一種基于平面精度的機器人標定方法及仿真

董慧穎 李文廣

1.沈陽理工大學，沈陽，110159 2.山東省機器人與制造自動化技術重點實驗室，濟南，250014

0 引言

在進行離線編程時，需要標定仿真機器人模型與實際機器人本體間的誤差，機器人一般有較好的重復定位特性，但是其絕對定位精度并不高。因此，很長一段時間以來人們一直采用“錄播”的方式來讓機器人工作，忽略了它的絕對定位精度。標定的目的就是要調整機器人關節零位偏差與末端位姿間的關系，提高其絕對定位精度。一個機器人的標定任務分為運動學模型建立、位姿測量、參數辨識和誤差補償4個基本步驟。

1 運動學建模

運動學模型是決定機器人精度的一個很重要因素，它必須能夠描述所有影響機器人末端位姿的因素。目前，應用最為廣泛的機器人運動學模型是D－H模型。對任意兩鄰接連桿，該模型有圖1所示坐標關系，圖中4個D－H參數分別是連桿長度ai、連桿偏轉?i、連桿偏移di、關節角度θi。劉宇等[1]在對空間機器人位姿精度的研究中采用了D－H建模方法，并采用極大似然算法對機器人的連桿參數進行了辨識，實驗結果表明，位姿精度提高了3倍多。

圖1 D－H模型

Lim等[2]提出了一種能同時標定機器人運動學參數誤差及彈性形變誤差的算法，并針對實時應用編寫了相應的Windows應用程序，模型描述的誤差因子越全面，則機器人控制驅動器的位姿就越接近實際的機器人位姿，末端誤差可以減小到1mm以內。Radkhah等[3]提出了一種新穎的問題建模方法，并用于自標定，該方法基于正向運動學方法，整合了幾何與非幾何誤差參數，最終將機器人末端精度從7×10－3～2×10－2mm提高到了1×10－9～1×10－4mm。馮濤等[4]對穿刺機器人采用指數積方法建立機器人運動學模型，然后導出只需位置量的線性誤差模型，并設計了簡便有效的末端位置標定方案，從而避免了D－H建模方式的奇異問題，將誤差量減小了50%。Lou等[5]解釋了原始指數積標定因關節偏移而總失敗的原因，并提出了一種修正的指數積建模方法，設計了更為簡易實用的末端單點測量法。

2 位姿測量

測量是機器人標定過程的關鍵步驟。最初的機器人標定都是基于開環機器人運動學鏈的。基于開環運動學鏈的機器人在標定過程中，位姿測量是必不可少的步驟，測量結果的精度直接關系到標定精度。然而，機器人末端位姿的高精度測量是比較困難的，尤其是姿態的測量，因此，目前很多的標定方法都是基于位置精度的。葉聲華等[6]采用激光跟蹤儀作為測量工具，對機器人運動學參數進行標定，通過建立工業機器人模型，測量獲取關節變量與末端法蘭盤中心位置在基坐標系下的準確映射關系，共標定25個幾何參數，標定后的平均誤差和均方根誤差改善40%以上。Ji等[7]采用三坐標測量儀作為測量工具，提出了一種對操作機進行標定的位姿測量方法，并將該方法用于并聯機器人，經試驗，標定后精度有了明顯的提高。Lee等[8]采用室內全局定位系統（IGPS）作為測量手段，對工業六自由度弧焊操作機完成了運動學參數標定，標定后，機器人位置精度提高至0.2mm。為解決機器人位姿難以測量的問題，Bennett等[9]提出了機器人閉環運動學鏈自動標定方法，指出對閉環機構機器人的標定無須測量機器人末端位姿，僅從關節角度值就可以完成。

本文所采用的基于平面精度的標定方法同樣屬于閉環標定范疇，以末端限位的方式隱含了閉環條件，同時也繼承了部分開環標定方式下的測量成分。

3 參數辨識

使用平面精度標定方法的前提是機器人各關節是可以獨立控制的，實際應用中可以通過使用機器人示教盒實現控制。圖2中的理想平面是機器人空間一已知法向量的平面，通過示教盒控制機器人各關節，讓其在工作空間的平面內運動。

圖2 平面誤差示意圖

在實際的測量過程中，為保證機器人末端手爪位于所選限位平面內，可通過在機器人手爪位置安裝探針裝置，在機器人運動的過程中，控制機器人手爪與限位平面始終保持同等間距。如果不能完全保證機器人末端的平面運動，在測量數據充足的條件下，個別測量失誤對誤差的辨識影響不大。

在控制機器人平面運動的同時，通過關節驅動控制器記錄平面上每點處的關節角度值。由所記錄的關節角度數據經各關節連桿傳遞后得到理想機器人坐標系下的實際平面，也就是圖2中傾斜的平面，則評價方程如下：

其中，ri是所測量平面上的第i個點的位置量，m是所測量的點的個數，n是平面的單位法向量，d是原點到所測量平面的距離，ρ是包含所有需要標定的參數的向量，θ是所測量的關節角向量。不同于其他使用外部測量工具的測量方法，這里ri是通過正向運動學基于參數ρ計算出來的位置量。

基于上述分析，將標定問題簡化為評價方程式（1）最小的優化問題。

使用該方法的幾個前提假設：機器人末端能夠在空間平面內運動；關節驅動器能夠記錄對應平面上每點處機器人的關節角度值；整個系統的測量點數要足夠求解出所有的誤差參數。

假定參考坐標空間一已知位姿的平面，讓機器人末端在該平面運動，對應平面上的每點，測量方程滿足：

其中，ρ0＝[ρ′ α P]，ρ0是機器人擴展參數向量，P和α表示機器人基坐標系的位姿向量，ρ′是機器人的運動學參數向量。由于ρ′存在誤差量，但該誤差量相對于機器人的名義參數值來說是十分微小的，故可將式（2）泰勒展開，只保留一階項得

其中，J（ρ0，θi）為該系統的雅可比矩陣，該雅可比矩陣是對應機器人末端位置的分量矩陣，即機器人末端位置量對各個誤差量的微分。

根據式（3），將該平面上的m個點描述成：

然后就可以應用最小二乘法求解誤差量dρ′：

4 誤差補償及雅可比矩陣分析

將式（7）所求得的誤差參數dρ′用于更新機器人的名義參數值，并將該值作為修正后的機器人參數。

線性誤差可以通過迭代參數辨識算法使得誤差dρ′變得足夠小或小于某一預先定義的參數。算法每次迭代后的參數值可表示如下：

雅可比矩陣是從關節速度到笛卡爾速度的轉換矩陣。雅可比矩陣中又包括位置速度雅可比和姿態速度雅可比項，本文使用位置速度雅可比項來描述機器人末端在相應關節角度下的速度矩陣。

旋轉關節對末端的影響如圖3所示，由于關節轉動而在末端產生的位移速度為

式中，Zi－1為索引i－1的Z軸方向向量為操作機末端在i－1坐標系下的位置向量。

圖3 旋轉關節對末端的影響

沿X、Z方向的平移誤差量在操作機末端產生的位移速度分別是各軸坐標系在基坐標系下的旋轉矩陣[n′ o a]對應的n′、a向量。

因此對應線性獨立的誤差分量，可以得到其雅可比矩陣：

式中，d為原點到末端的矢量。

5 仿真實驗

實驗中使用Peter Corke的機器人工具箱建立兩連桿機器人模型，如圖4所示，其連桿參數如表1所示。

圖4 兩連桿機器人模型

表1 機器人D－H參數

由于單個平面標定出的數據可能會導致所標定的數據僅在某個平面內有效，同時由于機器人的工作空間是某一有限空間，故我們在限定機器人的平面運動時，給出表2所示的有效約束平面。

表2 標定平面

由于光電編碼器具有很高的精度，因此關節編碼器的讀數一般認為是精確的。任何的關節角度值誤差只可能來自于關節偏移，因此，關節偏移被考慮到誤差參數中。每個關節連桿的誤差參數由θ1、d1、α1、a1、θ2、d2、α2、a2構成。要求解所有誤差參數，至少需要測量8組數據。在每個限位平面上選取40個點的數據作為標定數據，這些點隨機分布在各個平面上的（0.5×0.4）m2區域內。將測得的數據應用到式（7），便可得出對應各誤差的實際值，如表3所示。

表3 誤差參數辨識

將表3所示的參數誤差附加至機器人的名義參數值中，可得到經誤差矯正后的位置值，對比矯正前后的位置，便可評價該算法的有效性。表4所示為標定前后原點到面的距離的均方根誤差。

表4 標定前后點到面的距離的均方根誤差對比

上述仿真實驗表明，基于平面精度的標定方法能夠將機器人的絕對定位精度提高50倍。

6 結束語

本文將一種新穎的機器人標定方法用于提高機器人的絕對精度。該方法測量過程簡單，標定數據獲取容易，有利于普及化。從標定原理可看出，機器人基坐標的校準工作可以省去，簡化了標定過程，因而可以縮短機器人線下標定時間。

[1]劉宇，梁斌，強文義，等.基于運動學標定的空間機器人位姿精度的研究[J].機械設計，2007，4（24）：8-12.

[2]Lim Hyun－Kyn，Kim Dong－Hyeok，Kim Sung－Rak，et al.A Practical Approach to Enhance Positioning Accuracy for Industrial Robots [C]／／ICROS－SICE International Joint Conference 2009.Fukuoka，Japan，2009：2268-2274.

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[5]Lou Yunjiang，Chen Tieniu，Wu Yuanqing，et al.Improved and Modified Geometric Formulation of POE Based Kinematic Calibration of Serial Robots[C]／／The 2009IEEE／RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems.St.Louis，MD，2009：5261-5267.

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[8]Lee Min－su，Kang Dong－soo，Cho Young－suk，et al.The Effective Kinematic Calibration Method of Industrial Manipulators Using IGPS [C]／／ICROS－SICE International Joint Conference 2009.Fukuoka，Japan，2009：5059-5063.

[9]Bennett D J，Hollerbach J M.Autonomous Calibration of Single－loop Closed Kinematic Chains Formed by Manipulators with Passive Joints[J].IEEE Transactions on Robotics ＆ Automation，1991，7（5）：597-606.