用Timoshenko梁修正理論研究功能梯度材料梁的動(dòng)力響應(yīng)

吳 曉， 羅佑新

(湖南文理學(xué)院，常德 415000)

功能梯度材料是基于一種全新的材料設(shè)計(jì)概念合成的新型復(fù)合材料［1－10]，日本科學(xué)家于20世紀(jì)80年代末年提出了功能梯度材料的概念［11]，即根據(jù)具體的要求，選擇使用兩種不同性能的材料，通過(guò)連續(xù)平滑地改變兩種材料的組織和結(jié)構(gòu)，使其結(jié)合部位的界面消失，從而得到功能相應(yīng)于組織變化而變化的均質(zhì)材料，最終減小或消除結(jié)合部位的性能不匹配因素。功能梯度材料梁的力學(xué)性能引起了工程設(shè)計(jì)人員的極大關(guān)注，有關(guān)研究功能梯度材料梁的文獻(xiàn)都沒(méi)有確定功能梯度材料梁的中性軸真實(shí)位置，而是假設(shè)了功能梯度材料梁中性軸位置在距離梁上表面二分之一處，然而一般功能梯度材料僅是功能相應(yīng)于組織變化而變化的均質(zhì)材料，功能梯度材料梁中性軸位置不在距離梁上表面二分之一處，這種研究方法顯然是具有局限性的?；谏鲜鲈?，本文首先確定了功能梯度材料梁的中性軸位置，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用Timoshenko梁修正理論建立了功能梯度材料梁的振動(dòng)方程，討論了有關(guān)因素對(duì)功能梯度材料梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。因?yàn)榻?jīng)典Timoshenko梁理論建立的運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間和空間的四階微分方程，導(dǎo)致存在兩個(gè)實(shí)頻率系。文獻(xiàn)［12，13] 對(duì)Timoshenko梁的振動(dòng)方程進(jìn)行了修正，修改了Timoshenko梁理論的不足之處，證明了Timoshenko梁實(shí)際上僅有一個(gè)固有頻譜。因此，本文采用Timoshenko梁修正理論研究了泡沫鋁合金梁的動(dòng)力特性。

1 振動(dòng)微分方程

對(duì)于功能梯度材料梁，其下側(cè)為金屬材料，上側(cè)為陶瓷材料，中間為兩種材料組成的混合物。由于金屬材料與陶瓷材料的泊松比相近，可令它們的泊松比均為μ。設(shè)金屬材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Em、Gm、ρm，陶瓷材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Ec、Gc、ρc，則梁內(nèi)任一點(diǎn)的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為:

式中，E1=Em－Ec，G1=Gm－Gc，ρ1=ρm－ρc，Vm為金屬材料組分的體積比例系數(shù)。

假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)建立在功能梯度材料梁的中性軸上，設(shè)功能梯度材料梁中金屬材料組分的體積比例系數(shù)為梁厚方向坐標(biāo)z的冪函數(shù)為:

式中，k為梯度指數(shù)，z0為梁中性軸真實(shí)位置與有關(guān)文獻(xiàn)假設(shè)距梁上表面二分之一處的中性軸之間的距離。

根據(jù)Timoshenko梁修正理論假設(shè)φ為梁截面彎曲轉(zhuǎn)角，y為梁的撓度，可知功能梯度材料梁的應(yīng)力表達(dá)式為:

功能梯度材料純彎曲時(shí)橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足下式:

把式(1)、式(2)代入式(4)中可以得到:

利用式(3)可得功能梯度材料梁的彎矩、剪力表達(dá)式為:

式中，μ為剪切因子，

對(duì)于圖1所示在橫向動(dòng)荷載作用下的功能梯度材料梁，參閱文獻(xiàn)［12－14] 可知功能梯度材料梁采用Timoshenko梁修正理論得到振動(dòng)微分方程為:

圖1 功能梯度材料梁Fig.1 Beam with functionally graded materials

式中:

把式(6)代入式(7)中可以得到:

把式(8)解耦后可得修正Timoshenko梁振動(dòng)方程為:

2 功能梯度材料梁動(dòng)力響應(yīng)

2.1 自由振動(dòng)的解

令功能梯度材料梁的自由振動(dòng)位移及外載荷分別為:

把式(10)代入式(9)中可以得到:

式中，

由式(11)可以求得功能梯度材料梁振型函數(shù)為:

式中:

以簡(jiǎn)支梁為例，可知功能梯度材料梁的邊界條件為:

利用式(12)、式(13)可以求得功能梯度材料梁的自振頻率為:

所以，功能梯度材料簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)位移為:

2.2 強(qiáng)迫振動(dòng)的解

令式(9)的解為:

假設(shè)式(11)在簡(jiǎn)支梁的邊界條件下，對(duì)應(yīng)于ωi和ωj的兩個(gè)振型函數(shù)為Yi(x)和Yj(x)，把式(16)代入式(11)中，于是有:

將式(17)乘以Yj(x)、式(18)乘以Yi(x)，然后把所得的兩個(gè)乘式相減，再沿梁全長(zhǎng)積分，注意在積分式中代入鉸支座邊界條件，即得所需要的正交性方程式:

把式(16)及簡(jiǎn)支梁振型函數(shù)代入式(9)中并應(yīng)用式(19)可以得到:

假設(shè)分布荷載q(x，t)在時(shí)間上與空間上可分離，可令:

把式(21)代入式(20)中積分可得:

設(shè)功能梯度材料梁的初始條件為:

由式(23)可以確定:

若作用在梁上的外擾力為沿梁長(zhǎng)為均勻分布的簡(jiǎn)諧干擾力 q(x，t)=q0sinΩt，利用式(22)可以求得:

若在簡(jiǎn)支梁x=l0處作用有一簡(jiǎn)諧干擾力P0sinΩt，則有 q(x，t)=P0δ(x － l0)，利用式(22)可以得到:

3 算例分析及討論

為了分析簡(jiǎn)支功能梯度材料梁的動(dòng)力特性，取梁長(zhǎng) l=1 m，b=0.22 m，h=0.27 m，l0=0.5 m，Ω =8 rad/s。金屬材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為 Em=70 GPa、Gm=26.92 GPa、ρm=2.7 ×103kg/m3。陶瓷材料的彈性模量、剪切彈性模量、密度分別為Ec=380 GPa、Gc=146.15 GPa、ρc=2.5 × 103kg/m3、μ =5/6。

分別采用有限元和本文方法計(jì)算簡(jiǎn)支功能梯度材料梁固有頻率值，計(jì)算結(jié)果如表1所示。在圖2—圖5中假設(shè)初始條件 Ti(0)、(0)皆等于零時(shí)，采用及式(25)、式(26)進(jìn)行計(jì)算得到了簡(jiǎn)支功能梯度材料梁中點(diǎn)處的動(dòng)力曲線。具體計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)表1及圖2—圖5。

圖2 動(dòng)力響應(yīng)曲線(q0=1 000 N/m，k=0.5)Fig.2 The dynamic responsecurve(k=0.5)

圖3 動(dòng)力響應(yīng)曲線q0=1 000 N/mFig.3 The dynamic response curve

圖4 動(dòng)力響應(yīng)曲線(P0=1 000 N，k=0.5)Fig.4 The dynamic response curve(k=0.5)

圖5 動(dòng)力響應(yīng)曲線(P0=1 000 N)Fig.5 The dynamic response curve

表1 簡(jiǎn)支功能梯度材料梁固有頻率ωi(rad/s)Tab.1 Natural frequency of simply supported beam with functionally graded materials

由表1可以知道采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算的固有頻率與有限元法計(jì)算的固有頻率非常接近。這說(shuō)明采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算梁的固有頻率是比較合理的。

由表1及圖3、圖5可以看出，隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁固有振動(dòng)頻率將變大。而隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁在均布載荷作用下動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將變大、在集中載荷作用下動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將變小。

由表1及圖2、圖4還可知道，如按有關(guān)文獻(xiàn)不確定功能梯度材料梁中性軸的真實(shí)位置，而是假設(shè)功能梯度材料梁相對(duì)于中性面具有幾何和彈性對(duì)稱(chēng)，來(lái)研究功能梯度材料梁的固有振動(dòng)及動(dòng)力響應(yīng)，得到的固有頻率將偏大。同時(shí)確定功能梯度材料梁中性軸的真實(shí)位置后，在均布載荷作用下功能梯度材料梁動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將偏大，而在集中載荷作用下功能梯度材料梁動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將偏小。所以，功能梯度材料梁中性軸位置對(duì)功能梯度材料梁的固有振動(dòng)及動(dòng)力響應(yīng)有較大的影響，這一點(diǎn)由由表1及圖2～圖5看出。

4 結(jié)論

由以上分析可以得到以下結(jié)論:

(1)采用Timoshenko梁修正理論計(jì)算梁的固有頻率是比較合理的。

(2)隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁固有振動(dòng)頻率將變大。而隨著梯度指數(shù)k增大功能梯度材料梁在均布載荷作用下動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將變大、在集中載荷作用下動(dòng)力響應(yīng)曲線的幅值將變小。

(3)功能梯度材料梁中性軸位置對(duì)功能梯度材料梁的固有振動(dòng)及動(dòng)力響應(yīng)有較大的影響。

［1] Zhong Z，Yu T.Vibration of a simply supported functionally graded piezoelectric rectangular plate［J] .Smart Mater Struct，2006，15:1404 －1412.

［2] Zhong Z，Shang E T.Three－ dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate［J] .Int JSolids Struct，2003，40(20):5335 －5352.

［3] 尚爾濤，仲 政.功能梯度熱釋電材料平板柱形彎曲問(wèn)題的精確解［J] .應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20(4):122 －125.

［4] Chen W Q，Ding H J.On free vibration of a functionally graded piezoelectric plates ［J] .Acta Mechanica，2002，153－207.

［5] Wu X H，Chen C Q，Shen Y P，et al.A high order theory for functionally graded piezoelectric shells［J] .Int J Solids Struct，2002，39(20):5325 －5344.

［6] 王鐵軍，馬連生，石朝鋒.功能梯度中厚圓/環(huán)板軸對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題的解析解［J] .力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(3):348 －353.

［7] 馬連生，趙永剛，楊靜寧.功能梯度圓板的軸對(duì)稱(chēng)非線性分析——大撓度問(wèn)題［J] .蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，30(6):139－142.

［8] 馬連生，趙永剛，楊靜寧.徑向壓力作用下功能梯度圓板的過(guò)屈曲［J] .蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(4):158 －161.

［9] 沈惠申.功能梯度復(fù)合材料板殼結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲和振動(dòng)［J] .力學(xué)進(jìn)展，2004，34(1):53 －60.

［10] 劉 進(jìn)，武蘭河，張曉煒.功能梯度材料板的彎曲問(wèn)題［J] .石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，16(2):1 －5.

［11] 陳 镕，鄭海濤，薛松濤，等.無(wú)約束Timoshenko梁橫向沖擊響應(yīng)分析［J] .應(yīng)用力學(xué)和數(shù)學(xué)，2004，25(11):1195－1201.

［12] 陳 镕，萬(wàn)春風(fēng)，薛松濤，等.Timoshenko梁運(yùn)動(dòng)方程的修正及其影響［J] .同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，33(6):711－715.

［13] 陳 镕，萬(wàn)春風(fēng)，薛松濤，等.無(wú)約束修正Timoshenko梁的沖擊問(wèn)題［J] .力學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(2):262 －268.