主軸系統(tǒng)結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性的影響分析

汪 博， 孫 偉， 太興宇， 聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110004)

主軸系統(tǒng)是數(shù)控機床的核心部件之一，其動力學特性直接影響數(shù)控機床的加工精度、表面粗糙度和工作效率。因而圍繞主軸系統(tǒng)動力學特性的設計與分析受到了企業(yè)界及學術界的廣泛關注［1]。

以高檔立式加工中心為例，其主軸系統(tǒng)通常包括主軸箱、電主軸、軸承、刀柄、刀具等。主軸系統(tǒng)中存在著主軸－軸承、主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面，而這些結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性有著顯著的影響。目前，學者們圍繞主軸系統(tǒng)結合面建模、測試以及考慮結合面的振動特性分析，做了大量的工作，且取得了很多成果。例如:文獻［2] 介紹了Li所建立的主軸－軸承系統(tǒng)動力學模型，該模型包含了一個綜合的軸承動態(tài)模型、一個主軸動態(tài)模型和一個熱模型，能很好地計算軸承的熱膨脹及其引起的動態(tài)特性。文獻［3] 基于Hertz接觸力模型，將主軸－滾動軸承系統(tǒng)簡化為六自由度系統(tǒng)，討論在非平衡力作用下，主軸－軸承系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性。文獻［4] 采用Jones’軸承模型對主軸軸承進行了建模與分析，利用有限元法對主軸系統(tǒng)進行了動力學建模，通過此模型可以預測軸承剛度、模態(tài)振型、頻響函數(shù)以及主軸各部分的動力學響應。文獻［5] 利用彈性阻抗耦合理論建立主軸－刀柄－刀具系統(tǒng)的運動方程，通過測試刀尖點頻響函數(shù)，反推出主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面的復剛度矩陣，辨識出了結合面的動力學參數(shù)。

從以上研究可以看出，主軸系統(tǒng)結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性有著顯著的影響，這已經得到公認。但是這些結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性究竟有何影響還未得到確認。而獲得這個影響規(guī)律，對于主軸系統(tǒng)動力學設計與性能預估都有著重要的意義。

本文主要采用有限元方法分析主軸系統(tǒng)各結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性的影響規(guī)律。以某立式加工中心主軸系統(tǒng)為對象，詳細描述了利用有限元法對其進行動力學建模的過程。在此基礎上，采用對比分析，研究了結合面特性對該主軸系統(tǒng)固有特性和刀尖點頻響函數(shù)的影響規(guī)律。本文研究也可為主軸系統(tǒng)動力學特性及穩(wěn)定性預估提供參考。

1 主軸系統(tǒng)有限元建模

對主軸系統(tǒng)有限元建模，按選取單元的不同，可以分為兩種方法，分別是采用實體單元的建模法和采用簡化單元(例如梁單元和管單元)的建模方法。實體模型建模法，便于考慮主軸結合面的空間分布特性，得到了廣泛應用，例如文獻［6] 。而簡化模型具有分析方便、運算快捷，而且還可以考慮復雜的剪切效應，同樣也是重要的分析手段。這里考慮分析的方便性，利用簡化模型對某立式加工中心主軸系統(tǒng)進行有限元建模。

1.1 主軸有限元建模

某立式加工中心主軸系統(tǒng)如圖1所示。采用簡化模型法時，可將主軸系統(tǒng)劃分成若干軸段，并假設主軸系統(tǒng)的質量是均勻的。主軸系統(tǒng)幾何尺寸見表1所示。假設主軸、刀柄、刀具為同一材料，具體的材料參數(shù)為:楊氏模量 E=2.06 ×1011N/m，泊松比 μ =0.3，密度 ρ=7 800 kg/m3。

圖1 某立式加工中心主軸系統(tǒng)Fig.1 The spindle system of vertical machining center

本文利用ANSYS軟件進行主軸系統(tǒng)的有限元建模，選用Pipe16管單元。Pipe16管單元是基于三維梁單元，根據(jù)對稱性和標準管幾何尺寸進行簡化，具有拉壓、扭轉和彎曲性能，該單元在每個節(jié)點有6個自由度，沿節(jié)點X，Y，Z方向的平移和繞節(jié)點X，Y，Z軸的旋轉。同時賦予這些單元截面實常數(shù)，模擬主軸、刀柄、刀具各軸段的動力學特性及結構。

當?shù)侗迦胫鬏S、刀具插入刀柄時，假設刀柄和刀具與主軸和刀柄結合的部分分別與主軸和刀柄剛性地連接在一起，構成修正后的主軸系統(tǒng)。主軸、刀柄、刀具的尺寸也因此而改變。

表1 主軸系統(tǒng)幾何參數(shù)Tab.1 Geometrical parameter of spindle system

1.2 主軸系統(tǒng)結合面建模

在建立主軸、刀柄和刀具模型的同時，也要考慮對主軸－軸承、主軸 －刀柄、刀柄 －刀具結合面進行處理。

對于電主軸的角接觸軸承，將其簡化為彈性支承;假設軸承平動剛度為定值，不隨軸承負載和轉速而變化，轉動剛度為零。該主軸前后各兩個軸承支承的空間位置分布見表2。

表2 軸承在主軸系統(tǒng)中的空間位置分布Tab.2 Distribution of the bearing on spindle system

針對主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面，用彈簧阻尼單元來模擬修正后的主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面動態(tài)特性(包括平動和轉動)。對照同類主軸系統(tǒng)確定上述結合面的剛度，如表3所示。

表3 主軸系統(tǒng)結合面剛度Tab.3 Dynamical properties of the bearings and interfaces

選用MATRIX27單元模擬主軸系統(tǒng)結合面(軸承、主軸－刀柄、刀柄－刀具)的平動剛度和轉動剛度。MATRIX27單元連接2個節(jié)點，每個節(jié)點有6個自由度，該單元是12×12的矩陣，可表示為:

模擬結合面動力學特性時，只需將矩陣中對應元素賦以相應的值，以主軸－刀柄結合面為例，其在Y，Z方向有平動剛度，在繞Y，Z旋轉方向有轉動剛度，輸入實常數(shù)分別為:C13=C64=6×107，C19= －6×107，C24=C69=6 ×107，C30= －6 ×107，C43=C76=2 ×106，C49= －2 ×106，C51=C78=2 ×106，C57= －2×106。

綜上，經過簡化處理的主軸系統(tǒng)，利用ANSYS軟件完成建模，共劃分91個單元，92個節(jié)點，如圖2所示，其中刀尖節(jié)點編號為88。

圖2 主軸系統(tǒng)有限元模型Fig.2 The finite element model of spindle system

2 主軸系統(tǒng)結合面對主軸系統(tǒng)固有特性的影響

目前對主軸系統(tǒng)固有特性的研究時，大多只考慮軸承結合面，而忽略了主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面的影響，但在實際的機床主軸系統(tǒng)中，主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性的影響是客觀存在的。這里對比分析了僅考慮軸承結合面及考慮全部結合面對主軸系統(tǒng)固有特性的影響。

2.1 結合面對主軸系統(tǒng)固有特性的影響

在僅考慮主軸－軸承結合面情況下，假設主軸－刀柄、刀柄－刀具之間是剛性連接;而考慮全部結合面時，將主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面的平動剛度和轉動剛度引入到系統(tǒng)模型中。將兩種情況下前8階固有頻率列于表4;對應的僅考慮主軸－軸承結合面時的前四階振型見圖3;考慮全部結合面的前四階振型見圖4，其中前兩階為剛體振型，后兩階為彈性體振型。

表4 兩種情況下主軸系統(tǒng)前8階固有頻率(Hz)Tab.4 The first eight order inherent frequencies under two different situations(Hz)

圖3 僅考慮主軸－軸承結合面時主軸系統(tǒng)模態(tài)振型Fig.3 The modal shape of spindle system with only spindle-bearing interface

2.2 影響分析

通過對比固有頻率值及振型可以看出:

(1)主軸－軸承結合面動力學特性僅影響主軸系統(tǒng)剛體模態(tài)，不影響彈性模態(tài);

(2)主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面對主軸系統(tǒng)的彈性模態(tài)影響較為明顯;

圖4 考慮全部結合面時主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)振型Fig.4 The modal shape of spindle system with all interfaces

(3)主軸系統(tǒng)中考慮全部結合面的動力學特性(包括平動剛度和轉動剛度)之后，主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)的固有頻率值明顯降低。

3 主軸系統(tǒng)結合面對主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響

3.1 刀尖點頻響函數(shù)的含義

主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)是指在一定的頻率范圍內對主軸系統(tǒng)刀尖點激勵，同時在刀尖點識振，通過兩者的比值獲得的頻響函數(shù)，又可以稱之為刀尖點的原點頻響或直接頻響，其表達式對應著頻響函數(shù)矩陣中的一個元素，可以表示為

由主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)可以得出系統(tǒng)的固有頻率、動剛度(頻響函數(shù)的倒數(shù))以及對主軸系統(tǒng)穩(wěn)定性做出評價，因而，獲得主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)有著重要的意義。

用有限元法來求解主軸系統(tǒng)刀尖點的頻響函數(shù)的具體思想是:通過諧響應分析獲得刀尖點在指定力幅的正弦掃頻激勵下的諧響應，用諧響應幅值除以力幅即可獲得刀尖點的頻響函數(shù)。刀尖點頻響函數(shù)預測流程如圖5所示。

3.2 結合面對主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的影響

同樣按兩種情況，即僅考慮主軸－軸承結合面和考慮全部結合面，用圖5所示的流程預測刀尖點的頻響函數(shù)。

在刀尖點徑向(節(jié)點號88)施加大小為200 N，頻率范圍為1 Hz至6 000 Hz的諧波載荷，選用模態(tài)疊加法求解主軸系統(tǒng)的諧響應。得到兩種情況下刀尖點在頻率1至6 000范圍內的幅頻響應X，見圖6。利用頻響函數(shù)的定義式，這里的激勵可以用圖7來描述，接著用獲得的幅頻響應X除以激振力F，就可以獲得刀尖點的頻響函數(shù)，見圖8。

3.3 影響分析

從主軸系統(tǒng)刀尖點的幅頻響應圖(圖6)和刀尖點頻響函數(shù)圖(圖8)中可以看出:

(1)主軸系統(tǒng)刀尖點在低頻段(前2階，即主軸系統(tǒng)剛體模態(tài)所對應的頻率段為低頻段)的頻響函數(shù)主要受到主軸－軸承結合面動力學特性的影響;

(2)主軸系統(tǒng)刀尖點在高頻段(高于2階，即主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)所對應的頻率段為高頻段)的頻響函數(shù)主要受到主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面動力學特性的影響，而主軸－軸承結合部對高頻段的影響很小。

4 結論

主軸系統(tǒng)結合面是影響主軸系統(tǒng)動力學特性的關鍵因素，分析結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性的影響，對研究主軸系統(tǒng)動力學特性、優(yōu)化主軸系統(tǒng)抗振性能具有重要意義。本文采用有限元法對主軸系統(tǒng)進行建模，分析了結合面對主軸系統(tǒng)動力學特性的影響，主要工作包括:

(1)考慮主軸系統(tǒng)結合面動力學特性，采用有限元分析方法，應用Pipe16管單元和MATRIX27矩陣單元創(chuàng)建了主軸系統(tǒng)的有限元模型。

(2)通過對主軸系統(tǒng)固有特性分析，得出主軸－軸承結合面影響主軸系統(tǒng)剛體模態(tài);而主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面影響主軸系統(tǒng)的彈性模態(tài);考慮主軸系統(tǒng)全部結合面動力學特性之后，主軸系統(tǒng)彈性模態(tài)固有頻率有明顯降低。

(3)提出了基于有限元法的主軸系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)分析流程。通過對主軸系統(tǒng)頻響函數(shù)的分析，得出主軸－軸承結合面影響刀尖點的低頻段的頻響函數(shù);而主軸－刀柄、刀柄－刀具結合面主要影響高頻段頻響函數(shù)。這與主軸系統(tǒng)固有特性分析結果一致，驗證了固有特性分析的正確性和有限元法求解頻響函數(shù)的有效性。

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