元件的應力水平,進而影響未失效元件的疲勞壽命;同樣元件疲勞破壞也會導致結構內力重分配,另外疲勞載荷的作用會使結構材料性能下降(如極限強度衰減),這些因素必將影響元件靜強度可靠性。因此,有必要對結構系統靜強度和疲勞進行耦合分析。文獻[1]討論了結構系統靜強度與疲勞失效機理,認為強度失效是瞬間完成,并認為它與其前一級失效為同時發生。文獻[2～4]討論了結構系統靜強度與疲勞失效機理,并提出了當量壽命概念,但未對當量壽命作詳細討論。本文在此基礎上基于累積損傷對當量壽命作進一步討論,綜合蒙特卡羅方法確定當量壽命的概率分布形式,并提出簡化處理方法。

1 當量壽命概念

在使用過程中,結構的極限強度為逐漸衰減[5]。文獻[6]給出了結構極限強度與累積損傷度間的關系為

式中：σ為極限強度;σ0為初始極限強度;D為累積損傷度。

根據Miner累積損傷理論,可建立累積損傷度與疲勞壽命的對應關系,結構系統中元件的疲勞壽命可表示為

式中：T為元件的疲勞壽命;Δ為元件發生疲勞破壞時的累積損傷度;A為疲勞強度的不確定性;B為計算過程中模型的不確定性;Ω為應力參數(確定量);m為N-S曲線中的參數(確定量)[7-8]。由式(2)可得任意時間t內元件的累積損傷度

將式(3)代入式(1),有

在結構靜強度可靠性分析時,元件的安全余量可表示為

式中：σ′為該元件所受應力,即計算應力,可由有限元求得。

在結構疲勞可靠性分析時,元件的安全余量可表示為

式中：TD為設計壽命。

結構系統失效過程中,由于疲勞載荷的作用,需計算每個元件在何時失效,以便計算在此時間內疲勞載荷對其他元件的累積損傷。若元件疲勞失效,其失效時刻的計算可參見文獻[7];若元件靜強度失效,則令該元件靜強度安全余量(式(5))等于零,求得相應的壽命

則當量壽命

2 當量壽命分析

式(8)可變為

式中：Δ′為當量損傷,且Δ′=1-σ′/σ0。

在疲勞可靠性分析中,一般認為A,B,Δ均服從對數正態分布;m,Ω為常量[7]。由式(2)可知,元件的T顯然服從對數正態分布,這便于可靠性分析。由Δ′的表達式可知,若Δ′服從對數正態分布,則t亦服從對數正態分布,但Δ′的分布形式主要取決于該元件計算應力σ′和初始極限強度σ0,其中σ′的分布較難確定。若考慮實際的σ′,σ0的分布,t的分布形式將很難確定,這使得在可靠性分析過程中需進行當量正態轉換(即RF轉換),雖然RF算法有較好的通用性,但會對大型結構的結構可靠性分析帶來困難。為此,本文討論Δ′服從不同分布時對t和元件失效概率的影響。由式(9)可得ln t=lnΔ′+ln A-m ln B-lnΩ,因lnΩ為常數,不影響t的分布形式,因此只需討論Y的分布即可。有

用蒙特卡羅法,通過各變量的概率分布產生隨機數,統計Y的分布形式,從而確定t的分布形式。設蒙特卡羅數量n=1 000 000,取各變量的中值和變異系數為A=1.15×1012,δA=0.3,B=1.0,δB=0.1,并均服從對數正態分布,m=3[7]。

2.1 Δ′服從正態分布和極值I型分布

2.1.1 Δ′服從正態分布

2.1.2 Δ′服從極值I型分布

同樣假定Y服從正態分布,采用同2.1.1的分析方法,給出了Y的均值和標準差以及95%的置信區間,見表2,其概率密度如圖2所示。由分析結果可知：當Δ′服從極值I型分布時,Y服從正態分布,即t服從對數正態分布。

表1 Δ′服從正態分布時Y的分布形參數Tab.1 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys normal distribution

表2 Δ′服從極值Ⅰ型分布時Y的分布參數Tab.2 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys I extreme value distribution

圖1 Δ′服從正態分布時Y的概率密度Fig.1 Probability density of Y whenΔ′obeys normal distribution

圖2 Δ′服從極值Ⅰ型分布時Y的概率密度Fig.2 Probability density of Y whenΔ′obeys I extreme valuedistribution

分析發現：Δ′服從正態分布和極值I型分布時,Y均服從正態分布形式,即t服從對數正態分布。為與Δ′服從對數正態分布進行比較,根據表1、2,Δ′服從對數正態分布、正態分布和極值I型分布時Y的均值和變異系數分別如圖3、4所示。由圖可知：Δ′服從對數正態分布、正態分布和極值I型分布時,Y的均值和變異系數相近。

圖3 Δ′服從不同分布時Y的均值Fig.3 Mean of Y whenΔ′obeys different distribution

圖4 Δ′服從不同分布時Y的變異系數Fig.4 Variability coefficient of Y when Δ′obeys different distribution

2.1.3 算例1

設有2個元件,元件1在當量壽命t1時靜強度失效,則元件2的疲勞安全余量可表示為

式中：Ω1,Ω2分別為結構中沒有失效單元時單元1、2的應力參數;Ω2/1為單元1失效后單元2的應力參數。

假定Δ′服從對數正態、正態和極值I型不同分布形式,并有相同均值和變異系數,用蒙特卡羅法計算M2/1對應的失效概率。取n=1 000 000,Ω1=400,Ω2=200,Ω2/1=500,δΔ′=0.2,TD=20年,計算所得結果見表3。表中：相對誤差是相對Δ′服從對數正態分布的值。由表可知：雖然Δ′服從不同的分布形式,但所對應的失效概率相近,相對誤差均小于5%,說明當Δ′服從正態和極值I型分布時,只要獲得其均值和標準差,就可近似用Δ′服從對數正態分布計算可靠性,簡化計算過程,提高計算效率。

2.2 Δ′服從威布爾分布

由Δ′的表達式可知,μΔ′大于零符合實際,因此假設威布爾分布中的位置參數為零,即認為Δ′服從二參數的威布爾分布,其概率密度函數

式中：η為尺度參數;ξ為形狀參數。

取不同的尺度參數和形狀參數對Y的分布進行統計分析,并對Y服從正態分布與否進行假設檢驗,分析結果見表4。由表4可知：當Δ′服從威布爾分布時,Y多數不服從正態分布,即t不服從對數正態分布。

為與Δ′服從對數正態分布比較,用方法1、2計算所得Y的均值和變異系數分別如圖5、6所示。此處：方法1中按Δ′服從威布爾分布;方法2中Δ′服從對數正態分布,兩種方法的均值和均方差相同。由圖可知：僅當ξ=1即Δ′服從指數分布時,方法1、2算得的Y均值和變異系數略有不同,其他情況下兩種方法算得的結果相近。用方法1、2對算例1進行計算,結果見表5。表中：相對誤差為方法2相對方法1的值。

表3 Δ′服從不同分布形式的失效概率Tab.3 Failure probability whenΔ′obeys dif ferent distribution

表4 Δ′服從威布爾分布的計算結果Tab.4 Results whenΔ′obeys Weibull distribution

3 結束語

本文基于元件靜強度失效時對應的當量壽命,提出了對應的當量損傷概念。用蒙特卡羅分析方法討論了當量損傷服從不同分布時當量壽命的分布形式。結果表明：當量損傷服從對數正態分布、正態分布和極值I型分布時,當量壽命均服從對數正態分布,且統計參數(均值和變異系數)相近;當量損傷服從威布爾分布時,多數情況下當量壽命不服從對數正態分布。但算例表明,除ξ=1(即指數分布)外,所得失效概率誤差較小,均小于5%;當ξ=1時,失效概率誤差較大。由表5可知此時對應的失效概率較小,即小失效概率時失效概率誤差較大,當失效概率逐漸增大時,失效概率誤差逐漸減小,在失效概率相對較大時誤差小于5%,屬可接受。另外由于當量損傷的概率分布取決于計算應力和初始極限強度,一般不服從指數分布。綜上所述,在多數情況下可不必考慮當量壽命的具體分布形式,直接認為當量壽命服從對數正態分布進行當量壽命分析即可,可避免當量正態轉換,簡化了結構系統靜強度和疲勞耦合可靠性的計算過程,提高計算效率。

表5 方法1、2對算例1的計算結果Tab.5 Results of example 1 using method 1 and method 2

圖6 Δ′服從威布爾分布時Y的變異系數Fig.6 Variability coef ficient of Y whenΔ′obeys Weibull distribution

[1]趙維濤,安偉光,吳香國.桿系結構靜強度和疲勞失效機理及可靠性分析[J].力學學報,2005,37(5)：662-666.

[2]AN W G,ZHAO W T,AN H.Reliability analysis of stochastic structural system considering static strength,stiffness and fatigue[J].Science in China Series G：Physics,Mechanics&Astronomy,2007,50(3)：357-369.

[3]趙維濤.飛行器結構可靠性分析與優化設計研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學,2006.

[4]顧永維,安偉光,安 海.靜載和疲勞載荷共同作用下的結構可靠性分析[J].兵工學報,2007,28(12)：1473-1477.

[5]貢金鑫,趙國藩.考慮抗力隨時間變化的結構可靠度分析[J].建筑結構學報,1998,19(5)：43-51.

[6]貢金鑫,趙國藩.結構疲勞累積損傷與極限承載能力可靠度[J].大連理工大學學報,2002,42(6)：714-718.

[7]胡毓仁,陳伯真.船舶及海洋工程結構疲勞可靠性分析[M].北京：人民交通出版社,1996.

[8]董 聰.現代結構系統可靠性理論及其應用[M].北京：科學出版社,2001.