基于二維泥沙顆粒的相對隱蔽度初步研究

孟 震，楊文俊

基于二維泥沙顆粒的相對隱蔽度初步研究

孟 震，楊文俊

（長江科學院水利部江湖治理與防洪重點實驗室，武漢 430010）

絕對隱蔽度和相對隱蔽度是泥沙顆粒隱蔽度研究中的2大派別。針對韓其為定義的二維泥沙顆粒相對隱蔽度，給出了統計意義上的寬級配非均勻沙顆粒相對隱蔽度的計算式，對該式的物理意義進行了討論，并提出了基于泥沙相對隱蔽度的寬級配非均勻沙中“大顆粒”、“小顆粒”、“中等顆粒”的概念。

相對隱蔽度；均勻分布；均勻沙；非均勻沙

1 概 述

Einstein（1950）在研究非均勻沙推移質輸沙率時，首先提出用隱蔽系數概念修正顆粒上舉力；韓其為（1965）首次定義了二維相對暴露度，從理論上導出它對泥沙起動流速的作用，并做了相對暴露度對起動流速影響的試驗；Paintal（1971）通過對計算床面、平均床面的分析，提出了絕對暴露度概念；劉興年（1986）根據Paintal的絕對暴露度定義做了深入的研究，并且通過實驗量測了暴露度的數值及其對泥沙起動流速的影響［1］。眾所周知：泥沙起動的難易程度不僅取決于該泥沙顆粒所受水流作用力的大小，還取決于各種作用力臂的大小，而泥沙顆粒隱蔽長度和暴露長度是量化各力臂大小的重要參數，研究泥沙顆粒隱蔽度有一定的意義。目前，泥沙絕對隱蔽度和相對隱蔽度是泥沙隱蔽度研究中的2大派別，針對韓其為首創的二維相對隱蔽度，本文給出了均勻沙和非均勻沙二維相對隱蔽度在統計意義上的計算式，并對該式的物理意義做出一些討論，最后提出了基于泥沙相對隱蔽度的寬級配非均勻沙中“大顆粒”、“小顆粒”、“中等顆粒”等概念。以下文中所述隱蔽度若無特殊說明均表示二維泥沙顆粒相對隱蔽度。

2 隱蔽度定義

為研究方便，眾多研究者都把泥沙顆粒作為二維“圓餅”模型來研究顆粒隱蔽度［1］，即二維泥沙顆粒相對隱蔽度。如圖1所示，泥沙顆粒隱蔽度為床面上所研究顆粒的最低點到與下游顆粒接觸點之間沿床面的垂向距離（隱蔽長度）與所研究顆粒粒徑的比值，記為η。另外暴露度為該顆粒最高點到與下游顆粒接觸點之間沿床面的垂向距離（暴露長度）與所研究顆粒粒徑的比值，記為ξ。

圖1 泥沙顆粒暴露度、隱蔽度示意圖Fig．1 Exposure and hidden degree of sediment particles

3 隱蔽度計算式

3．1 均勻沙隱蔽度

如圖2（b）所示，通過初等數學論證河床表層散體均勻沙排列穩定時的顆粒隱蔽度η的計算式為

式中：AE為隱蔽長度；OE為半徑；D為直徑；θ為OB與OE的夾角。

如圖2所示，對均勻沙而言，顯然θ∈［30°，90°］，可以推得η的取值區間是由于受試驗手段的限制，至今還不存在嚴格意義下的泥沙顆粒隱蔽度試驗數據。統計意義上講，可以假定均勻沙顆粒隱蔽度分布為“均勻分布”或“擬正態分布”，可取均勻沙顆粒隱蔽度的期望E（η）為0．283 5（η取值區間的平均值）。

圖2 均勻沙隱蔽度的4種特征值Fig．2 Four characteristic values of uniform sediment hidden degree

3．2 寬級配非均勻沙隱蔽度

河床上寬級配非均勻沙顆粒的排列具有很強的隨機性。理論上講，較精確的計算泥沙顆粒隱蔽度應該按照方紅衛的研究方法［2］，即研究每一種組合下的隱蔽度的期望。但是該方法計算量太大，甚至某些組合并不穩定，難以建立計算式。本文在方紅衛研究的基礎上，以幾個約定為基礎，對寬級配非均勻沙隱蔽度做一點研究。

研究泥沙顆粒隱蔽度的目的是為了更好地解決泥沙起動問題，在推導寬級配非均勻沙顆粒隱蔽度計算式之前，先做出4個約定：

（1）對于推移質泥沙顆粒來講，河床上泥沙顆粒起動后，仍將“下落”（滾落、滑落、沉落）到河床的“低凹”處，等待下次起動。

（2）“下落”的泥沙顆粒在河床上的排列是動態的，具有很強的瞬時性（隨機性）。該泥沙顆粒下落過程中要么被床面上準備起動的顆粒“支撐”，要么落到2個較大顆粒中間而被“卡住”。當其被“卡住”時，認為該顆粒處于“次表層”且不能起動。故研究顆粒隱蔽度時，該顆粒通常處于被“支撐”狀態，也即泥沙起動的研究對象為河床上的“表層”泥沙。

（3）按前人研究思路，把泥沙顆粒概化成“圓餅”狀。理論上講，需要2個任意粒徑的顆粒才能“支撐”一個顆粒。但是，如果3個顆粒粒徑都不相同，我們不僅難以判斷哪一個顆粒為隱蔽度所定義的“下游顆粒”，并且對于粒徑為不同數量級（甚至上千倍）的3顆泥沙，更難于求出所研究顆粒隱蔽度的最大與最小值。如圖3所示，按照經典研究理論［1］，對于圖3（a）和圖3（b）的模型來講，研究顆粒的Di隱蔽度是有可行的；而對于圖3（c）和圖3（d）的模型來講，顆粒Di的隱蔽度的最小值與最大值都大于0．5，這時研究的泥沙顆粒隱蔽度是沒有意義的（處于“次表層”狀態）。

圖3 任意粒徑顆粒組合模型下的泥沙隱蔽度Fig．3 Sediment hidden degree under combined modelof random diameter particles

為回避這個研究難題，我們可以分別研究每一種粒徑顆粒對所研究顆粒作用后的隱蔽度，再求出每一種排列的概率，進而可以求出所有粒徑顆粒對該顆粒影響下的隱蔽度期望。于是，特假定2個“支撐”顆粒的粒徑相等。（其實這種做法是從大量散亂的數值中選取一系列具有代表性的單元，反過來用這些單元來近似量化整體。）

（4）根據上述約定，我們可以求出寬級配非均勻沙粒徑為Di的顆粒（簡記為顆粒Di，下同）因受顆粒Dj支撐時的隱蔽度ηi，j的最值（最大和最小值）。參照前人的處理，可假定該顆粒的隱蔽度在統計上符合連續的“均勻分布”或“擬正態分布”，認為在每一種組合下泥沙顆粒隱蔽度ηi，j的綜合值為兩最值的平均。

根據以上約定，下面研究寬級配非均勻沙任意級配粒徑顆粒隱蔽度在統計意義上的計算式。根據文獻［3］，可假定床面上各粒徑級泥沙充分混合，不存在分選及集聚現象。取沙重為G的河床表層泥沙，設以沙重百分數P（D）表示的非均勻床沙的顆粒級配。將床沙按顆粒粒徑從小到大分成n組（Di＜Di＋1），取第i組的沙重百分數為Pi（Di），則對于粒徑級Di其沙重Gi＝GPi，當將沙粒作為球體考慮時，第i組沙的顆粒數Ni＝6GPi／πγsD3i。

計算寬級配非均勻沙粒徑為Di顆粒的隱蔽度時，應分3種情況分別考慮：①大顆粒Di與小顆粒Dj組合；②同等粒徑Di顆粒間的組合；③小顆粒Di與大顆粒Dj組合。

以組合①為例，根據約定（1）至（4），認為顆粒Di的隱蔽度為漸變的“均勻分布”或“擬正態分布”，由平均隱蔽度的最值ηi，jmin和ηi，jmax可以得到顆粒Dj對顆粒Di的綜合隱蔽度ηi，j，其表達式為

證明如下：

其中，D為顆粒直徑，R為顆粒的半徑。按照約定（4）平均式（3）和式（4）即可得到式（2）。

圖4 2種特例的顆粒組合Fig．4 Two special cases of particle combination

根據古典概型，可以得到組合（1）所發生的概率為

同理，可以得到組合②和組合③下的隱蔽度ηi，j和對應的概率Pi，j。值得注意的是：由約定（2）可知，當小顆粒的隱蔽度在＞0．5時，該顆粒處于“次表層”，此時小顆粒受到上游顆粒的一個壓力，被大顆粒Dj“卡住”，認為此時顆粒不會起動。因研究泥沙顆粒隱蔽度是為解決泥沙顆粒起動，故即使對組合③，泥沙顆粒隱蔽度在統計上的取值也只能取＜

0．5（這一點僅有統計上的意義，也是前人公認的）。綜合所述，可以得到表1。

表1 粒徑Di為顆粒隱蔽度分布Table 1 Hidden degree distribution of Size Diparticles

易得

于是我們可以得到寬級配非均勻沙中顆粒Di隱蔽度的期望E（ηi），即

從上述表達式中可以發現：在寬級配非均勻沙中，粗顆粒的隱蔽度較同等粒徑下的均勻沙為小；中等顆粒的隱蔽度較同等粒徑下的均勻沙相近；細顆粒的隱蔽度較同等粒徑下的均勻沙為大。也即，對表層泥沙來說：大顆粒促使較小顆粒的隱蔽度增大；小顆粒促使大顆粒的隱蔽度減小；中等顆粒同時受大小顆粒的影響，致使被“增大”與“減小”的效應相互抵消，從而導致中等顆粒的隱蔽度與同粒徑的均勻沙的隱蔽度相當。

試驗表明［1］：在寬級配非均勻沙條件下，“大顆粒”較之同粒徑的均勻沙易于起動，“小顆粒”較之同粒徑的均勻沙難于起動，“中等顆粒”與同粒徑的均勻沙起動條件相當。事實上，人們對寬級配非均勻沙中“大顆粒”、“中等顆粒”、“小顆粒”泥沙的理解不統一，也不能有效地界定。參考韓其為對上述三種顆粒的定義［1］，筆者認為在寬級配非均勻沙中：①“大顆粒”為該粒徑的泥沙顆粒隱蔽度較之同等粒徑條件下的均勻沙隱蔽度為小的顆粒；②“中等顆粒”為該粒徑的泥沙顆粒隱蔽度與同等粒徑條件下的均勻沙隱蔽度相當的顆粒；③“小顆粒”為該粒徑的泥沙顆粒隱蔽度較之同等粒徑條件下的均勻沙隱蔽度為大的顆粒。

4 結論與展望

（1）參考韓其為觀點，重新闡述了二維泥沙顆粒隱蔽度概念。并嘗試探討了均勻沙非均勻沙隱蔽度的計算表達式。由于人們還沒有找到既精確又簡便的計算公式，也沒有準確的試驗資料，文中給出的計算表達式只能作為一種定性的研究方法。

（2）結合寬級配非均勻沙的泥沙顆粒起動特點與本文推求的隱蔽度計算式所反映的物理意義，嘗試定義“大顆粒”、“中等顆粒”和“細顆粒”的概念。

（3）目前研究多采用的是“圓餅”模型，而實際泥沙顆粒多可概化為球體，這就導致目前的概化模型與實際不吻合。事實上，若把水流概化為一元流，那么所研究泥沙顆粒的側向不需要考慮受力，將泥沙顆粒概化為二維“圓餅”是可行的；但是，對于彎道環流來講，水流流速在橫向有一定的分量，此時所研究泥沙顆粒的側向受力不容忽視，仍然堅持把泥沙顆粒概化為二維“圓餅”時，這就免不了有悖于研究隱蔽度時的穩定條件。從定性分析可得：若把泥沙顆粒概化為三維球體，“次表層”泥沙顆粒將會給表層泥沙“提供”一個更深的“凹槽”來穩定所支撐的泥沙顆粒，從而促使該泥沙顆粒的隱蔽度增大。但定量分析三維球體泥沙顆粒隱蔽度依然存在很大難題，尤其對于寬級配非均勻沙，需要人們作更為深入的探討。

（4）本文不能回避一個事實：約定（3）雖然回避了一個研究困難，使得非均勻沙隱蔽度計算式的研究能夠繼續進行，但是這種排列的客觀性與目前無法有效解決確實構成了一個矛盾。若把泥沙顆粒概化為三維球體，顆粒排列更為復雜，這個矛盾更難解決。約定（3）這一假定雖然與實際有一定偏離，但是在求期望值的過程中，這個偏離被作為概率的乘積因子給弱化了。有必要進一步指出：本文所給出的4個約定僅僅是理論上能夠解決非均勻沙任意粒徑顆粒隱蔽度的一種假設，解決途徑不是唯一的，其它的假設與研究方法仍然需要探索。

（5）泥沙顆粒絕對隱蔽度（暴露度）與相對隱蔽度（暴露度）根本就不是同一個概念，二者在隱蔽度的分布規律上存在一定的差別，若極端地認為哪一個合理哪一個不合理是極不科學的。事實上，由于泥沙顆粒隱蔽度試驗資料“稀少”，我們還不能對泥沙顆粒隱蔽度的精確分布做出定論。如顆粒隱蔽度是否符合“均勻分布”、“擬正態分布”等，仍需要大量試驗的驗證。

［1］ 韓其為，何明民．非均勻沙起動機理及起動流速［J］．長江科學院院報，1996，（3）：12－17．（HAN Qi-wei，HE Ming-min．Incipient Mechanism and Incipient Velocity of Non-uniform Sediment［J］．Journal of Yangtze River Sci-entific Research Institute，1996，（3）：12－17．（in Chi-nese））

［2］ 方紅衛．不均勻沙組成及起動［J］．水利學報，1994，（4）：43－49．（FANG Hong-wei．Composition and Compe-tent Velocity of Non-uniform Bed Load［J］．Journal of Hy-draulic Engineering，1994，（4）：43－49．（in Chinese））

［3］ 許全喜，張小峰，談廣鳴．非均勻沙起動問題研究［J］．水動力學研究及進展，1999，（2）：136－141．（XU Quan-xi，ZHANG Xiao-feng，TAN Guang-ming．The Research of Non-uniform Sediment Graded Incipient Motion［J］．Journal of Hydrodynamics．1999，（2）：135－141．（in Chi-nese） ）

（編輯：周曉雁）

Prelim inary Research on 2-D Hidden Degree of Sediment Particles

MENG Zhen，YANGWen-jun
（Key Laboratory of Management of Rivers and Lakes＆Flood Control of Ministry ofWater Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

There are two different schools to study the hidden degree of sediment particles：absolute hidden degree and relative hidden degree．The 2-D relative hidden degree of sediment particles defined by Han Qi-weiwas elabo-rated in this paper．The hidden degree formula ofwide grain size distribution of non-uniform sedimentwas deduced statistically．Relevant discussions on the physical significance of the formula were presented，and the concepts of“large grain”，“small grain”and“medium grain”associated with broadly graded non-uniform sedimentwere pro-posed aswell．

relative hidden degree；uniform distribution；uniform sediment，non-uniform sediment

1001－5485（2011）05－0001－04

TV141

A

2010-07-14

國家重點基礎研究發展計劃（973計劃）資助課題（2007CB7141O6）；國家自然科學基金資助項目（51079008）

孟 震（1985-），男，河南商丘人，碩士研究生，從事水力學及河流動力學研究，（電話）13628676681（電子信箱）edison9981＠gmail．com。