含裂紋懸臂輸流管道顫振分析

葉獻(xiàn)輝，蔡逢春，臧峰剛，張毅雄

(中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041)

管道是現(xiàn)代工業(yè)中的一種重要輸送工具，它在石油、化工、核電工程等領(lǐng)域中有大量的應(yīng)用。由于多種原因可能導(dǎo)致管道發(fā)生損傷，如腐蝕、疲勞、過載、沖擊等等，從而帶來巨大的危害。裂紋是損傷中典型的一種。裂紋的存在改變了結(jié)構(gòu)的剛度、阻尼、質(zhì)量，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性發(fā)生改變，這一事實(shí)在裂紋檢測(cè)中被廣泛關(guān)注。

輸流管道和含裂紋構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)問題已經(jīng)是一個(gè)熱點(diǎn)問題，已有大量的文獻(xiàn)報(bào)道［1－3]，而對(duì)于含裂紋輸流管道的研究較為少見。Yoon［4，5]基于 Lagrange方程推導(dǎo)出含裂紋輸流管道的運(yùn)動(dòng)方程，首次研究了含裂紋的懸臂輸流管道在移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)特性，隨后又研究了含裂紋簡(jiǎn)支輸流管道在移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)態(tài)特性。但在其文中并沒有研究含裂紋輸流管道的顫振特性。最近，Stangl［6]應(yīng)用一種適用于含有非材料體系統(tǒng)的Lagrange方程［7]推導(dǎo)出了懸臂輸流管道的非線性運(yùn)動(dòng)方程，該方法非常方便處理流進(jìn)流出控制體的質(zhì)量。本文將基于此擴(kuò)展的Lagrange方程推導(dǎo)含裂紋懸臂輸流管道的運(yùn)動(dòng)方程，通過數(shù)值仿真探討了裂紋位置及深度對(duì)頻率和顫振臨界流速的影響。

1 含裂紋梁模型

含裂紋梁一般被處理成為若干段連續(xù)梁，每段梁通過一個(gè)無質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)彈簧連接，扭轉(zhuǎn)彈簧用來模擬裂紋，彈簧的剛度可以通過線性斷裂力學(xué)理論計(jì)算得到。如圖1示，含有Q－1條裂紋的梁，裂紋位置為X1，X2，…，XQ－1(0＜X1＜X2＜… ＜XQ－1＜L)。考慮的裂紋形狀是外壁部分圓周裂紋，它是管類結(jié)構(gòu)的一種典型裂紋形式，如圖2所示。裂紋深度為a，裂紋對(duì)應(yīng)的圓心角為2θ，管壁厚度為t，管外徑為De，內(nèi)徑為Di。

圖1 含任意條裂紋梁Fig.1 A beam with an arbitrary number of cracks

文獻(xiàn)［8] 將外壁部分圓周裂紋區(qū)域離散成為一系列近似梯形的微型條，各個(gè)條帶裂紋區(qū)域按平面裂紋梁的理論求解其附加應(yīng)變能，將離散的各個(gè)條帶的應(yīng)變能累加起來得到裂紋總的應(yīng)變能，然后通過對(duì)載荷求導(dǎo)得到外壁部分圓周裂紋的附加局部柔度系數(shù)。在純彎矩作用下外壁部分圓周裂紋帶來的局部柔度系數(shù):

圖2 外壁部分圓周裂紋Fig.2 Partly circumferential crack

由于含裂紋梁在裂紋處轉(zhuǎn)角不連續(xù)，為了得到滿足邊界條件和裂紋處的不連續(xù)條件的模態(tài)函數(shù)，本文通過在不含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)中加入3次多項(xiàng)式來構(gòu)造出含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。依據(jù)模態(tài)假設(shè)法，梁的橫向位移可以寫成:

考慮含有Q－1條裂紋的梁，依據(jù)前敘處理含裂紋梁的方法，含裂紋梁被分成Q段，分別用扭轉(zhuǎn)彈簧組裝起來。設(shè)含裂紋梁的第k段的第j階模態(tài)函數(shù)為:式中，ξ∈［ξk，ξk+1] ，ξ=X/L 為裂紋的位置無量綱化坐標(biāo)，兩端點(diǎn)坐標(biāo)，ξ1=0，ξQ+1=1，A4k－3～ A4k為待定系數(shù)(ξ)無裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。對(duì)于懸臂梁，有以下4個(gè)邊界條件:

在裂紋處要滿足位移、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩4個(gè)條件:

式中 Ck－1為裂紋柔度系數(shù)，(')= ?/?ξ。通過式(4)至式(6)可確定含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。

2 含裂紋輸流管道運(yùn)動(dòng)方程

含裂紋懸臂輸流管道的模型見圖3，懸臂輸流管道長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度管道的質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI，流體橫截面積為A，流體的軸向流速為U，單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量為M，裂紋位置為Xc管道沿著X軸方向放置如圖3所示。

圖3 含裂紋輸流管道Fig.3 A cracked pipe conveying fluid

管道和流體有以下基本假設(shè):① 管道裂紋在彈性范圍內(nèi);② 流體無粘性、不可壓縮;且管道內(nèi)流速U一致;③ 管道直徑與長(zhǎng)度比值遠(yuǎn)小于1;④ 管道在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng);⑤ 管道應(yīng)變小，不計(jì)管道的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形;⑥ 管道的中心軸線不可伸長(zhǎng)。由以上的基本假設(shè)，管軸線不可伸長(zhǎng)，文獻(xiàn)［9] 給出了相應(yīng)的方程及由此方程推導(dǎo)出表達(dá)式:

上式中(X，Y)與(x，y)為變形前后P0點(diǎn)坐標(biāo)。u=x－X，v=y －Y，(')=?/?X。

Stangl［6]應(yīng)用一種適用于含有非材料體系統(tǒng)的Lagrange方程［7]推導(dǎo)出了懸臂輸流管道的非線性運(yùn)動(dòng)方程，這種擴(kuò)展的Lagrange方程非常方便處理流進(jìn)流出控制體的質(zhì)量。本文基于此方程來推導(dǎo)含裂紋輸流管道系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。其運(yùn)動(dòng)方程為:

其中:T和Q分別系統(tǒng)的總動(dòng)能廣義力，q為廣義坐標(biāo)。方程中包含兩個(gè)曲面積分，用于描述流入流出控制體的質(zhì)量。Γ為控制體的邊界，d a描述曲面Γ上的微元方向，VF、VP分別是流體的速度和管道的速度，是單位體積流體的動(dòng)能。

由于假設(shè)懸臂輸流管道軸線不伸長(zhǎng)，沿變形后的輸流管道軸線的切向矢量可寫成［9]:

因此，流體速度為:

系統(tǒng)的總動(dòng)能可寫成:

上式近似忽略二次高階項(xiàng)。

對(duì)于單位體積流體動(dòng)能，忽略量級(jí)小于 o(ε2)項(xiàng)有:

式中，ρF為流體的密度。結(jié)合 Helmholtz方程［10]，則對(duì)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為:

因此，在管道自由端處，式(9)中的第一個(gè)曲面積分為:

由于轉(zhuǎn)角在裂紋處的不連續(xù)，導(dǎo)致裂紋面的左右兩邊的截面的方向矢量不相等。因此在裂紋截面左右兩邊的曲面積分的和不等于零，其大小為:

裂紋左邊截面:

裂紋右邊曲面:

根據(jù)裂紋的左右兩邊條件:xXc－0=xXc+0，yXc－0=yXc+0，=y″Xc+0，y'Xc+0－y'Xc－0=CEIy″Xc，可得裂紋左右兩邊的曲面積分的和為:

由于VF－VP=Uτ，不含有廣義速度項(xiàng)，因此式(9)中的第二個(gè)曲面積分為零。

另外，由彎曲變形引起的彈性勢(shì)能和模擬裂紋的無質(zhì)量彈簧的勢(shì)能分別為:

故廣義力為:

將上述得到的系統(tǒng)的總動(dòng)能、曲面積分和廣義力代入式(9)，并引入以下無量綱量:

整理后得到含Q－1條裂紋的懸臂輸流管道的運(yùn)動(dòng)方程為:

3 數(shù)值算例

3.1 裂紋對(duì)頻率特性影響

取參數(shù):L=1 m，E=2.01 ×1011Pa，De=0.03 m，Di=0.021 m，ν=0.3=2.0，β =0.8，裂紋角 θ= π/4，裂紋相對(duì)深度a/t=0.8，計(jì)算含單條裂紋的懸臂輸流管道的前三階頻率比隨裂紋位置變化關(guān)系如圖4～圖6所示。其中頻率比ΩI=ω/ω0，ω和ω0分別是有/無裂紋的懸臂輸流管道的頻率。由圖可知:裂紋深度一定情況下，一階頻率比隨裂紋位置單調(diào)增加，裂紋越接近固定端，一階頻率比越小;裂紋越接近自由端，一階頻率比越趨向1。而二階與三階頻率比變化則不然，二階頻率比中間存在一峰值時(shí)，三階頻率比中間存在雙峰值。這是由于懸臂輸流管道二階模態(tài)存在一振幅為零的節(jié)點(diǎn)，裂紋位置越接近節(jié)點(diǎn)，二階頻率就越接近無裂紋時(shí)的情況。三階頻率出現(xiàn)雙峰值亦是三階模態(tài)存在雙節(jié)點(diǎn)的緣故。上述結(jié)論對(duì)裂紋檢測(cè)有一定的指導(dǎo)意義。

將本文得到的計(jì)算結(jié)果與Han-Ik Yoon的含裂紋懸臂輸流管道的模型的計(jì)算結(jié)果［5]作了比較，不考慮原模型中自由端的質(zhì)量和移動(dòng)質(zhì)量，比較結(jié)果見圖4～圖6。由圖可知:兩者頻率比的變化趨勢(shì)是一致的。但本文計(jì)算的一階頻率比較小，而二階頻率比較大，原因在于Han-Ik Yoon的模型沒有考慮裂流體在裂紋處對(duì)系統(tǒng)作的功。

3.2 裂紋對(duì)顫振流速的影響

這里其它參數(shù)不變，裂紋位置ξc=0.4，相對(duì)深度為a/t=0.9，根據(jù)特征值計(jì)算結(jié)果得到系統(tǒng)的頻率與阻尼隨無量綱流速的變化曲線，如圖7所示。當(dāng)無量綱流速＜ucr時(shí)，系統(tǒng)阻尼全部都小于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定;當(dāng)=ucr時(shí)，系統(tǒng)一階阻尼等于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生Hopf分叉，此時(shí)流速ucr即為顫振臨界流速。

圖8給出裂紋相對(duì)深度a/t=0.9時(shí)不同質(zhì)量比β下顫振臨界流速ucr隨裂紋位置ξc的變化曲線。其中，水平線為無裂紋情況下臨界流速。從圖可以看出，各質(zhì)量比下顫振臨界流速隨裂紋位置的變化規(guī)律基本一致。當(dāng)固支端附近出現(xiàn)裂紋時(shí)，管道的臨界流速將減小，越靠近固支端，無量綱臨界流速減小的越多。但達(dá)到一定臨界位置ξcr時(shí)，裂紋的出現(xiàn)，將會(huì)增大管道的臨界流速。隨著裂紋出現(xiàn)位置接近自由端時(shí)，對(duì)臨界流速的增大作用將減小。裂紋位置出現(xiàn)在ξc1=0.42及ξc2=0.71附近對(duì)臨界流速增大作用最為顯著。圖9描述了質(zhì)量比為0.5時(shí)含不同位置的單條裂紋輸流管道的無量綱臨界流速隨裂紋深度的變化關(guān)系。由圖可知，當(dāng)ξc＞ξcr時(shí)，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加而增加;隨著裂紋位置ξc接近臨界位置ξcr，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加變化較小，當(dāng)ξc＜ξcr時(shí)，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加而減小，且a/t越接近1，顫振臨界流速減小顯著，這種情況較為危險(xiǎn)，應(yīng)加以注意。

裂紋的出現(xiàn)將不僅影響顫振臨界流速，還將影響顫振階數(shù)的改變。圖10和圖11給出了有/無裂紋情況下系統(tǒng)顫振階數(shù)隨質(zhì)量比的變化規(guī)律。由圖10可知:當(dāng)輸流管道不存在裂紋時(shí)，質(zhì)量比 β∈(0，0.386)發(fā)生2 階顫振，β∈［0.386，0.530)發(fā)生 3 階顫振，β∈［0.530，0.614 5)發(fā)生 2 階顫振，β∈［0.614 5，1)發(fā)生1階顫振［11]。當(dāng) ξc=0.4出現(xiàn)裂紋且裂紋深度 a/t=0.9時(shí)，質(zhì)量比 β∈(0，0.586)發(fā)生 2 階顫振，β∈［0.586，1)發(fā)生1階顫振，如圖11所示。為更加清晰描述裂紋導(dǎo)致輸流管道顫振模態(tài)階數(shù)的改變，圖12和圖13描述了質(zhì)量比β=0.5時(shí)前三階特征值隨流速的變化圖。可以看出，無裂紋輸流管道發(fā)生3階顫振，而含裂紋輸流管道發(fā)生2階顫振。裂紋的出現(xiàn)使得系統(tǒng)顫振形式從3階顫振跳到2階顫振，改變了系統(tǒng)發(fā)生顫振對(duì)應(yīng)的特征值分枝。

圖13 β =0.5 時(shí)前 3 階特征值(ξc=0.4，a/t=0.9)Fig.13 The eigenvalues with β =0.5，ξc=0.4，a/t=0.9

4 結(jié)論

本文應(yīng)用Ischik和Holl提出的適用于含非材料體(non-material volumes)系統(tǒng)的Lagrange方程，并同時(shí)考慮流體在管道自由端及裂紋處對(duì)系統(tǒng)所作功，推導(dǎo)出了含裂紋懸臂輸流管道線性運(yùn)動(dòng)方程，通過數(shù)值算例研究了含裂紋輸流管道的動(dòng)力特性和顫振特性，有如下結(jié)論:

(1)一階頻率比隨裂紋位置單調(diào)變化，而二階與三階頻率比變化則不然，這是因?yàn)槎A三階模態(tài)中間存在振幅為零的節(jié)點(diǎn)，裂紋位置越接近節(jié)點(diǎn)，頻率基本不受裂紋影響。

(2)當(dāng)固支端附近出現(xiàn)裂紋時(shí)，輸流管道的顫振臨界流速將減小，越靠近固支端，顫振臨界流速減小的越多。且隨著裂紋深度增加顫振臨界流速降低的更加明顯。但裂紋離固支端一定位置后時(shí)，裂紋的出現(xiàn)將會(huì)增大管道的臨界流速。

(3)裂紋的出現(xiàn)將導(dǎo)致懸臂輸流管道顫振階數(shù)的改變。

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