信息熵理論在巖體結構加速流變破壞分析中的應用研究

黃耀英，鄭 宏，田 斌

（1.三峽大學水利與環境學院，湖北宜昌 443002；2.中國科學院武漢巖土力學研究所巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071）

信息熵理論在巖體結構加速流變破壞分析中的應用研究

黃耀英1，2，鄭 宏2，田 斌1

（1.三峽大學水利與環境學院，湖北宜昌 443002；2.中國科學院武漢巖土力學研究所巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071）

將信息熵理論應用于黏彈性及黏塑性問題分析，通過單元彈性應變能和單元總應變能所對應的信息熵的對比，發現：不可逆流變應變對應的能量為耗散能，以單元彈性應變能計算的信息熵可以較好地反映結構從無序到有序的演變過程；然后將信息熵應用于不同巖體結構的加速流變破壞分析。結果表明：結構信息熵與節點位移具有良好的一致性；信息熵先因能量耗散而逐漸減小；結構加速流變破壞時，信息熵達到極小值。

信息熵；耗散；加速流變；破壞

1 概 述

能量耗散與結構損傷、劣化、塑性變形及強度喪失直接相關，近年來，越來越多的學者關注和重視從能量耗散的角度去研究結構的破壞問題［1］。朱維申等［2，3］將能量耗散模型應用于三峽船閘高邊坡工程，其認為西原流變模型中的黏彈性變形和黏塑性變形都是耗散能；謝和平等［4］對巖體變形破壞過程的能量機制進行了研究，認為耗散能用于形成材料內部損傷和塑性變形，其變形能滿足熱力學第二定律。Shannon于1948年提出了熵（Entropy）的概念［5］，即它代表著關于“不確定性”的一種度量，1957年Jaynes提出了描述這種不確定性的數學方法即極大熵原理［6］。由于系統的熵值和系統狀態的無序度存在著一一對應關系，而結構的破壞過程就是從無序（穩定態）向有序（非穩定態）演變的過程，因此在得到結構臨界平衡條件的基礎上，通過計算結構在這一過程中的“熵”，就可以方便地對結構的狀態進行度量。陳建軍等［7］證明了結構信息熵是具有單個峰值的上凸函數，當且僅當各單元的應變能密度彼此相等時，結構的熵達到最大值。許傳華等［8］應用耗散結構理論、熵及突變論等非線性科學理論研究了巖石非線性穩定問題；杜華冬等［9］將反映結構破壞無序性的熵的概念應用于實際工程，分析表明隨著超載倍數的增大，系統熵逐漸減小。叢培江等［10］將熵理論應用于混凝土開裂擴展過程，分析表明隨著外荷的增大，信息熵逐漸增大，其認為裂縫起裂后，斷裂過程區的應變能重新分布，系統能量分布的集中狀況得到一定的緩解，在此過程中產生的熵為正熵，所以系統的熵值隨著外荷載的增大而增大。趙瑜等［11］基于耗散結構理論，對隧道圍巖卸荷演化過程的Kolmogorov熵進行了分析。周翠英等［12］對巖石變形破壞的熵突變過程與破壞判據進行了研究。但將信息熵理論用于分析巖體結構加速流變破壞尚未見有關文獻報道，據此，本文將信息熵理論應用于黏彈性及黏塑性問題分析，對比單元彈性應變能和單元總應變能計算的信息熵，然后將信息熵應用于巖體結構的加速流變分析。

2 基本原理

2.1 巖體結構加速流變破壞分析

假設節理巖體的彈黏塑性計算模型如圖1所示。

圖1 節理巖體等效流變模型Fig.1 Equivalent rheologicalmodel of jointed rock mass

巖石和節理的彈黏塑性本構關系：

（1）巖石采用D P屈服準則，其彈黏塑性本構關系為

式中DR為巖石的彈性矩陣。

（2）節理采用M C屈服準則，其彈黏塑性本構關系為

式中Dj為節理彈性矩陣。

式中：knj，ksj分別為法向和切向剛度系數；dj為節理間距。

根據應變疊加原則，節理巖體的應變為巖石的應變和節理的應變之和，即

上式中：D為節理巖體彈性矩陣；Tj為轉換矩陣，其一般形式為

對于完整巖石，在進行流變分析時，不需要考慮式（6）中的節理部分。

圖1中，ηR（t），ηj1（t）和ηjn（t）為非線性黏滯系數。為了反映當巖石或節理發生屈服以后隨時間的加速流變特性，本文假設非線性黏滯系數隨荷載作用時間的增加而減小，即采用下式來表示，

式中：A，B，C為與材料相關的常數；t為流變時間。

2.2 信息熵理論

1948年，Shannon提出了信息熵的概念，表達式為

式中：Ф為正的常數，本文分析時，取Ф＝1；pi是信息源中第i種信號出現的概率；ln pi是它帶來的信息量；S表征了信息量的大小，是一個系統狀態不確定性的量度。

采用有限單元法進行結構流變問題分析時，設在拓撲形式、邊界條件和作用荷載給定的n個單元的結構中，第i個單元具有的應變能為qi（i＝1，2，…，n），則系統的總應變能Q為

顯然，新引入的物理量λi≥0（i＝1，2，…，n），具有完備性和非負性，其力學含義表示第i個單元的應變能在總應變能中所占的份額。為了綜合反映不同結構應變能的分布狀況，定義結構的信息熵函數S為

文獻［7］已證明，結構的信息熵S為具有單個峰值的上凸函數，當且僅當各單元的應變能彼此相等時，即當λi＝1／n（i＝1，2，…，n）時，結構的熵S達到最大值。

本文在計算結構信息熵時，對第i個單元的應變能分別取彈性應變能或彈性應變能與黏性應變能之和進行對比。

其中，彈性應變能采用式（15）計算，即

式中：σij為應力分量；εeij為彈性應變分量。

此時，外力功為

式中：Sσ為面力邊界；珋fi為其上的面力；珔Pj為集中力；Δue為彈性位移。

黏性應變能為

式中Δuc為黏性位移，其余符號含義同前。

3 算例分析

3.1 均質巖性結構算例

圖2為受內壓作用的均質巖性厚壁圓筒，內徑ra＝0.1 m，外徑rb＝0.2 m。作用均布內壓p，設結構的彈性模量為31 GPa，泊松比為0.2；對比分析了如下3組工況。

圖2 有限元計算網格Fig.2 FEM mesh

工況1：假設材料滿足n＝1的廣義開爾文模型，開爾文元件的彈性模量為80 GPa，黏滯系數為1.15×1012（Pa·d），均布壓力p為1.0 MPa。

工況2：假設材料滿足彈 黏塑性模型，采用內切圓錐的D P屈服準則，凝聚力為1.83 MPa，內摩擦角為59.2°，黏滯系數為η0＝1.15×105（Pa·d），計算黏塑性應變率的函數Φ（F）＝F／F0，F＝αI1＋K，F0＝K，均布壓力p為1.0 MPa。

工況3：考慮結構的加速流變η＝η0／（0.001t2＋1.0）（Pa·d），t為流變時間，其余條件與工況2同。

計算3種工況下的外力功和應變能，見圖3。3種工況下的信息熵，見圖4。

圖3 不同工況下外力功和應變能比較Fig.3 Externalwork and strain energy in different load cases

圖4 不同工況下信息熵比較Fig.4 Information entropy in different load cases

由圖可見：

（1）3種工況計算的彈性應變能和黏性應變能之和，與外力功極為接近，最大誤差僅為3%。

（2）采用廣義開爾文模型進行黏彈性問題分析時，無論采用彈性應變能計算信息熵，還是采用彈性應變能和黏性應變能之和計算信息熵，信息熵基本不變，究其原因為廣義開爾文模型的黏彈性應變可逆，結構沒有能量耗散。

（3）對結構進行彈 黏塑性分析時，由于黏塑性應變為不可逆應變，其對應的能量為耗散能，此時，系統的信息熵隨時間逐漸減小。當采用彈性應變能計算信息熵時，信息熵先減小，達到極小值3.092 7后，然后增大，信息熵達到極小值時可認為是結構破壞，即從“無序”走向“有序”，這與流變位移也是吻合的。而采用彈性應變能和黏性應變能之和計算信息熵，雖然信息熵逐漸減小，但不能反應結構破壞的過程。

3.2 結構面加速流變分析

設一塊體為2 m×2 m×2 m，中間夾有結構面，結構面厚0.05 m，底部位移完全約束，結構面用薄層單元模擬，有限元模型如圖5所示。塊體的彈性模量為20 GPa，泊松比為0.2，塊體采用內切圓錐D P屈服準則，凝聚力為1.5 MPa，內摩擦角為45°，黏滯系數為1.15×106（Pa·d），計算黏塑性應變率的函數Φ（F）＝F／F0，F＝αI1＋－K，F0＝K；結構面采用莫爾 庫侖屈服準則，凝聚力0.1 MPa，內摩擦角為20°，黏滯系數η＝2×109／（0.001 t2＋1）（Pa·d），t為流變時間，計算黏塑性應變率的函數Φ（F）＝F／F0，F＝（＋tanφσz′－c，F0＝ 1；作用荷載p1＝1.0 MPa，p2＝1.0 MPa。由計算結果圖6可見，結構的信息熵和切向位移具有良好的一致性，信息熵因能量耗散而逐漸減小，結構加速流變破壞時，信息熵達到極小值2.705 7，然后略有增大。

圖5 有限元模型Fig.5 FEM model

圖6 切向位移和信息熵過程線比較Fig.6 Comparison between tangential displacement curve and inform ation entropy curve

3.3 節理巖體邊坡加速流變分析

具有一組貫通節理面的巖質邊坡，如圖7所示。節理貫通率為100%，節理傾角為45°，節理平均間距為5 m，在邊坡上作用均布壓力。xjyjzj為節理面坐標系，yj與y平行。巖石和節理的材料參數如表1所示；巖石的黏滯系數ηR＝5×106／（0.001 t2＋1.0）（Pa·s），節理面的黏滯系數ηj＝2×106／（0.001t2＋1.0）（Pa·s），t為流變時間。由圖8可見，結構信息熵與典型節點水平向位移具有良好的一致性。信息熵先因能量耗散而逐漸減小，節理巖體加速流變破壞時，信息熵達到極小值3.743 4，然后略有增大。

圖7 節理巖體邊坡Fig.7 Jointed rock slope

表1 節理巖體的材料參數Table1 Parameters of jointed rock

圖8 節點水平位移和信息熵過程線比較Fig.8 Comparison between the curve of horizontal displacement of the node and the information entropy curve

4 結 語

本文將信息熵理論應用于不同巖體結構流變分析，得到如下結論：

（1）對比分析了分別采用單元彈性應變能和單元總應變能計算的信息熵，認為以單元彈性應變能計算的信息熵可以較好地反映結構從無序到有序的演變過程。

（2）廣義開爾文模型的黏彈性應變可逆，結構沒有能量耗散，所以采用廣義開爾文模型進行黏彈性問題分析時，無論采用彈性應變能計算信息熵，還是采用彈性應變能和黏性應變能之和計算信息熵，信息熵基本不變。

（3）將信息熵應用于不同巖體結構的加速流變分析，結果表明：結構信息熵與典型節點水平向位移具有良好的一致性，信息熵先因能量耗散而逐漸減小，結構加速流變破壞時，信息熵達到極小值。

［1］ 謝和平，馮夏庭.災害環境下重大工程安全性的基礎研究［M］.北京：科學出版社，2009.（XIE He ping，FENG Xia ting.Basic Research on the Safety of Major Projects During Disasters［M］.Beijing：Science Press，2009.（in Chinese））

［2］ 朱維申，程 峰.能量耗散本構模型及其在三峽船閘高邊坡穩定性分析中的應用［J］.巖石力學與工程學報，2000，19（3）：261－264.（ZHUWei shen，CHENG Feng.Constitutive Model of Energy Dissipation and Its Application to Stability Analysis of Ship Lock Slope in Three Gorges Project［J］.Chinese Journal of Rock Me chanics and Engineering，2000，19（3）：261－264.（in Chinese））

［3］ 朱維申，李術才，程 峰.能量耗散模型在大型地下洞室群施工順序優化分析中的應用［J］.巖土工程學報，2001，23（3）：333－336.（ZHU Wei shen，LIShu cai，CHENG Feng.Application of Energy Dissipation Model to Optimization of Construction Order for Large Under ground Caverns［J］.Chinese Journal of Geotechnical En gineering，2001，23（3）：333－336.（in Chinese））

［4］ 謝和平，鞠 楊，黎立云，等.巖體變形破壞過程的能量機制［J］.巖石力學與工程學報，2008，27（9）：1729－1740.（XIE He ping，JU Yang，LI Li yun，et al.Energy Mechanism of Deformation and Failure of Rock Masses［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and En gineering，2008，27（9）：1729－1740.（in Chinese））

［5］ SHANNON C E.A Mathematical Theory of Communica tion［J］.Bell System Technical Journal，1948，27：379－423.

［6］ JAYNESE T.Information Theory and StatisticalMechan ics［J］.The Physical Review，1957，106：620－630.

［7］ 陳建軍，曹一波，段寶巖.結構信息熵與極大熵原理［J］.應用力學學報，1998，（4）：116－121.（CHEN Jian jun，CAO Yi bo，DUAN Bao yan.Informational En tropy of Structure and Maximum Entropy Principle［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1998，（4）：116－121.（in Chinese））

［8］ 許傳華，任青文.圍巖穩定分析的熵突變準則研究［J］.巖土力學，2004，25（3）：437－440.（XU Chuan hua，REN Qing wen.Criterion of Entropy Catastrophe of Stability of Surrounding Rock［J］.Rock and Soil Me chanics，2004，25（3）：437－440.（in Chinese））

［9］ 杜華冬.水工結構整體安全性評價的變形能方法［D］.南京：河海大學，2005.（DU Hua dong.Strain Energy Method in Integral Security of Hydro structures［D］.Nanjing：Hohai University，2005.（in Chinese））

［10］叢培江，顧沖時，王 建.熵理論在分析混凝土裂縫擴展過程中的應用探討［J］.應用基礎與工程科學研究，

2008，16（1）：50－56.（CONG Pei jiang，GU Chong shi，WANG Jian.Application of Entropy Theory in the Analysis of Concrete Crack Propagation Process［J］.Journal of Basic Science and Engineering，2008，16（1）：50－56.（in Chinese））

［11］趙 瑜，盧義玉，康 勇.隧道圍巖卸荷演化過程的Kolmogorov熵分析［J］.重慶大學學報，2009，32（9）：1006－1010.（ZHAO Yu，LU Yi yu，KANG Yong.Kol mogorov Entropy Analysis of Surrounding Rock System in the Processing of Unloading for Deep Buried Tunnels［J］.Journal of Chongqing University，2009，32（9）：1006－1010.（in Chinese））

［12］周翠英，張樂民.巖石變形破壞的熵突變過程與破壞判據［J］.巖土力學，2007，28（12）：2506－2510.（ZHOU Cui ying，ZHANG Yue min.Research on Entro py Catastrophic Regularity and Failure Criterion in the Deformation and Failure Process of Rocks［J］.Rock and Soil Mechanics，2007，28（12）：2506－2510.（in Chi nese） ）

（編輯：羅玉蘭）

Application of Information Entropy Theory to the Failure Analysis of Accelerated Rheology of Rock Structure

HUANG Yao ying1，2，ZHENG Hong2，TIAN Bin1
（1.College of Hydraulic＆Environmental Engineering，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Information entropy theory is used to analyze viscoelastic and viscoplastic problems.Based on the com parison of information entropy corresponding to the element’s elastic strain energy and total strain energy，it is found that the energy corresponding to irreversible rheological strain is dissipative.The information entropy calculat ed by element’s elastic strain energy can exactly reflect the development of rock structure from disorder to order.Furthermore，information entropy is applied to the failure analysis of accelerated rheology of different rock struc tures.It is shown that the information entropy iswell consistentwith the node’s displacement.Information entropy reduces gradually as energy dissipates，and then reaches theminimum value when the accelerated rheology of rock structure is destroyed.

information entropy；dissipation；accelerated rheology；destroy

TU457

A

1001－5485（2011）08－0050－05

2010 08 27

國家自然科學基金項目（50779031）；國家杰出青年基金項目（50925933）；湖北省教育廳科學技術研究項目（D20101207）

黃耀英（1977 ），男，湖南郴州人，博士，副教授，主要從事大壩安全監控和巖體流變問題研究，（電話）13997662901（電子信箱）huangyaoying＠sohu.com。