多響應線性模型的Bayes E-最優設計

王 帥，岳榮先，付 清

(上海師范大學 數理學院，上海 200234）

0 引言

對于單響應線性模型的Bayes E-最優設計的等價定理，Pilz已經給出了詳細的討論，但對于最優設計的算法，文章并沒有給出。本文擬在單響應模型的基礎上，將其理論推廣到Bayes多響應線性模型中，并建立Bayes E-最優設計的等價定理和相應的迭代算法，這將更有利于應用到實際當中。

考慮有r個響應的線性模型，它可以表示為如下形式：

χ為設計區域，fi(x)是pi維的列向量，βi是pi×1維的未知參數向量，εi是與第i個響應yi有關的隨機誤差，且當i≠j時，εi與εj相關。我們假定隨機誤差滿足下列關系：

記Xi=(fi(x1),fi(x2),…,fi(xn))T為n×pi階 矩 陣 ，X=diag(X1,X2,…,Xr)為nr×p階矩陣。則模型可以表示為Y=Xβ+ε。

1 Bayes估計與設計準則

若vn=(x1,x2,…,xn)表示n個點的試驗設計，且每個點的實驗測度都相同為1n，則在精確設計和后驗密度下，我們定義信息陣為：

記Ξ為定義在設計區域χ上的概率測度的全體，ξ∈Ξ為連續設計，則其對應的信息陣為：

2 Bayes最優設計的等價定理

對任意ξ∈Ξ ，令λξ=λmin(MB(ξ))，即λξ為對應的Bayes信息陣的最小特征值，假定它為簡單特征值，且它對應的特征向量為Vξ。

定理1對于Bayes情況下的E最優準則，我們簡記為EB最優準則，它對應的Frechet導數記為FEB，則：

(1)FEB是線性的；

證 明 ：(1) 因 為λmax(MB(ξ)-1)=1/λξ，所 以 ，使EB(·):=λmax(MB(·)-1) 達 到 最 小 就 等 價 于 使B(·):=-λmin(MB(·))達到最小。求解的Frechet導數如下：

得證。

(2)因為Bayes信息陣是正定的，所以它的特征值全為正，所以將(i)兩邊同除以EB(ξ)，不等號的方向不變，即有：

3 Bayes E-最優設計的迭代算法

假設任意選取n0個點，(x1,x2,…,xn0)∈χ作為初始設計點，則

（2）計算設計ξn0的效率的下界：

（3）預先給定常數e0，判斷，若en0＜e0則進行第二步；若en0＞e0則初始設計的效率已滿足要求，但這種情況通常不會發生。

第二步：對n≥n0，令n=n+1。

（1）尋找第n+1個點，使它滿足：

第三步：(1)令λn+1=λmin(MB(ξn+1))，即為第n+1 步Bayes信息陣的最小特征值，而Vn+1為λn+1對應的標準特征向量；

（2）計算

若en+1＜e0則繼續進行第二步，否則停止迭代。

例：考慮兩個響應的可控變量模型，假設實驗區域為χ={x=(x1,x2): ||xi≤1,i=1,2}，給定e0=0.9，建立模型：

β服從先驗分布N(β0,Σ0)，這里β的先驗協方差矩陣為Σ0=diag(Σ01,Σ02)，其中

應用上述算法迭代之后，得到的設計點和它們對應的測度為：

這個例子得到的設計點均在設計區域的端點處取得，符合最優設計的理論。同時也證明了以上算法的可行性，通過不斷的增加設計點，使得EB最優設計效率的下界0.5012增加到0.9749，并且效率的增加也比較穩定。在更加復雜的實際運用中，迭代算法同樣也有其適應性。

[1]Pilz J.Bayesian Estimation and Experimental Design in Linear Regression Models[M].Feiberg:Tenbuer Leipzig,1983.

[2]汪倩菁,岳榮先.多響應線性回歸模型Bayes最優設計的等價性定理[J].上海師范大學學報(自然科學版)，2008，37(3).

[3]Zellner A.An Efficient Methodof Estimating SeeminglyUnrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias[J].J.Amer.Statist.Assoc,1962,（57）.

[4]張丹,岳榮先.多響應線性模型最優設計的迭代算法[D].上海:上海師范大學，2008.