多體系統動力學研究進展

戎 保，芮筱亭，王國平，楊富鋒

(1.南京理工大學 發射動力學研究所，南京 210094;2.南昌陸軍學院，南昌 330103)

多體系統是以一定方式相聯接的多個物體(剛體、彈性體/柔體、質點等)組成的系統。在兵器、機器人、航空、航天、機械等國防和國民經濟建設中，諸如發射系統、飛行器、機器人、車輛、民用機械等大量機械系統均可歸結為多體系統。隨著國民經濟和國防建設對機械系統產品動態性能要求的提高，需要對大型復雜機械系統動力學特性進行準確而快速地分析和預測。在這樣的工程背景下，出現了多體系統動力學這一新的學科分支。

近年來，國內外諸多學者對多體系統建模、設計、控制、求解策略及其實驗等方面進行了深入地研究，基于這一課題發表的文獻層出不窮［1－5]。自1977年國際理論與應用力學聯合會在德國慕尼黑發起第一次多體動力學國際研討會［6]以來，關于多體系統動力學及其應用方面的國際會議也如雨后春筍般不斷涌現［7－9]。現今多體系統動力學已成為現代力學的重要發展方向，各種新興的研究方法層出不窮，出現了兩個著名的專業學術國際期刊:Springer出版社的《Multibody System Dynamics》和英國機械工程協會的《Journal of Multi-body Dynamics》。

本文對近年來國內外多體系統動力學建模方法、求解策略、控制設計、軟件開發及實驗研究等方面的研究現狀進行了較為全面地概括和總結，并簡要展望了多體系統動力學的發展趨勢。

1 多體系統動力學建模

多體系統動力學的核心問題是建模和求解問題，其系統研究始于20世紀60年代，早期研究對象是多剛體系統。Wittenburg［10]將圖論方法引入多體系統動力學，出版了第一本多體系統動力學專著，奠定了多剛體系統動力學 Lagrange方法的基礎。Kane［11]在對各種動力學原理進行分析比較的基礎上，提出了兼有矢量力學和分析力學特點的Kane方法，并討論了該方法在航天器動力學上的應用。Schiehlen［12]出版了第一本統一的多體系統動力學手冊，有限元系統和連續系統可視為統一的等價模型。Nikravesh［13]出版了多體系統計算機輔助分析的第一本專著。Roberson等［14]討論了多體系統的起源、剛體建模、線性化方程以及計算機模擬技術等。Haug［15]提出了多剛體系統建模的笛卡爾方法。賈書惠、劉延柱、洪嘉振等［16，17]各自出版了經典多體系統動力學著作，詳細討論了多剛體系統動力學的建模和計算問題。Huston和劉又午［18，19]在 Kane方法基礎上，采用低序體陣列描述系統的拓撲結構，用Euler參數描述體間的相對方位，通過矢量求導與矩陣乘法運算的變換，形成了富有特色的面向計算機的Kane-Huston 方法。此后，袁士杰、陳樂生等［20，21]分別論述了多剛體系統動力學的相關研究成果。Shabana［22]詳細闡述了多剛體系統計算動力學及其數值求解。De Jalón和 Bayo［23]提出了多剛體系統建模的自然坐標方法(又稱完全笛卡爾坐標方法)，并給出了一種滿足實時仿真需要的高效求解策略。Stejskal等［24]從空間機構的CAD設計入手，給出了高、低副運動學約束的描述，并討論了動力學分析及數值計算方面的問題。姚文莉、陳濱等［25]通過采用分段分析的方法得到了含摩擦的平面多剛體系統沖擊問題的理論解。陳立平等［26]基于ADAMS軟件闡述了多剛體系統動力學理論的工程應用。針對通常多體系統動力學方法計算速度隨系統自由度增大而迅速降低從而難以滿足復雜工程設計快速計算要求的情況，芮筱亭等［27，28]結合傳遞矩陣法計算效率高和逐步時間積分法應用范圍廣的優點，提出并逐步完善了多體系統離散時間傳遞矩陣法，實現了對一般多剛體系統動力學的高效快速計算。Wittenburg［29]全面系統地介紹了多體系統建模的圖論方法，并討論了多剛體系統接觸碰撞動力學問題。Featherstone［30]論述了開環、閉環多剛體系統的正、逆向動力學及接觸碰撞問題的算法。

隨著國民經濟和國防技術的發展，對很多工程問題，多剛體系統模型與實際相差甚遠，滿足不了工程精度要求，必須同時考慮部件大范圍運動和構件本身變形的相互耦合作用，對柔性多體系統動力學或多剛柔體系統動力學的研究已越發凸顯出其重要意義［31]。柔性多體系統是以各種鉸接方式相聯接的經歷大運動的可變形物體和剛體所組成的系統，其是多剛體系統物理模型的精細化及自然的延伸和發展。

目前，柔性多體系統動力學通常采用Reyleigh-Ritz法、有限段法、有限元法、模態分析法等描述柔體變形，進而基于浮動標架法、旋轉坐標法、絕對節點坐標法等方法建立柔性多體系統運動學和動力學方程［1]。浮動標架方法是在柔性構件上直接建立一個動參照系，將柔體的運動分解為隨動系的牽連運動(大范圍的剛性平動和轉動)和相對于動系的相對運動(彈性變形)的疊加。浮動標架法適合于小變形物體所組成的系統。此類系統中柔體變形可通常按模態展開等線性方法處理，可很方便地把模態分析和實驗模態識別等技巧推廣到柔性多體系統動力學［1]。旋轉坐標方法針對柔性構件上每個有限單元定義相應的動參考系。絕對坐標法將柔體的大運動及變形都用相對慣性坐標系的單元結點坐標表達，進而推出柔體的應變－位移關系，并在此基礎上發展了能處理柔性構件大變形的非線性有限元模型。旋轉標架方法及絕對坐標法與浮動標架方法相比較，具有慣性張量的平動部分是線性或常量，運動非線性效應如大變形、離心剛度等自動具有，并且精度隨網格的細化而提高等優點［1，32]。但模態綜合技術不易在旋轉標架方法及絕對坐標法中使用［1]。總體而言，柔性多體系統動力學方程的建立遠比多剛體系統動力學復雜，其計算規模和計算工作量也比多剛體系統動力學大得多，其理論也遠不如多剛體系統那樣完善。從本質上講，柔體大范圍運動與其變形運動之間的相互耦合，給柔性多體系統動力學建模與分析計算帶來了許多困難［1－4，31]。

Shabana［32]、Huston［33]、Bremer［34]、黃文虎［35]、陸佑方［36]、洪嘉振［37]以及覃正等［38]在各自專著中詳細討論了柔性多體系統動力學建模理論和數值算法，上述論著已成為本領域的經典教材。Geradin［39]闡述了有限元方法在柔性多體系統動力學問題中的應用。Eberhard［40]結合了有限元和多剛體方法的優點，建立了多剛體/有限元混合算法，實現了高計算效率和高精度地解決柔性多體系統接觸問題。Ambrósio［41－43]分別應用柔性多體系統動力學方法對車輛動力學和含復合材料的多體系統進行了深入研究。潘振寬等［44]研究了多體系統動力學動態最優化設計與靈敏度分析。Wasfy［45]、Sandu［46]分別研究了參數不確定性柔性多體系統動力學問題。Wittbrodt［47]描述了剛體有限元方法，并基于相似變換和鉸坐標自動生成剛柔耦合系統動力學方程解決柔性多體系統動力學問題。Eberhard等［48]結合Krylov子空間方法和Gramian矩陣降階方法提出了柔性多體系統模型縮聚的兩步法，大幅度提高了大尺度系統的計算效率。齊朝暉等［49，50]提出了含非理想約束柔性多體系統遞推建模方法，并對多體系統冗余約束和鉸內摩擦接觸給予了相應研究。Shabana等［32]將絕對坐標法應用于大變形的柔性多體系統動力學研究，在此基礎上 YOO、李彬、劉錦陽、田強、陳立平、Laith［51－55]等將其推廣到包含梁、板、殼等大變形柔性構件的多體系統。劉錦陽［56]研究了離心力和溫度變化引起的附加彎曲變形對復合材料柔性多體系統振動特性的影響。王中雙等［57]研究了鍵合圖方法在機械系統動力學建模中的應用，提高了多體系統動力學分析的效率和可靠性。吳洪濤等［58]基于空間算子代數理論對多體系統正、反向動力學進行了設計與實現。蔣建平、劉又午、王樹新等［59－61]分別應柔性多體系統動力學相關理論研究了航天器動力學問題。彭慧蓮、王士敏、王琪等［62]用笛卡爾坐標陣描述系統的位形，根據局部方法的遞推關系建立系統的約束方程，進而提出了一種建立具有固定雙面約束多點摩擦的多體系統動力學方程的方法。白爭鋒等［63]針對工程中常見的柔性多體系統碰撞過程，詳細分析了系統接觸碰撞條件，并基于非線性等效彈簧阻尼碰撞模型和庫侖摩擦模型建立了含接觸碰撞的柔性多體系統動力學模型。芮筱亭、戎保等［64－68]應用模態方法或有限元法描述柔體變形，建立了大運動柔體元件的動力學方程，推導了柔體元件全新的傳遞方程和傳遞矩陣，將多體系統離散時間傳遞矩陣法推廣應用于一般柔性多體系統動力學的高效快速計算。謝向榮等［69]將柔性多體動力學理論應用于非線性隔振系統建模，推導出了對艦船機械設備隔振系統動力學模型。

風格迥異的現行多體系統動力學建模方法極大地推動了現代工程技術的發展，為解決各種復雜機械系統動力學問題提供了多種有效的計算手段。一般來說，已有多體系統動力學建模方法主要基于以下幾類基本原理和方法［31，36，70－72]:Newton-Euler 向量力學方法、d'Alembert原理(或Jourdain原理、Lagrange方法)出發導出的分析力學方法、基于Gauss原理等極小值性質的極值原理以及傳遞矩陣方法等。向量力學方法建模過程中需對每個物體作隔離體分析，存在約束力，動力學方程推導過程簡單，所得方程較短且比較簡潔，但方程數目較多。根據采用不同的拓撲結構分析方法消除約束力的方式不同，向量力學方法形成了以不同學者命名的不同方法，如:基于圖論的Roberson-Wittenburg方法、Margulies-Hooker方法、信息流圖法以及矢量網絡法等［5]。分析力學方法將系統作為整體考慮，在建模過程中不出現約束反力。動力學方程推導規范，方程數目少，但推導過程繁冗。基于極值原理的動力學建模方法不必建立運動微分方程，可直接應用優化計算方法進行動力學分析。基于傳遞矩陣法的多體系統離散時間傳遞矩陣法［28，31，64，65]把復雜的多體系統“分割”成若干個元件，將各元件的力學特性用矩陣表示，進而“拼裝”各元件的傳遞矩陣獲得系統總傳遞方程和總傳遞矩陣。該方法無需系統的總體動力學方程，免去了復雜繁瑣的多體系統總體動力學方程的建立過程，涉及的系統矩陣階次不取決于系統的自由度數，程式化程度高，大幅度提高了復雜機械系統的計算效率。時至今日，柔性多體系統動力學已成為當今計算多體系統動力學領域的主要研究方向，并在一系列重大工程問題中得以應用［59－61，69，73－78]。

2 多體系統動力學數值求解技術

基于不同建模方法得到的多體系統動力學方程形式不盡相同，多數情況下可表示為微分/代數方程組、非線性微分方程組［5]或關于系統邊界狀態矢量的總傳遞方程［28，31]。不同形式的多體系統動力學方程盡管在理論上具有等價性，但其數值性態的優劣不盡相同。國內外針對多體系統不同的建模方法，產生了多種多樣的數值求解手段。王琪［79]、Wasfy［1]、Schiehlen［2]、王國平［5]分別對多體系統的各種計算策略進行了詳細地概括與總結。

2.1 多體系統動力學微分方程求解

多體系統動力學微分方程組可表示為:

多體系統動力學二階微分方程的數值解法通常有兩條途徑:直接積分法和降為一階微分方程組后再作數值求解。由于柔性多體系統動力學方程是含有剛性運動慢變分量和變形運動快變分量的強非線性剛彈耦合的剛性方程。常用的顯式積分法大都是條件穩定的，不適于求解此類方程;目前剛性常微分方程初值問題數值解法大多數是隱式算法，常見的時間積分方法有Wilson-θ法、Houbot法、直接積分法、Park剛性穩定法、Newmark法、Runge-Kuta法、Adams-Moulton隱式多步法、Taylor展開式以及 Gear法等［1－5]。隱式積分法雖存在絕對穩定的積分格式，但也潛在著計算危險性。

近年來，國內外眾多學者分別從不同角度提出了一系列剛性常微分方程的高精度數值解法。鐘萬勰教授等提出了一種全新的可以用于求解剛性方程的絕對穩定顯式精細時程積分法［80]。基于該方法，呂和祥等［81，82]提出了逐步積分法，借助線性動力學方程齊次解的解析表達式，構造了適用于強非線性、非保守動力學系統的積分方程。劉鐵林等［83]提出了一種基于最小轉換能原理的結構動力響應無條件穩定逐步積分算法。蒲軍平［84]采用一種高階精度的時間步積分求積方法，對雙質點系及梁在強迫力作用下的振動特性進行了數值分析。Oghbaei［85]采用時間有限段隱式積分法對多體系統動力學方程數值計算進行了分析。Rill［86]提出了修正的隱式Euler算法以求解車輛動力學問題。

2.2 多體系統動力學微分/代數方程求解

多體系統動力學微分－代數方程組可表示為:

微分/代數方程的數值求解還處于不斷探索和發展階段。近20年來，國內外對微分/代數方程的數值解法進行了大量研究。根據對位置坐標陣和拉格朗日乘子處理技術的不同，其研究方法大體主要有基于增廣法的直接積分法、Baumgarte違約修正法、Bayo罰函數法、超定微分/代數方程組法和基于縮并法的廣義坐標分塊法、QR分解法、SVD分解法、零空間法、局部參數化法等［1－5，26，36]。增廣法通過選擇修正系數將微分/代數方程化為微分方程來求解。修正系數的選擇沒有通用方法，人為憑經驗選取修正系數是造成該類方法數值計算穩定性問題的主要原因。縮并法通過縮并非獨立的廣義坐標使方程化為純微分方程來求解，它的數值穩定性較好，但縮并過程將大大影響計算效率。目前，在柔性多體系統動力學計算中，兩種方法都有應用，哪種方法更好還沒有統一的認識。

潘振寬等［87]提出了位移約束方程、速度約束方程同時自動修正方法。洪嘉振等［88]提出了受約束多體系統廣義坐標主動校正方法。王琪［89，90]分別提出了樹形多體系統和帶約束多體系統動力學方程的隱式算法。原亮明、劉金朝等［91]將時間按照Newmark差分格式進行離散化，位移約束方程按照泰勒級數展開，給出了求解微分/代數方程的無須進行違約修正的拉格朗日乘子方法。吳國榮等［92]針對剛性微分/代數方程，基于控制方程及約束方程的泰勒展開推導出了對位移及拉格朗日乘子進行修正的 Newton-Raphson迭代公式。Betsch、Uhlar［93]提出了動能守恒積分策略，提高了數值積分的穩定性。姚廷強、遲毅林等［94]結合隱式數值積分解耦法，提出了柔性多體系統動力學的新型廣義－α數值分析方法，減小了系統雅可比矩陣函數的估計數目和 Newton-Raphson迭代次數。吳洪濤等［95]提出了求解大型微分/代數方程的線性多步積分算法，提高了系統的求解效率。時至今日，微分/代數方程的求解仍是多體系統動力學的一個難點，目前仍無非常通用和程式化的方法，其發展趨勢是校正方法應自動進行，不需人工干預，且違約校正不能以破壞系統動力學方程為代價［5]。

2.3 多體系統離散時間傳遞矩陣法求解

隨著高速輕質機器人、航天器、車輛等現代機械系統構型復雜性的提高，動力學方程(1)－(3)的階次不斷增加，如何提高多體系統動力學數值計算的效率是多體系統動力學領域所面臨的重要研究課題之一［1－5]。針對上述問題，芮筱亭等提出了基于傳遞矩陣法的多體系統離散時間傳遞矩陣法［28，31，64，65]。該方法采用逐步時間積分法和線性化方法線性化元件的動力學方程，獲得系統中任一元件j的傳遞方程和傳遞矩陣:

拼裝各元件的傳遞方程可得關于系統邊界狀態矢量的總傳遞方程為:

式中，zI，j和 zO，j分別為元件 j輸入、輸出端的狀態矢量，Uj為元件j的傳遞矩陣，Uall和zall分別為系統總傳遞矩陣和系統邊界狀態矢量。

應用邊界條件，求解系統總傳遞方程(5)，可得ti時刻邊界狀態矢量zall(ti);應用元件傳遞方程(4)，求ti時刻系統各聯接點的狀態矢量，得到系統在ti時刻的運動;令i=i+1，重復上述過程，直至計算到所要求的時刻T，便得到系統運動的時間歷程。

應用多體系統離散時間傳遞矩陣法所得的系統總傳遞矩陣Uall的階次與系統的自由度無關，因而可大幅度提高系統動力學的計算效率。此外，系統總傳遞方程為代數方程，簡化了數值求解算法。

2.4 多體系統動力學方程求解策略改進

為提高多體系統建模和計算的速度，提高動力學方程的數值計算精度和穩定性，近年來出現了一系列改進的計算策略，如:顯式－隱式混合求解、遞歸求解、多時間步長方法、并行計算策略、面向對象策略、計算機化符號推導、自適應近似策略、辛算法等［1－5]。

Martin Arnold［96]、廖建成［97，98]將多時間步長方法應用于復雜多體系統動力學分析。王波興等［99]研究了多體動力學子系統求解算法，提高了復雜多體系統動力學求解效率。洪嘉振等［37]提出了多體系統動力學的單向遞推組集建模方法，提高了多體系統動力學的計算效率、精度和穩定性。Lim等［100]針對柔性多體系統動力學方程，提出對柔體的彈性變形分量采用顯式算法、剛體運動分量采用隱式算法、剛柔耦合界面處的節點采用顯式－隱式混合算法的數值處理模式。Shi［101]實現了空間Euler-Bernoulli梁的符號建模計算。戈新生等［102]提出了基于完全笛卡爾坐標的多體系統微分/代數方程符號線性化方法。Perkins等［103]采用自適應技術對軌道車輛的振動進行了研究。王橋醫等［104]把多體系統動力學方程中描述剛體運動的慢變自由度和彈性體變形的快變自由度分別處理，將吉爾法和顯式脈沖法相結合進行數值求解，降低了時耗和所需計算機存貯。吳永等［105]建立了約束多體系統動力學微分/代數形式的約束正則方程，利用Runge-Kutta法合成辛算法對約束多體系統的約束哈密頓形式的方程進行了高穩定性仿真。吳永［106]、黃永安［107]分別概括了辛算法在多體系統動力學數值計算中的應用。洪嘉振等［108，109]闡述了多體系統動力學數值求解和動畫計算與輸出的并行處理算法。上述計算方法的出現為多體系統動力學高效仿真提供了有力的工具。

3 多體系統控制設計

隨著國民經濟和國防技術的發展，機械系統構型越來越復雜，表現為這些系統在構型上向多回路和帶控制系統方向發展，系統的研制通常需要解決很多復雜系統的運動學、動力學與控制等問題，對受控多體系統動力學性能的快速準確評估和控制設計已越發凸顯出其重要意義。例如，數控機床、機器人、航天器、導彈及其發射系統等眾多國民經濟和國防領域中的重大工程產品都是帶有控制系統的機械系統。Wasfy［1]和Schiehlen［2]指出現代機械系統與控制系統結合越來越緊密，機械系統動力學與控制由于在精密機械、車輛和人造空間結構等工程技術領域中的應用而成為目前非常活躍的研究領域。近年來，有關受控機械系統動力學建模與控制設計的文獻層出不窮［110－116]。對復雜受控機械系統運動學、動力學的性能分析、設計與優化已成為新的挑戰性研究課題。

一般而言，現代復雜機械產品所帶有的控制系統是人們為完成一定的控制任務按照預定目的、要求和性能指標而設計制造的。通常，控制系統由控制器、受控對象、反饋測量裝置及比較器等部分組成。為了設計性能優良的控制系統，首先必須充分了解受控對象、測量元件、執行機構和構成控制系統的其他元器件的特性及其運動規律。對于一個實際受控多體系統，不論是進行分析還是設計，首要任務是建立受控對象的物理模型和數學模型。描述系統的數學模型，不僅應該能從本質上完全反映實際系統的特性，而且還應能從根本上確定解決系統工程問題的途徑和方法。當前，受控機械系統數學模型的建立絕大多數基于第1節所述多體系統動力學方法建立系統動力學方程，進而按照現代控制理論設計適當的控制策略。

近年來，以航天器或機械臂等受控多體系統為背景，基于現代控制理論提出了各種控制方案。常用的控制方案包括動態規劃理論、極大值原理、最優控制理論、魯棒控制、自適應控制、滑模變結構控制、模糊控制、智能控制等。陸佑方［36]討論了計算力矩方法、變結構控制理論在柔性臂系統軌跡控制中的應用。趙宏偉［117]對宏/微雙重驅動機器人柔性手臂實驗系統及控制策略進行了相應研究。Gangbing［118]提出將正位置反饋控制運用到柔性航天器振動控制中，并通過單軸回轉裝置實驗驗證了其良好效果。Wasfy［1]詳細綜述了多體系統控制設計相關文獻，分別對控制系統作動器/傳感器的選擇和控制律的設計方法給出了具體論述，指出了柔性多體系統控制設計時存在的主要困難。Ebrahimi［119]將柔性航天器建模為線性欠阻尼彈性系統，將bang-bang控制問題轉化為參數優化問題，降低了柔性附件的耦合誘發振動。Sun［112]基于線速度反饋策略實現了對單臂機械操縱器的振動主動控制。魏燕定等［120]構造了壓電模態觀測器，實現了對壓電懸臂梁的振動控制。蔡國平等［121，122]在推導Hub-beam構型柔性多體系統一次近似耦合非線性模型基礎上，針對近似線性化后的狀態空間模型設計了最優控制律，在考慮時滯影響的基礎上設計了時滯最優跟蹤控制器。胡慶雷［123]針對擾性航天器動力學模型存在不確定性因素以及外部擾動作用的情況，將變結構輸出反饋控制應用于撓性航天器的大角度機動控制。Vasques［110]采用最優反饋控制研究了智能壓電梁的振動主動控制問題。Sarraf［124]設計了自組織模糊神經結構在線學習控制器，實現了單機械臂末端跟蹤控制。陳龍［125]提出了不確定性受控系統保成本魯棒PID控制策略［125]。張國慶［126]對柔性多體系統控制設計進行了深入闡述。Kim［114]、李洋［127]基于自適應控制策略，分別實現了柔性機械臂系統和撓性航天器的自適應控制。芮筱亭等［128－130]應用多體系統傳遞矩陣法實現了對受控多體系統動力學問題的快速建模與分析。目前，多體系統控制設計，特別是柔性多體系統控制設計，已成為國內外本領域前沿性研究課題之一。

4 多體系統動力學仿真軟件開發

多體系統動力學作為研究復雜機械系統動態特性的應用基礎學科，最終目的是編制通用仿真軟件為工程技術領域提供強有力的計算機輔助分析工具。20世紀80年代以來，國外開發出了許多著名的多體系統商業軟件包，比較知名的有 ADAMS、DADS、MADYMO、SIMPACK、DYMAC、PLEXUS、SPACAR 等。Schiehlen［12]、陸佑方［36]在專著中分別對全球大型通用仿真軟件的研制和開發情況進行了詳細介紹，其中的許多軟件已具有對柔性多體系統進行動力學仿真的功能。隨著多體系統理論和仿真算法的不斷發展，上述軟件的分析功能在不斷增強，版本也在不斷升級，大量新興多體系統仿真軟件也不斷出現，如:Choi和Bae等開發了基于遞歸算法的新一代多體系統動力學仿真軟件RecurDyn(Recursive Dynamic)，其適合于求解大規模及復雜接觸的多體系統動力學問題。

國內的一些大學和研究所也在多體系統動力學軟件開發方面作了許多有益的嘗試和研究。清華大學針對智能機器人研究，開發了THROBSM大型機器人仿真系統，可分別對單、雙機械手運動學、軌跡規劃、動力學及各種控制方法進行仿真。洪嘉振等根據多體系統動力學單向遞推組集建模理論開發了柔性多體系統動力學通用計算機輔助分析軟件 CADAMB［37，108，109]。芮筱亭等基于多體系統傳遞矩陣法研制開發多體系統動力學快速可視化仿真軟件，用以實現對時變非線性一般受控機械系統的快速建模與仿真［131]。王建明等基于凱恩－休斯頓方法，開發了能夠對任意拓撲結構的多體系統運動學和動力學進行正、逆問題分析的多體系統分析軟件MBSA［132]。吳洪濤等基于空間算子代數理論，主持編制了機械系統計算動力學程序MBSSOA［133]。吉林工業大學以R－W方法為理論依據，開發了汽車碰撞計算機仿真軟件SVC3D。王樹新、劉又午等通過Huston提出的低序體陣列來描述和建立多體系統數學模型，開發了多體系統動力學可視化仿真軟件MDAS［134]。總體而言，我國的多體系統動力學可視化仿真系統開發還處于起步階段，難以完成國外軟件的多種功能，在軟件產業化方面與國外相比還存在很大的差距。

5 多體系統動力學實驗研究

多體系統動力學實驗研究始于20世紀70年代，其對檢驗多體系統理論模型的正確性、評價控制系統設計的合理性等具有重要作用。Wasfy［1]、洪嘉振［135]分別對多體系統動力學實驗研究進行了詳細地概括與總結。一般而言，多體系統動力學實驗研究主要針對如下三類問題［135]:① 為檢驗某種理論方法的正確性和有效性而進行的理論模型的驗證實驗;②用于研究諸如系統模態頻率、振型等動力學特性的多體系統動力學特性實驗;③多體系統動力學控制與碰撞實驗等。

楊輝、洪嘉振等［136]針對中心剛體、柔性梁和末端質量組成的剛柔耦合系統，利用單軸氣浮臺動力學實驗平臺，檢驗了一次近似剛柔耦合動力學模型的可行性。王樹新等［137]以工業機器人為例驗證了基于Kane方程的受控多體系統動力學建模的可行性。芮筱亭等［31]針對復雜武器系統建立了基于多體系統離散時間傳遞矩陣法的多體系統發射動力學理論，研制了彈丸起始擾動光學杠桿測試裝置和復雜武器系統模態實驗及其參數識別方法，驗證了多體系統傳遞矩陣法的正確性和可行性。饒柱石等［138]對某4000HP燃氣輪機組合式特種轉子進行了振動模態的實驗研究，探討了傳遞矩陣法在轉子系統振動計算中的應用。楊輝、洪嘉振等［139]從理論和實驗兩方面研究了由中心剛體和柔性梁組成的剛柔耦合系統的模態特性。Nakanishi等［140]對剛柔有軌車輛動力學進行了實驗研究。Kwak等［141]介紹了自行研制的用于柔性多體系統動力學建模理論和控制方法對比的試驗平臺PACE。閻紹澤、劉才山等［142]利用柔性機械臂主動控制實驗裝置以及相應的動力學參數測試系統，對柔性機械臂結構－控制耦合特性進行了研究。魏井君、邱志成［143]建立了壓電智能撓性懸臂梁的實驗平臺，采用修正Fuzzy-PI雙模控制方法對懸臂梁振動進行了實驗研究。陳龍祥、蔡國平［144]研究了交流伺服電機和壓電激勵器存在不同時滯量時，旋轉運動柔性梁的時滯反饋控制的可行性和有效性。劉錦陽等［145]研究了柔性多體系統多點接觸碰撞建模理論和多點接觸碰撞實驗方法，實驗驗證了非線性彈簧－阻尼碰撞力模型在柔性多體系統多點接觸中的適用性。

總體而言，與眾多形形色色的多體系統動力學建模理論相比，多體系統動力學實驗研究還是一個較為薄弱的環節，尚不完善［135]。研制新的實驗測試設備、建立適宜于不同多體系統動力學問題的實驗測試方法、進一步驗證現有多體系統動力學理論、探索未知的多體系統動力學現象等仍將是多體系統實驗研究需要進一步努力的工作。

6 結論

本文對近年來國內外多體系統動力學建模方法、求解策略、控制設計、軟件開發、實驗研究等方面的研究現狀進行了較為全面地概括和總結。作為當今力學領域的研究熱點和難點之一，多體系統動力學是機械、航空、航天、兵器、機器人領域中大量機械系統的動態性能評估和優化設計的理論工具與技術基礎，對其全面系統地研究方興未艾，還有大量工作有待開展。下述問題將會成為多體系統動力學有待考慮的發展趨勢:

(1)考慮幾何非線性、材料非線性以及含復合材料的柔性多體系統動力學建模與控制設計問題。隨著高速輕質機器人、航天器、車輛等復雜機械系統的高性能、高精度設計要求，大型化、低剛度與柔性化已成為航空航天、車輛、機器人及精密機械等領域的重要發展趨勢。各種新型復合材料重量輕、強度和剛度大、耐高溫和安全性好，在工程界被廣泛使用。與傳統各項同性材料相比，復合材料具有明顯的非均勻性和各向異性性質［56]。上述原因導致現代機械系統柔性構件往往呈現幾何非線性、材料非線性等特點。如何建立合理完備的考慮幾何非線性、材料非線性的柔性多體系統動力學理論，實現對該類多體系統高效精確的控制設計已成為現代工程技術領域值得考慮的難題。

(2)不確定性多體系統動力學建模、控制與高效數值求解問題。在實際的工程問題中由于制造、測量誤差及施工水平和條件限制等因素，導致了諸如系統幾何參數、材料性能參數、邊界條件、初始條件以及外載荷等存在著許多不確定因素。傳統的確定性模型將無法反映出系統的隨機性對其動態特性和控制性能的影響，甚至在某些情況下會造成系統的不穩定。如何建立高效、便捷的不確定性多體系統動力學建模與控制新方法，科學評估系統不確定性對系統動態特性和控制性能的影響，已成為實際工程技術領域不得不面對的問題。

(3)多體系統動力學與電、熱、磁和流體等其他類型的物理場多場耦合問題。耦合系統是兵器、航空航天、車輛等重大工程領域常見的工程模型。上述系統一般可處理為多體子系統和電、熱、磁、流體等其他子系統的耦合系統。不同子系統間的交互作用，使得整個耦合系統高度非線性，動力學行為十分復雜。另外，由于耦合系統通常具有不同的數值特性和不同的時間尺度，耦合系統數值計算的效率、精度和穩定性往往受到嚴峻考驗。隨著對耦合系統的高性能、高精度設計要求以及實時仿真和控制的需要，對耦合系統高效數值求解方法的研究，包括:系統動力學方程的建立以及提高方程求解的速度、精度和穩定性等，已越發凸顯出其重要意義。

(4)多體系統剛性微分方程或微分/代數方程數值求解的穩定性和高效率依然是一塊硬骨頭，仍需進一步研究。

(5)加強多體系統動力學實驗研究，為理論分析和數值模擬提供必要的實驗支撐。目前，多體系統動力學實驗研究還不能滿足人們的要求。如何建立完備合理的多體系統動力學與控制問題的實驗測試方法與手段，科學評價多體系統動力學理論與數值計算方法，仍將是多體系統動力學有待考慮的問題。

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