基于土拱理論的土體坍塌機理研究

劉丹珠，張家發，李少龍，王丙杰

基于土拱理論的土體坍塌機理研究

劉丹珠，張家發，李少龍，王丙杰

（長江科學院水利部巖土力學與工程重點實驗室，武漢 430010）

在均質堤基或典型雙層堤基中由于各種原因形成土洞，其輪廓線是拱形。將土拱近似為三鉸拱，應用結構力學中三鉸拱合理拱軸線的求解方法，推導了土拱的近似合理拱軸線方程。應用太沙基提出的土拱效應存在條件，推導了在粘性土和無粘性土的土拱的最小拱高和最小拱厚計算公式，分析了拱形參數的合理性及形成穩定土拱的條件。應用本文的土體坍塌機理研究可以用來判斷土洞的穩定性。

土拱效應；三鉸拱；坍塌；最小拱高；最小拱厚

1 概 述

土拱效應［1］是屈服介質的應力向臨近的非屈服介質的傳遞作用，這種傳遞作用是通過松散介質的抗剪強度來實現的，所以只有當松散介質的一部分有相對位移或有相對位移的趨勢時，土拱效應才可能產生。

1884年，英國科學家羅伯茨首次觀察到：糧倉底面所承受的力在糧食堆積高度約大于2倍底面直徑后達到飽和而不再增加，并對此作了報道，丟失的質量到哪去了［2］？1895年，德國工程師詹森（H A JANSSEM）用連續介質模型對此現象做出了定量的解釋，他在力學平衡方程中，加入由縱向壓力產生的橫向側壁壓力系數來考慮顆粒與倉壁之間的摩擦力，給出了糧食堆積高度與糧倉底面所承受的力的關系［2］。

1943年Terzaghi通過著名的活動門試驗證實了土拱效應的存在，在對土拱的應力分布進行描述的基礎上，得出土拱效應存在必需具備3個條件：①土體之間產生不均勻位移或相對位移；②作為支撐的拱腳的存在；③拱體形成處土體剪應力小于其抗剪強度［3］。

1980年，A N SCHOFIELD在進行河堤穩定研究時，提到過拱效應的產生。他認為，當承力層有一定厚度時，楔緊塊將產生“拱作用”，阻止河堤的進一步垮塌［4］。

2003年，馮君等［5］將廣泛用于隧道工程的普氏系數引入抗滑樁最大間距計算分析中，并根據樁間土拱的靜力平衡確定了抗滑樁的最大間距。

2006年，趙明華等［6］考慮土拱效應分析了抗滑樁的合理間距分布，得到一個半經驗的公式。上述應用土拱理論計算抗滑樁最大間距的計算方法得到了工程實例的驗證，但其拱腳形式是結構物，拱體以上土體的壓力全部傳遞到穩定結構物上。

朱碧堂等［7］曾對土拱效應做過詳細的分析，認為在水平方向無限延伸的均質地層中形成的土拱如同一條拱形梁將作用在拱上的壓力傳遞到拱腳和周圍土體中，該法稱為“拱形梁法”。賈海利等［3］應用“拱形梁法”把土拱假想為結構力學中的三鉸拱，推導了基坑開挖形成的水平土拱的合理拱軸線方程，并依據土體拱腳處抗滑穩定性和土體拱腳處最危險截面滿足庫倫強度準則，確定了水平土拱的合理拱形參數。

2 均質地層土拱效應

2．1 拱軸線和支座反力的推導

土體自發形成土拱，拱形一定是最合理的，即三鉸拱的拱軸線一定是合理拱軸線，拱體處彎矩M＝0。設上覆土體重度為γ（kN／m3），有效內摩擦角為φ（°），把物理模型概化為力學模型，如圖1所示。拱頂到地層頂面的距離定義為上覆層厚度H（m），拱高用h（m）表示，拱跨用l（m）表示。拱所受的豎向分布荷載q＝γH＋γy，圖中qc＝γH。在豎直荷載作用下，三鉸拱的彎矩M由豎向荷載作用下簡支梁的彎矩M0與FHy疊加而成。當拱體處都沒有彎矩時（即上式兩邊對x求二階導得

將q（x）＝qc＋γy代入（1）式得

當上覆土體自重一定時，水平支座反力FH為定值，解二階微分方程得

圖1 受上覆地層自重的三鉸拱Fig．1 Three-hinged arch by overlying weight

邊界條件：

將邊界條件代入（3）式并注意到qc＝γH，得

式中：H為上覆土體厚度；FH水平支座反力。

三鉸拱豎直方向的平衡方程和相同受力條件下相同跨度簡支梁豎直方向的平衡方程相同。列豎直方向平衡方程，右側拱受力分析如圖2所示。

圖2 右側拱受力分析Fig．2 Forces of the right arch

化簡（6）式得

鉸點C處彎矩Mc＝0，對鉸點C取力矩列平衡方程，得

將（5）式和（7）式代入（8）式化簡得

可見，（9）式是一個關于未知數m的方程。

指數函數f（x）＝ez展開成z的冪級數

對于任意的z，ξ（ξ在0與z之間），余項的絕對值

e｜z｜有限的一般項，所以當n→∞時，有｜Rn（z）｜→0，即它的收斂半徑R＝＋∞。

如果在z＝0處附近，用級數的部分和來近似代替ez，那么隨著末項的增加，它們就越來越接近于e z。

雙曲函數

反雙曲函數

由以上推導可以得出雙曲函數和反雙曲函數在展開成冪級數時的收斂半徑R＝∞。

將指數函數ez和e－z展開成泰勒級數，截取展開式的前五項用多項式的部分和代替ez和e－z，代回雙曲函數sh z和反雙曲函數ch z的表達式，得到雙曲函數和反雙曲函數近似表達式如下：

選取適當的拱高h、拱跨l和上覆層厚度H代回（19）式計算出m值，代回（9）式計算相對誤差限，表達式為

圖3 -h關系曲線Fig．3 Curve ofversus h

圖4 -h／H關系曲線Fig．4 Curve ofversus h／H

從圖3中可以看出：①當上覆層厚度H、拱跨l一定時隨著拱高h的增大，相對誤差限ε*r在逐漸增大。②當上覆層厚度H一定時，拱跨l在一定范圍內變化對ε*r-h關系曲線無顯著影響。

從圖4中可以看出，ε*r隨著h／H比值的增大而增大；h／H≤5，此時ε*r≤1．15×10－1。

2．2 最小拱高

形成穩定土拱后，對應一定拱跨和上覆層厚度，拱高的最小值稱為最小拱高。最小拱高對應的拱圈以下土體在沒有支護時將全部自動塌落。

太沙基對土拱效應做過詳細研究，提出土拱效應存在時，拱體形成處土體剪應力應小于其抗剪強度。

拱腳處水平方向滿足下式

式中：φ為土體的有效內摩擦角（°）；C為土體的粘聚力（kPa）；l為拱跨長度（m）。

將（21）式和（22）式代入（24）式取極限狀態得

對于無粘性土，取土體的粘聚力C＝0。

將（24）式取極限狀態得

將（21）式和（22）式代入（26）式得

式中：l為拱跨，h為拱高，均為大于或等于零的值，單位（m）；γ為拱腳區域土體重度（kN／m3）；φ為有效內摩擦角（°）；H為上覆土體厚度，單位（m）。

化簡（27）式得

（28）式是關于未知數h的二次方程，解方程可以得到最小拱高hmin關于l，H，φ的表達式（當hmin／H比值較大時，公式需謹慎使用）。

當l＝0時，hmin＝0，取（29）式中的最小拱高。以下研究（29）式中最小拱高hmin隨其它參數變化的關系。

因變量hmin相對于自變量l來說是增函數，當l＝0時，hmin＝0。且l≥0，所以hmin≥0。土體有效內摩擦角φ一定時，hmin-l關系曲線見圖5。

對于無粘性土，從圖5中可以得到以下結論：

（1）當φ一定時，隨著l的增大，hmin逐漸增大；

（2）上覆層厚H越小，一定有效內摩擦角φ和拱跨l對應的最小拱高hmin越大；

（3）對比圖5中的（a）和（b）圖得：當上覆層厚H相等時，土體有效內摩擦角φ小的，一定拱跨l對應的最小，拱高hmin大。

圖5 無粘性土中不同上覆層土體厚度H和有效內摩擦角φ時hmin-l關系曲線Fig．5 Relations of hminand l at different thickness of overlying soil and internal friction angleφin cohesiveless soil

當H趨近于無限大時，（30）式右端第二項分母中的二次項遠大于一次項，hmin對H的偏導數趨近于零，所以當H趨近于無限大時，hmin趨近于定值。

從圖6可以看出，當H＝0時，hmin≠0；但當上覆層厚度為零時，不能形成土拱效應，所以此點為奇點，應去除。

圖6 無粘性土中不同拱跨l和有效內摩擦角φ時hmin-H關系曲線Fig．6 Relations of hminand H at different arch spans and internal friction angleφin cohesiveless soil

對于無粘性土，由圖6可以得到以下結論：

（1）hmin-H關系曲線是減函數；

（2）對應一定拱跨l和有效內摩擦角φ，上覆層厚度H較小時，上覆層厚度H對最小拱高hmin的影響較大，且拱跨l越大，上覆層厚度H對最小拱高hmin的影響越大；

（3）由圖6中的（a）和（b）圖比較分析得到，對應一定拱跨l和上覆層厚度H，有效內摩擦角φ較小者最小拱高較大。

粘性土中由于粘聚力C的影響，最小拱高hmin隨拱體跨度l、上覆土體厚度H的變化呈現與無粘性土不一樣的規律。

令

確定土體在水平方向滿足穩定性時的最小拱高hmin，化簡（25）式得

（33）式中比（28）式多了k的影響項。

令

由于跨度l＝0時，拱高hmin＝0，所以hmin＝（33）式比（28）式多了綜合參數k的影響項，由于k的影響項中無拱體跨度l，所以相對自變量拱體跨度l也是增函數，即l≥0時，hmin≥0。將拱體跨度l、上覆土體厚度H、土體參數γ，C，φ代入（34）式可以得到最小拱高hmin的數值。以下通過曲線圖圖7和圖8來描述（33）式的性質。

對于粘性土，由圖7中可以得到以下結論：

（1）當土體參數一定時，不同的上覆層厚度H，粘性土中最小拱高hmin隨l變化的關系曲線都幾乎呈直線；

（2）上覆層厚度H對最小拱高hmin的影響比無粘性土大；

（3）對比圖7的（a）和（b），當上覆層厚度H和拱跨l一定時，土體參數γ，C，φ小的對應的最小拱高大。

圖7 粘性土一定上覆層厚度和有效內摩擦角φ時hmin-l關系曲線Fig．7 Relations of hminand l at different thickness of overlying soil and internal friction angleφin clay

圖8 粘性土一定拱跨l和有效內摩擦角φ時hmin-H關系曲線Fig．8 Relations of hminand H at different arch spans and internal friction angleφin clay

從（33）式中分析得到，當H＝0，l＝0時，hmin≠0，但當上覆層厚度為零，且拱跨也為零時，不能形成土拱效應，所以此點為奇點，應去除。

對于粘性土，由圖8可以得到以下結論：

（1）hmin-H關系曲線是增函數；

（2）對應一定拱跨l的相同土性的土體，隨著上覆層厚度H的增大，hmin-H關系曲線趨于平緩，最小拱高hmin將趨于一個穩定的值；

（3）對比圖8中的（a）和（b），對應一定拱跨l和上覆層厚度H，強度較高者最小拱高較小。

2．3 最小拱厚

對應一定拱跨、拱高、上覆層厚度，拱圈厚度的最小值稱為最小拱厚（等價于拱體厚度）。當上覆層厚度小于最小拱厚時，不能形成土拱，上覆土體將全部坍塌。

均質地層中形成的土拱，土體拱腳處最危險截面應滿足摩爾－庫倫強度準則，依據右側拱腳B最危險截面處土體的極限平衡條件，應力分析如圖9所示，建立拱厚t和其他變量的關系，計算出要形成土拱時的最小拱厚。取軸力與豎直方向的夾角為φ，根據幾何關系可得φ＝φ。無粘性土粘聚力C＝0，粘性土粘聚力C＞0。

圖9 右側拱腳B應力分析Fig．9 Stress analysis for the right arch foot B

式中：σ1，σ3分別為最大和最小主應力；C為土體粘聚力；φ為有效內摩擦角。

式中：σ1f，σ3f分別為最大和最小極限主應力；t為拱體厚度。

將（37）式和（36）式代入（35）式求得在均質粘性土中一定拱高和拱跨對應的最小拱厚

對于無粘性土，C＝0。

最小拱厚tmin和土體強度參數，拱跨l，上覆層厚度H和拱高h有關。

3 典型雙層堤基土拱效應

上層為粘性土，下層為無粘性土的雙層堤基，設粘性土層厚度為H1，粘性土土體重度為γ1，有效內摩擦角為φ1，粘聚力C1；無粘性土土體重度為γ2，有效內摩擦角為φ2。拱頂到兩地層交界面距離為H2，當H2≥0時，拱頂在無粘性土中；當H2＜0時，拱頂在粘性土中。

3．1 拱頂在無粘性土時的土拱效應

當拱頂在兩地層交界面以下時，H2≥0，此時拱圈所受的豎向分布荷載q＝γ1H1＋γ2H2＋γ2y，令γ1／γ2＝a，定義名義上覆層厚度H′＝（aH1＋H2），由于拱圈和拱腳都在無粘性土中，成拱原理與均質無粘性土中的成拱原理一樣。只需將無粘性土重度γ2，名義上覆層H′，無粘性土的有效內摩擦角φ2代入（21）式，（22）式，（23）式，（25）式，（39）式就可以求取拱頂在兩地層交界面以下時的土拱參數。三鉸拱力學模型如圖10所示。

圖10 拱頂在地層交界面以下時的三鉸拱Fig．10 The three-hinged arch of arch crest below the interface

右側拱受力分析如圖11所示，應力分析如圖12所示。

圖11 右側拱受力分析Fig．11 Force analysis for the right arch

3．2 拱頂在粘性土時的土拱效應

拱頂在兩地層交界面以上時，粘性土中有部分拱圈，粘性土粘聚力對此部分拱圈有力學作用，H2＜0，近似概化粘性土粘聚力對粘性土中拱圈的影響。

假設土拱在均質粘性土中形成，上覆層厚度H＝H1＋H2，將上覆層厚度H，拱跨l代入（33）式，求取最小拱高hmin，用H′2＝h－hmin1－H2計算H′2。

圖12 右側拱應力分析Fig．12 Stress analysis for the right arch

如果H′2≥0，則拱頂在無粘性土，返回到3．1小節中求取對應土拱參數。

如果H′2＜0，拱頂在粘性土中，則粘性土區域中的合理拱軸線和最小拱厚是土拱在均質粘性土中形成求取的合理拱軸線和最小拱厚，無粘性土區域中的合理拱軸線是土拱在均質無粘性土中形成求取的合理拱軸線。三鉸拱力學模型如圖13所示。

圖13 拱頂在地層交界面以上時的三鉸拱Fig．13 The three-hinged arch of arch crest above the interface

4 結 語

本文研究取得以下結論：

（1）用“拱形梁法”推導了受上覆土體自重的土拱的合理拱軸線，通過化簡得到三鉸拱水平和豎向支座反力。計算求取了土拱合理拱軸線的顯式近似解析解，對近似解開展了誤差分析。

（2）用太沙基提出的土拱存在條件推導了2種土性（粘性土和無粘性土）土拱的最小拱高和最小拱厚公式。

（3）分析了無粘性土和粘性土中形成穩定土拱的條件。

（4）用本文基于土拱理論的土體坍塌機理可以判斷均質土體中各種原因形成的土洞的穩定性。

（5）本文用理想條件下均質散粒體的物理力學參數（γ，C，φ），推導了無粘性土和粘性土中形成穩定土拱所需的最小拱高和最小拱厚公式，解釋了土拱形成的機理。

（6）以上推導和分析已經做了一些算例的驗證，但還需要進一步補充和完善。

致謝：在寫論文期間，文松霖教授、饒錫保教授和潘家軍博士給予了指導和幫助，在這里表示深深的謝意！

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（編輯：羅玉蘭）

Intelligentmodels including Grey Model（GM（1，1）），BP neural network，and the combination of the twomodels Grey Neural Network Model（GNNM（1，1））were employed in the prediction of anchorage foundation deformation．Monitored soil pressure of the north anchorage foundation of Runyang Bridge was taken to dynamically predict the deformation by these threemodels．The predictionswere further compared with themeasured soil pres-sures．The comparison showed that there is a relative error of 1．11%，0．77%and 0．43%respectively of each model’s prediction result．Compared with the other twomodels，the prediction of GNNM（1，1）was closer to the measured soil pressure，and it can be applied in actual prediction process as it ismore appropriate for curve fitting nonlinear data and large-fluctuation data．

Intelligent Prediction of Anchorage Foundation Soil Pressure for Large Span Suspension Bridge

REN Li-fang1，YUAN Bao-yuan2
（1．Department of Economics and Management，Shijiazhuang Institute of Railway Technology，Shijiazhuang 050041，China；2．School of Earth Science and Engineering，Hohai University，Nanjing 201198，China）

anchorage foundation，intelligentmodel，soil pressure prediction，gray BP neural network

TV16

A

1001－5485（2011）05－0035－07

2010-06-28

國家重點基礎研究發展計劃（2007CB714106）

劉丹珠（1984-），男，江西銅鼓人，碩士，主要從事滲流和地下水環境的研究工作，（電話）15271932007（電子信箱）ldzliudanzhu＠163．com。